函数的定义域和值域知识点总结
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
函数和值域知识点总结
函数和值域知识点总结一、函数的定义函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了一个自变量与一个或多个因变量之间的对应关系。
一般来说，函数表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数的定义可以通过几何、代数、集合、映射等方式来表述，其中最常见的定义是代数上的定义，即函数是一个集合X到集合Y的映射，其中每个元素x ∈ X对应一个唯一的元素y ∈ Y。
二、函数的图像函数的图像是函数的一个非常重要的性质，它能够直观地反映函数的自变量与因变量之间的对应关系。
对于一元函数f(x)，它的图像通常表示为在直角坐标系中的曲线或者直线。
通过函数的图像，我们可以观察函数的增减性、奇偶性、周期性等性质，从而更好地理解函数的特点。
三、函数的性质函数具有很多重要的性质，包括增减性、奇偶性、周期性、最值等。
其中，增减性是指函数在定义域上的变化趋势，奇偶性是指函数的对称性，周期性是指函数在一定区间上的重复性，最值是指函数在某个区间上的极大值和极小值。
四、值域的求解方法值域是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的取值范围。
值域的求解方法主要有代数法、图像法、极值法等。
其中，代数法是指通过对函数的表达式进行分析来求解值域，图像法是指通过函数的图像来观察函数的取值范围，极值法是指通过函数的极值来确定函数的值域。
五、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等领域。
在物理学中，函数被用来描述物体的运动规律、力学原理等；在工程学中，函数被用来优化设计、模拟运行等；在经济学中，函数被用来描述市场供求关系、经济增长规律等。
综上所述，函数和值域是数学中非常重要的概念，它们在代数、微积分、几何等数学领域中均有重要的应用。
通过对函数和值域的学习，我们可以更好地理解数学中的各种概念和方法，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文的总结能够帮助读者更好地理解函数和值域的相关知识，从而更好地应用到实际问题中去。
大学函数重要知识点总结
大学函数重要知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的定义函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系，通常表示为f: X -> Y，其中X为定义域，Y为值域。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是所有定义在函数上的自变量的集合，值域是所有函数值的集合。
（2）单值性：每个自变量对应唯一的函数值。
（3）奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
（4）周期性：如果存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
（5）上下界：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值都在一个范围内，则称函数有上下界。
（6）单调性：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值随着自变量x的增大而增大（或减小），则称函数具有单调性。
二、基本初等函数1. 常数函数常数函数的表达式为f(x)=C，C为常数。
2. 一次函数一次函数的表达式为f(x)=kx+b，k为斜率，b为截距。
3. 幂函数幂函数的表达式为f(x)=x^a，a为实数。
4. 指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，a为正实数且不等于1。
5. 对数函数对数函数的表达式为f(x)=log_a(x)，a为正实数且不等于1。
包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
三、函数的运算1. 基本初等函数的四则运算（1）加法和减法：f(x)=g(x)±h(x)（2）乘法：f(x)=g(x)·h(x)（3）除法： f(x)=g(x)/h(x)，其中h(x)≠02. 复合函数如果存在函数u(x)和v(x)，则复合函数为：f(x)=u(v(x))。
3. 反函数如果两个函数f和g满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么f和g互为反函数，且g=f^-1。
4. 函数的求导对函数进行求导可以得到函数的导数，导数表示函数在某一点的变化速度。
5. 函数的积分对函数进行积分可以得到函数的不定积分和定积分，不定积分是函数的原函数，定积分表示函数在一定范围内的面积或体积。
函数的定义域和值域知识点总结
函数定义域的几种求法：一、已知复杂函数，求f（x）例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域总结：二、已知简单函数f(x)，求复杂函数例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域总结：三、综合一和二，求函数的定义域例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域四、当定义域为R时，求未知数的取值范围例1.已知函数y=²的定义域为R，求m 的取值范围例3.已知函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围²总结：函数值域基本初等函数的定义域和值域1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-∞,0)∪(0,+ ∞)3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-)]函数值域的常用方法：一、利用简单函数值域求复杂函数值域例1．求函数y=-1的值域解：已知≧0，所以-1≧-1，所以函数y=-1的值域为[-1, + ∞]例2．求函数y=-的值域例3.求函数y=²的值域例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域二、配方法例6．求函数y=²-4x+5的值域例7.求函数y=²-6x+10的值域解：y=²-4x+5=(x-2)2+1≧1所以，函数y=²-4x+5的值域为[1,+∞)例8.求函数y=的值域²三、将函数形式变成x=( )y的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定例9．求函数y=²的值域²解：函数变形：y²+2yx+3y=2²+4x-7即：(y-2)²+2(y-2)x+3y+7=0当y=0时，显然不成立；当y≠0时，上式可以看作是关于x的一元二次方程，由于定义域x∈R，则有Δ≧0，即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7) ≧0所以2y2+5y-18≦0,解得：-≦y﹤2(x=2舍去)所以函数y=²的值域为[-,2）²。
高一值域和定义域的知识点
高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。
理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。
一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。
首先，定义域指的是自变量的取值范围。
也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。
1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。
例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。
所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。
例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。
1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。
其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。
最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。
二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。
值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。
2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。
例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。
在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。
2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。
对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。
例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。
中考知识点函数的定义域与值域
中考知识点函数的定义域与值域函数是数学中常见的一种数学工具，用来表示一种两个数集之间的对应关系。
在函数中，我们经常会涉及到两个重要的概念，即定义域和值域。
本文将介绍中考中关于函数定义域和值域的一些基础知识。
1. 函数的定义域函数的定义域是指能够使函数有意义的输入值的全体。
换句话说，定义域就是函数的自变量可以取值的范围。
在定义函数的时候，我们需要明确指定函数的定义域，以确保函数在这个范围内有良好的定义。
以一个简单的例子来说明，考虑函数y = x^2，这是一个求平方的函数。
在这个函数中，x 可以取任意实数作为输入值。
因此，函数的定义域是整个实数集，即定义域为(-∞, +∞)。
然而，并不是所有函数的定义域都涵盖了整个实数集。
例如，考虑函数y = 1/x，这是一个表示倒数的函数。
这个函数的定义域需要满足一个条件，即 x 不等于 0，因为不能除以零。
因此，函数的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)。
需要注意的是，在有些情况下，定义域可能会受到其他限制。
例如，考虑函数y = √x，这是一个表示平方根的函数。
在这个函数中，x 必须大于等于零，否则平方根就没有定义。
因此，函数的定义域为[0, +∞)。
2. 函数的值域函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
换句话说，值域就是函数的因变量可以取值的范围。
了解一个函数的值域有助于我们对函数的性质有更深入的理解。
对于简单的函数来说，值域可能很容易确定。
例如，考虑函数y = x^2，这是一个求平方的函数。
由于平方的结果总是非负的，所以函数的值域为[0, +∞)。
对于有些函数而言，值域可能受到一些限制。
例如，考虑函数y = sin(x)，这是一个正弦函数。
正弦函数的值域是[-1, 1]，因为正弦函数的值在这个范围内波动。
有时候，确定函数的值域可能并不容易。
例如，考虑函数y = x^3，这是一个立方函数。
立方函数的值域是整个实数集，因为对于任意一个实数，都可以找到一个实数的立方等于它。
函数初高中总结知识点
函数初高中总结知识点一、初中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念函数是一种对应关系，它将每一个自变量的取值都对应唯一的一个因变量的取值。
数学上通常用字母来表示一个函数，比如y=f(x)。
其中y是因变量，x是自变量，f(x)表示函数关系的表达式。
2. 函数的性质（1）定义域和值域函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，值域是所有可能的因变量值的集合。
在初中阶段，我们通常研究的是一元函数，也就是函数的自变量只有一个。
（2）奇函数和偶函数当函数f(x)满足f(-x)=-f(x)时，称函数f(x)为奇函数；当函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，称函数f(x)为偶函数。
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
（3）单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递增的；如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递减的。
3. 函数的图像初中阶段，我们接触到的函数的图像，一般是一元一次函数、一元二次函数和一元绝对值函数的图像。
一元一次函数的图像是一条直线；一元二次函数的图像是一个抛物线；一元绝对值函数的图像是一个V形。
以上就是初中阶段的函数知识点总结，接下来我们来看一下高中阶段的函数知识点。
二、高中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念在高中阶段，我们将学习更多种类的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数都是我们在高中数学中要重点学习的内容。
2. 函数的性质（1）函数的奇偶性除了初中阶段学习的奇函数和偶函数外，高中阶段还要学习更多类型的奇偶函数，如正弦函数、余弦函数等。
这些函数的奇偶性对于函数的图像和性质具有很大的影响。
（2）周期性在高中阶段，我们还要学习到周期函数的性质。
高一函数定义域和值域知识点
高一函数定义域和值域知识点在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
而函数的定义域和值域则是函数的两个基本性质，它们对于理解函数的性质和特点非常关键。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中所有可能输入的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输入可以采取哪些值。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = √x。
这个函数的定义域是什么呢？我们知道平方根是一个实数运算，但是如果x取负值，那么该函数就无法定义了。
因此，这个函数的定义域是所有非负实数。
我们可以表示为：定义域D = [0, +∞)。
同样地，对于一个分式函数g(x) = 1/x，我们知道分母不能为零。
因此，该函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。
我们可以表示为：定义域D = (-∞, 0)∪(0, +∞)。
另外，有些函数的定义域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑一个函数h(x) = log(x)，我们知道对数运算要求x必须大于0，因此，该函数的定义域是所有正实数。
我们可以表示为：定义域D = (0, +∞)。
二、函数的值域函数的值域是指函数中所有可能输出的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输出可以采取哪些值。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过平方运算得到一个非负数。
因此，该函数的值域是所有非负实数。
我们可以表示为：值域R = [0,+∞)。
同样地，对于函数g(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的取值范围是在[-1, 1]之间的所有实数。
因此，该函数的值域是[-1, 1]。
另外，有些函数的值域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑函数h(x) = e^x，我们知道指数函数的取值范围是大于0的实数。
因此，该函数的值域是大于0的所有实数。
我们可以表示为：值域R = (0, +∞)。
总结起来，函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。
函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。
函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。
例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。
定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。
根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。
1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。
它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。
2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。
对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。
3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。
对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。
4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。
指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。
在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。
2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。
4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。
在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。
2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。
3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。
4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。
接下来，我们来讨论函数的值域。
值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。
函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。
确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。
高中数学必修一函数知识点总结
高中数学必修一函数知识点总结高中数学必修一的函数部分主要包括函数的定义、函数的性质、函数的图像与变化规律、函数的应用等方面的知识点。
下面是一份关于该部分知识点的详细总结。
一、函数的定义1. 定义域和值域：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量的取值范围。
2. 函数的表示方法：函数可以用公式、关系式、图像、表格等形式表示。
3. 函数的图像：函数的图像是由函数的各个值构成的点的集合，可以用直角坐标系来表示。
二、函数的性质1. 奇函数和偶函数：若对于定义域内的任何实数x，有f(-x) = -f(x)，则函数f为奇函数；若对于定义域内的任何实数x，有f(-x) = f(x)，则函数f为偶函数。
2. 单调性：函数在定义域上的增减关系称为函数的单调性。
若对于定义域内的任意两个实数x1和x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数f在该区间上递增；若对于定义域内的任意两个实数x1和x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数f在该区间上递减。
3. 周期性：若存在常数T>0，对于定义域内的任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f具有周期性，T为函数f的周期。
4. 奇偶性：若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称函数f为偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称函数f为奇函数。
三、函数的图像与变化规律1. 零点：函数f(x)在定义域内的一个实数x，使得f(x) = 0，称为函数f(x)的零点。
即f(x) = 0的解即为函数的零点。
2. 极值点：函数在定义域内取得最大值或最小值的点称为函数的极值点。
极大值点是局部最大值点，极小值点是局部最小值点。
3. 拐点：函数图像上的一点，使得该点两侧的曲线分别凸向上和凸向下，并且在该点的左右连续性方向上函数的变化趋势相反，称为函数的拐点。
4. 渐近线：若函数的图像在某个方向上无限地靠近一条直线，且与该直线的距离无限缩小，那么称该直线为函数图像的渐近线。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
函数知识点与公式总结
函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。
其中，X称为定义域，Y称为值域。
函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。
可以分为递增和递减两种情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。
如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。
5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。
二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。
线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。
3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。
6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。
7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。
8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。
高一函数定义域值域知识点
高一函数定义域值域知识点函数是数学中的重要概念之一。
在高一阶段，学生需要学习函数的定义、性质以及函数图像的特征等知识点。
其中，函数的定义域和值域是重要的概念，对于理解函数的整体特征和应用至关重要。
一、函数的定义域在数学中，函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
函数的定义域是指能够被映射的元素所组成的集合。
在表示函数时，通常用f(x)来表示函数，其中x的取值就是定义域的范围。
函数的定义域需要满足一定的条件。
对于实数函数来说，通常要求定义域中的x满足函数所涉及到的算式中的分母不能为0的限制。
例如，对于函数f(x) = 1/x，x的取值不能为0，因为在该函数中0是分母，会导致无意义的结果。
因此，该函数的定义域为所有除了0的实数。
对于函数f(x) = √x，x的取值需要满足x≥0的条件，这是因为平方根只对非负数有定义。
因此，该函数的定义域为所有大于等于0的实数。
二、函数的值域函数的值域是指函数f(x)在定义域范围内所能取到的值所组成的集合。
换句话说，值域是所有f(x)可能取到的值。
在求函数的值域时，可以通过观察函数的图像或者利用数学方法进行分析。
对于简单的函数来说，可以直接通过图像来判断它的值域。
例如，对于函数f(x) = x^2，通过观察可以发现该函数的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点为(0, 0)。
由于平方的结果不会小于0，所以该函数的值域为所有大于等于0的实数。
对于复杂的函数，可能需要使用一些数学方法来求解值域。
例如，对于函数f(x) = 2^x，可以通过取函数的极限值来判断值域。
当x趋近于负无穷时，2^x趋近于0，当x趋近于正无穷时，2^x 趋近于正无穷。
因此，该函数的值域为所有大于0的实数。
需要注意的是，有些函数的值域可能存在一定的限制条件。
例如，对于函数f(x) = 1/x，由于分母不能为0，所以在定义域中除了0以外的任何实数都是该函数的值域。
然而，由于0作为分母会导致无意义的结果，所以0并不属于该函数的值域。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
函数定义域 函数值域高一数学知识点总结
函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。
②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。
3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结1.函数的定义域：2.函数的值域：函数的值域是指函数的所有可能输出的集合，也就是因变量的取值范围。
值域是函数输出的范围，表示函数的所有可能结果。
3.定义域的确定方法：在定义一个函数时，常常需要确定函数的定义域。
一般来说，常见的函数的定义域有以下几种确定方法：-首先，需要考虑自变量存在的实值范围。
对于多项式函数和有理函数而言，一般情况下定义域为实数集。
-其次，需要考虑函数中出现开方运算、对数运算、分式运算等，这些运算存在定义范围的限制。
-最后，需要考虑函数中的分母是否为零。
当分母为零时，函数的定义域将受到限制。
4.常见函数的定义域和值域：-多项式函数的定义域为实数集，值域也是实数集。
-幂函数的定义域和值域根据指数的奇偶性来确定，如果指数为偶数，定义域为非负实数集，值域为非负实数集；如果指数为奇数，定义域和值域为实数集。
-指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
-三角函数的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
5.确定函数的定义域和值域的方法：-对于一次函数、二次函数和绝对值函数，可以直接通过函数的图像来确定定义域和值域。
-对于有更复杂形式的函数，可以通过对函数进行分析，将函数表达式中存在定义域限制的部分找出来，确定函数的定义域。
-对于一些特殊的函数，可以通过函数性质和运算性质推断其定义域和值域。
-同时，也可以通过计算等式的解或者不等式的解来确定定义域和值域。
总结起来，函数的定义域和值域是数学中对于函数输入和输出范围的描述，了解它们对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
确定函数的定义域和值域需要考虑函数中各个运算的定义范围，分析函数表达式的性质和图像，并可以利用计算等式和不等式的解来确定。
函数的定义域和值域的确定对于函数的应用具有重要的指导意义。
高中数学函数知识点总结
函数一、函数的定义：1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．Cxx每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在Cxx .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。
（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右——————只对x2）上减下加——————只对y3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
高二函数定义域和值域知识点总结
高二函数定义域和值域知识点总结函数是数学中的重要概念，研究函数的定义域和值域是学习函数的基础知识。
在高二数学学习中，我们首先需要了解函数及其定义域和值域的概念，然后学习如何确定函数的定义域和值域。
下面是对高二函数定义域和值域知识点的总结。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
用符号表示，函数一般记作"f(x)"，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 定义域的概念函数的定义域是指函数中自变量的所有可能取值的集合。
换句话说，定义域是函数输入的合法范围。
一般情况下，函数的定义域是根据函数的公式或者特性来确定的。
3. 常见函数的定义域- 有理函数的定义域：有理函数是多项式函数和分式函数的组合，其定义域由分式函数的分母确定，分母为0时，函数无定义。
- 幂函数的定义域：幂函数的定义域由指数的取值确定，当底数为正数时，定义域为全体实数；当底数为负数或零时，定义域可能为实数的一个子集。
- 指数函数的定义域：指数函数的定义域为全体实数。
- 对数函数的定义域：对数函数的定义域由实参的取值确定，对数函数的实参必须为正数。
4. 值域的概念函数的值域是指函数所有可能输出的值的集合。
换句话说，值域是函数输出的合法范围。
一般情况下，值域是根据函数的特性和定义域来确定的。
5. 常见函数的值域- 有理函数的值域：对于有理函数，我们可以通过对其进行求导，并找到其极限值来确定其值域。
- 幂函数的值域：当底数为正数，并且指数为无穷大时，幂函数的值域为正实数；当底数为零或者负数，并且指数为奇数时，幂函数的值域为全体实数。
- 指数函数的值域：指数函数的值域为正实数。
- 对数函数的值域：对数函数的值域为全体实数。
6. 确定函数的定义域和值域的方法- 公式法：根据函数的公式，推导出定义域和值域的范围。
- 图像法：通过绘制函数的图像，观察函数的特性，确定定义域和值域。
- 分段讨论法：当函数在不同定义域范围内具有不同的特性时，可以将函数分段讨论，分别确定各个定义域范围内的值域。
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函数定义域的几种求法：
一、已知复杂函数，求f（x）
例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域
例2.若f( )的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域
总结：
二、已知简单函数f(x)，求复杂函数
例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域
总结：
三、综合一和二，求函数的定义域
例1.若函数f(x+1) 的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域
四、当定义域为R时，求未知数的取值范围
例1.已知函数y=²的定义域为R，求m 的取值范围例3.已知函数y=
的定义域为R，求实数a的取值范围
²
总结：
函数值域
基本初等函数的定义域和值域
1.一次函数f(x)=k x+b(k≠0)的定义域是R，值域是R
2.反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ ∞),值域是(-∞,0)∪(0,+ ∞)
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R。
当a>0时，值域是[f(-),+ ∞); 当a<0,时，值域是(-∞,f(-)]
函数值域的常用方法：
一、利用简单函数值域求复杂函数值域
例1．求函数y=-1的值域
解：已知≧0，所以-1≧-1，所以函数y=-1的值域为[-1, + ∞]
例2．求函数y=-的值域例3.求函数y=²的值域
例4.求函数y=+1的值域例5.求函数y=+1的值域
二、配方法
例6．求函数y=²-4x+5的值域例7.求函数y=²-6x+10的值域解：y=²-4x+5=(x-2)2+1≧1
所以，函数y=²-4x+5的值域为[1,+∞)
例8.求函数y=
的值域
²
三、将函数形式变成x=( )y的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定
例9．求函数y=²
的值域
²
解：函数变形：y²+2yx+3y=2²+4x-7即：(y-2)²+2(y-2)x+3y+7=0
当y=0时，显然不成立；
当y≠0时，上式可以看作是关于x的一元二次方程，由于定义域x∈R，则有Δ≧0，
即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7) ≧0
所以2y2+5y-18≦0,解得：-≦y﹤2(x=2舍去)
所以函数y=²
的值域为[-,2）
²。