初升高数学衔接教材 第01章 第05节 全称量词与存在量词(解析版)

第一章第五节全称量词与存在量词一、电子版教材

二、教材解读

知识点一 全称量词命题和存在量词命题的判断

1.全称量词与全称量词命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么全称量词命题“对M 中任意一个x ，p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )．

2．存在量词与存在量词命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”，可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”．

【例题1】（2020·全国高一）判断下列存在量词命题的真假：

（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；

（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.

【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；

（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；

（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.

【例题2】（2020·全国高一）把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:

(1)勾股定理;

(2)三角形内角和定理.

【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；

(2)所有三角形的内角和都是180°.

【例题3】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.

（1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数；

（2）存在一个x ∈R ，使11

x -＝0； （3）对任意实数a ，|a |＞0；

【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题.

（2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101

x =-成立，所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题.

知识点二 含有一个量词的命题的否定

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )；

存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )．

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

【例题4】（2020·全国高一）写出下列命题的否定：

（1）所有人都晨练；

（2）2,10x x x ∀∈++>R ；

（3）平行四边形的对边相等；

（4）2,10x x x ∃∈-+=R ．

【解析】（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题，

所以其否定是“有的人不晨练”．

（2）因为命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题，

所以其否定是“2,10x x x ∃∈++≤R ”．

（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题， 所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．

（4）因为命题“2,10x x x ∃∈-+=R ”是特称命题，

所以其否定是“2,10x x x ∀∈-+≠R ”．

【例题5】（2020·全国高一）写出下列全称量词命题的否定：

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；

（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

（3）对任意x ∈Z ，2x 的个位数字不等于3.

【解析】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.

（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.

（3）该命题的否定：x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.

【例题6】（2020·四川省泸县五中高二月考（理））命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”的否定是（ ）

A ．∀x ＞0，x 2+x +1≤0

B ．∀x ＞0，x 2+x +1＞0

C ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0

D ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1＞0

【答案】C

【解析】命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”为全称命题，故其否定为：∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0

【例题7】（2020·天津一中高二期末）“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是（ ）

A ．x R ∀∈，2210x x ++≤

B ．x R ∀∈，2210x x ++<

C ．0x R ∃∈，使得200210x x ++<

D ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤

【答案】D

【解析】全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于，

故“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，使得200210x x ++≤”

三、素养聚焦

1．命题“[1,2]x ∀∈,2320x x -+≤”的否定是（ ）

A ．[1,2]x ∀∈,2320x x -+>

B ．[1,2]x ∀∉,2320x x -+>

C ．0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>

D ．0[1,2]x ∃∉,200320x x -+>

【答案】C

【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

即0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>，

2．设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ）

A ．0x ∃>，sin x x ≤

B ．0x ∀>，sin x x ≤

C ．0x ∃≤，sin x x ≤

D ．0x ∀≤，sin x x ≤ 【答案】A

【解析】命题p ：0x ∀>，sin x x >，

则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤.