线性代数典型例题

线性代数

第一章 行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列)展开公式求代数余子式

已知行列式41234

3344

615671122

D =

=-，试求4142A A +与4344A A +.

三、利用多项式分解因式计算行列式

1．计算2

2

11231223

13151319x D x -=

-。

2．设()x b c d b x c

d

f x b c x d b c d

x

=

，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明

1。设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2。设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1

||2

A =

，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A

4。设矩阵210120001A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵

123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++

如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式

1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为

1111

,,,2345

,则行列式1||________.B E --=

2。设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=，又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E +

第二章 矩阵

典型例题

一、求逆矩阵

1。设,,A B A B +都是可逆矩阵，求:111().A B ---+

2。设00021000531

23004580034600A ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，求1.A -

二、讨论抽象矩阵的可逆性

1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A - 2。已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆,并求出逆矩阵。 3.设T A E xy =+，其中,x y 均为n 维列向量,且2T x y =,求A 的逆矩阵。 4。设,A B 为n 阶矩阵，且E AB -可逆，证明E BA -也可逆。 三、解矩阵方程

1.设矩阵111111111A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求矩阵X 。 2。已知矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且矩阵X 满足 AXA BXB AXB BXA E +=++,求X .

四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1。证明下列等式

(1）**()()T T A A =； （2)若||0A ≠,则1**1()()A A --=； (3)||0A ≠,则1**1[()][()]T T A A --=；

（4) ||0A ≠,则*1*()(0,n kA k A k A n -=≠为阶矩阵）；

（5）若,A B 为同阶可逆矩阵，则***()AB B A =。

2.设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =，若111213,,a a a 为三个相等正数，则11_______.a = 五、关于初等矩阵和矩阵的秩(看教材）

第三章 矩阵

典型例题

一、判断向量组的线性相关性 1.设12(,,,)(1,2,,;)T i i i in i r r n αααα==<是n 维实向量，且12,,,r ααα线性无

关，已知12(,,

,)T n b b b β=是线性方程组

111122121122221122000

n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++

+=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++

+=⎩

的非零解向量，试判断向量组12,,,,r αααβ的线性相关性。

2。设12,,

,n ααα是n 个n 维的线性无关向量，11122n n n k k k αααα+=++

+，其中

12,,,n k k k 全不为零，证明121,,

,n ααα+中任意n 个向量均无关.

3.设A 为43⨯矩阵，B 为33⨯矩阵，且0AB =，其中111121230012A -⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，证明B 的列向量组线性相关。 4。设121,,

,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，1ξ和2ξ是与121,,,n ααα-均

正交的n 维非零列向量，证明（1)1ξ、2ξ线性相关；(2)121,,,n ααα-,1ξ线性相

关。

二、把一个向量用一组向量线性表示

证明线性方程组1111221211222

21122000

n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪⎪++

+=⎩的解都是

11220n n b x b x b x +++=的解的充要条件是β是12,,,m ααα的线性组合，其中

12(,,,)n b b b β=,12(,,,)(1,2,,)i i i in i m αααα==。

三、求向量组的秩

1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线

性表示.

2.已知向量组（1）123,,ααα；(2）1234,,,αααα；(3）1235,,,αααα.如果各向量组的秩分别是3、3、4，证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4。 四、有关矩阵秩的命题

1.设A 为m n ⨯实矩阵,证明：()().T R A R A A =

2。设A 为n 阶方阵，且满足22A A E =+,证明：(2)()R A E R A E n -++=。 综合题

1。 设A 为m n ⨯矩阵，B 为()n n m ⨯-矩阵，且已知0AB =,(),()R A m R B n m ==-,

设α是满足0Ax =的一个n 维向量，证明：存在唯一的一个()n m -维列向量β,使B αβ=.

2。已知随机变量0

1~0.250.75X ⎡⎤⎢⎥

⎣⎦,{}0.51P Y =-=，又n 维向量123,,ααα线性无关，求向量122331,2,X Y αααααα+++线性相关的概率。