2021年考研数学二真题及答案

2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。

以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。

∫√x+2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln (xxx )|2+∞=+∞； ∫xxx +∞2xx=−∫x +∞2xx −x=−xx−x|2+∞+∫x −x +∞2xx=2x−2−x−x |2+∞=3x −2，因此(D)是收敛的。

综上所述，此题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。

综上所述，此题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。

选A综上所述，此题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、持续—函数持续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数x(x)在(-∞,+∞)内持续，其二阶导函数x′′(x)的图形如右图所示，那么曲线x=x(x)的拐点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】x(x)在(-∞,+∞)内持续，除点x=0外处处二阶可导。

x=x(x)的可疑拐点是x′′(x)=0的点及x′′(x)不存在的点。

x′′(x)的零点有两个，如上图所示，A点双侧x′′(x)恒正，对应的点不是x=x(x)拐点，B点双侧x′′(x)异号，对应的点确实是x= x(x)的拐点。

尽管f′′(0)不存在，但点x=0双侧f′′(x)异号，因此(0,f(0)) 是y= f(x)的拐点。

综上所述，此题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、持续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数x (μ,ν)知足x (x +x ,xx )=x 2−x 2，则∂x ∂μ|μ=1ν=1与∂x∂ν|μ=1ν=1依次是(A)12,0 (B)0,12(C)−12,0 (D)0,−12【答案】D【解析】先求出f (μ,ν) 令{μ=x +y ,ν=y ,⇒{x =μ1+ν,y =μν1+ν,于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1)因此∂f ∂μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0∂f∂ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−1综上所述，此题正确答案是D 。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D 是第一象限中由曲线2xx =1,4xx =1与直线x =x ,x =√3x 围成的平面区域，函数f (x ,y )在D 上持续，那么∬f (x ,y )dxdy =D (A)∫dθπ3π4∫f (r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr (B) ∫dθπ3π4f (r cos θ,r sin θ)rdr(C) ∫dθπ3π4∫f (r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr(D) ∫dθπ3π4f (r cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr【答案】 B【解析】D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x ,y =√3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将∬f (x ,y )dxdy D 化为累次积分。

D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4，≤θ≤，因此∬f (x ,y )dxdy D=∫dθπ3π4f (r cos θ,r sin θ)√2sin 2θrdr 综上所述，此题正确答案是B 。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=[11112x 14x 2],b =[1x x 2]。

假设集合Ω={1,2}，那么线性方程 xx =x 有无穷多解的充分必要条件为 (A)x ∉Ω,x ∉Ω (B) x ∉Ω,x ∈Ω (C)x ∈Ω,x ∉Ω (D) x ∈Ω,x ∈Ω 【答案】D【解析】Ax =b 有无穷多解⇔r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德性列式，值为(a −1)(a −2),若是a ∉Ω，则 |A |≠0，r (A )=3，现在Ax =b有唯一解，排除(A),(B)类似的，假设d ∉Ω，则r (A |b )=3，排除(C)当a ∈Ω,d ∈Ω时，r (A |b )=r (A )=2，Ax =b 有无穷多解 综上所述，此题正确答案是D 。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德性列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型x (x 1,x 2,x 3)在正交变换x =xx 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中x =(x x ,x x ,x x ),假设Q =(x x ,−x x ,x x )在正交变换x =xx 下的标准形为(A) 2y 12−y 22+y 32 (B) 2y 12+y 22−y 32 (C) 2y 12−y 22−y 32 (D) 2y 12+y 22+y 32 【答案】A【解析】设二次型矩阵为A ,那么 x−xxx =x xxx =[20001000−1]可见x x ,x x ,x x 都是A 的特点向量，特点值依次为2,1,-1，于是-x x也是A 的特点向量，特点值为-1，因此 x xxx =x−xxx =[2000−10001]因此在正交变换x =xx 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32 综上所述，此题正确答案是A 。

【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特点向量，正交变换化二次型为标准形。

二、填空题：(9~14)小题，每题4分，共24分。

(9)设{x =xxx xxx x ,x =3x +x 3,则x 2xxx 2|x =1= 【答案】48【解析】由参数式求导法xxxx=x x ′x x′=3+3x 211+x 2=3(1+x 2)2再由复合函数求导法那么得x 2x xx2=x xx [3(1+x 2)2]=x xx [3(1+x 2)2]xx xx=6(1+x 2)∙2x ∙1x x′=12x (1+x 2)2, x 2xxx 2|x =1=48综上所述，此题正确答案是48。

【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数x (x )=x 22x在x =0处的n 阶导数x(x )(0)=【答案】x (x −1)(xx2)x −2(x =1,2,3,⋯⋯) 【解析】解法1 用求函数乘积的x 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

x(x )(x )=∑x x x (x 2)x (2x )(x −x )xx =0其中x xx=x !,注意(x 2)x|x =0=0(x ≠2)，x x 2=x (x −1),于是 x(x )(0)=x x 2∙2∙(2x)(x −2)|x =0=x (x −1)(xx2)x −2 (x ≥2)x ′(0)=0 因此x(x )(0)=x (x −1)(xx2)x −2(x =1,2,3,⋯⋯)解法2利用泰勒展开 x (x )=x 22x =x 2x xxx2=x2∑(xxx2)xx ∞x =0=∑xx x2x !xx +2=∞x =0∑xxx −22(x −2)!x x ∞x =2由于泰勒展开系数的唯一性，得xx x −22(x −2)!=x (x )(0)x !可得x(x )(0)=x (x −1)(xx2)x −2(x =1,2,3,⋯⋯)综上所述，此题正确答案是x (x −1)(xx2)x −2 (x =1,2,3,⋯⋯) 【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式 (11)设函数x (x )持续，φ(x )=∫xx (x )xx x 20.假设φ(1)=1，φ′(1)=5,则x (1)= 【答案】2【解析】改写φ(x )=x ∫x (x )xx x 20,由变限积分求导法得φ′(x )=∫x (x )xx x 20+xx (x 2)∙2x =∫x (x )xx x 2+2x 2x (x 2)由φ(1)=1=∫x (x )xx 1，φ′(1)=∫x (x )xx 10+2x (1)=1+2x (1)可得x (1)=2综上所述，此题正确答案是2【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用(12)设函数y =y (x )是微分方程x ′′+x ′−2x =0的解，且在x =0处y(x)取得极值3，那么y(x)=【答案】x−2x+2x x【解析】求y(x)归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题{x′′+x′−2x=0 y(0)=3，x′(0)=0由特点方程λ2+λ−2=0可得特点根λ1=−2，λ2=1，于是得通解x=x1x−2x+x2x x又已知{x1+x2=3−2x1+x2=0⇒x1=1，x2=2综上所述，此题正确答案是x−2x+2x x【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程(13)假设函数x=x(x,x)由方程x x+2x+3x+xxx=1确信，那么dz|(0,0)=【答案】−13xx−23xx【解析】先求x(0,0)，在原方程中令x=0,x=0得x3x=1⇒x(0,0)=0方程两边同时求全微分得x x+2x+3x(xx+2xx+3xx)+xxxx+xxxx+xxxx=0令x=0,x=0,x=0得dx+2dy+3dz|(0,0)=0dz|(0,0)=−1xx−2xx综上所述，此题正确答案是−13xx−23xx【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特点值为2,-2,1，x=x x−x+x,其中E为3阶单位矩阵，那么行列式|B|=【答案】21【解析】A的特点值为2,-2,1,那么B的特点值对应为3,7,1因此|B|=21【考点】线性代数—行列式—行列式计算线性代数—矩阵—矩阵的特点值三、解答题：15~23小题，共94分。