[高一数学]不等式知识点归纳与总结
高一数学不等式知识点归纳
高一数学不等式知识点归纳数学不等式是高中数学中重要的一部分内容。
在高一数学学习中，了解不等式的概念、性质以及解不等式的方法，对于学习数学和解决实际问题都有着重要的作用。
下面将对高一数学不等式知识点进行归纳和总结。
一、不等式的概念不等式是一种数学关系式，它表达了两个数的大小关系。
一般形式为a ≠ b或a < b或a > b，其中a、b为实数。
不等式中的关系符号有"≠"、“<”、“>”分别表示不等、小于和大于的关系。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a < b且b < c，则有a < c。
类似的，大于的情况也满足这个性质。
2. 加减性：对于不等式，可以同时加上一个数或减去一个数，不等号的方向不变。
例如，如果a < b，则有a + c < b + c。
减法的情况也类似。
3. 倍乘性：对于正数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有ka < kb。
当k为负数时，不等号的方向改变。
4. 乘方性：对于正实数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有a^k < b^k。
当k为负数时，不等号的方向改变，但必须保证a和b皆大于0。
三、不等式的解集表示方法1. 用图形表示：可以通过将不等式转化为坐标系中的区域表示来解释和表示不等式关系。
2. 用集合表示：通过列举满足不等式的所有实数，将这些实数写成一个集合的形式来表示不等式的解集。
3. 用不等式表示：将不等式的解集写成一个由不等号和式子组成的不等式形式，来表示不等式的解集。
四、不等式的求解方法1. 加减法解不等式：利用加减性质，将不等式中的常数项移到一边，以求得未知数的范围。
2. 乘除法解不等式：利用倍乘性质，将不等式中的系数移到一边，并对系数符号进行考虑，以求得未知数的范围。
3. 绝对值不等式的解法：分为绝对值大于、小于和大于等于、小于等于两种情况，根据不等式的形式分别求解。
基本不等式知识点总结高一
基本不等式知识点总结高一基本不等式知识点总结一、不等式的定义和性质不等式是数学中表示大小关系的一种符号方法。
不等式的定义如下：若两个数a、b满足条件a>b，则称a大于b，记作a>b；若a≠b 且a>b或a<b，则称a与b之间存在不等关系。
不等式的性质如下：1. 传递性：若a>b且b>c，则a>c。
2. 对称性：若a>b，则-b>-a。
3. 相反数性质：若a>b，且c>0，则 ac>bc；若a>b，且c<0，则 ac<bc。
4. 分解性质：若a>b，且c>0，则a+c>b+c。
5. 翻转性质：若a>b，且c<0，则-a<-b。
6. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c。
7. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a<b且c<0，则ac>bc。
二、基本不等式1. 加法不等式：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
2. 减法不等式：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法不等式：a) 正数乘法不等式：若a>b且c>0，则ac>bc。
b) 负数乘法不等式：若a>b且c<0，则ac<bc。
4. 除法不等式：a) 正数除法不等式：若a>b且c>0，则a/c>b/c。
b) 负数除法不等式：若a>b且c<0，则a/c<b/c。
5. 绝对值不等式：a) 若|a|<b，则-a<b<a。
b) 若|a|>b，则a<-b 或 a>b。
6. 平方不等式：a) 若a>b>0，则a^2>b^2。
b) 若a<b<0，则a^2>b^2。
三、解不等式的方法1. 加减法解法：对于不等式a+c>b+c，若c>0，则原不等式成立；若c<0，则原不等式不成立。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3…BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。
高一学的不等式知识点归纳
高一学的不等式知识点归纳不等式是数学中的一种运算关系，表示两个数或两个代数式不相等的关系。
在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点。
本文将归纳总结高一学年中，学生们需要了解和掌握的不等式知识点。
1. 不等式的基本概念不等式是用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示的数学关系。
例如，a > b表示a大于b，a < b表示a小于b，a ≥ b表示a大于或等于b，a ≤ b表示a小于或等于b。
同样，我们可以用字母代表未知数，如x > 5表示x大于5。
2. 不等式的解集表示法不等式的解集是所有满足不等式条件的数的集合。
我们可以用不等式的解集表示法来表示解集。
例如，不等式x > 2的解集可以表示为{x | x > 2}，表示所有大于2的实数。
3. 不等式的性质不等式具有以下性质：- 两侧同时加（减）一个相同的数，不等号方向不变。
例如，若a > b，则a + c > b + c。
- 两侧同时乘（除）一个正数，不等号方向不变。
例如，若a > b（c > 0），则ac > bc。
- 两侧同时乘（除）一个负数，不等号方向反转。
例如，若a > b（c < 0），则ac < bc。
4. 不等式的求解求解不等式就是确定变量的取值范围，使不等式成立。
我们可以使用图像法、试探法和代数方法等不同的方法求解不等式。
- 图像法：将不等式对应的曲线或直线绘制在坐标系中，然后用不等式的解集表示法表示出不等式的解集。
- 试探法：通过尝试不同的数值，判断不等式的真假。
通过逼近取样，可以确定不等式的解集。
- 代数方法：利用数学运算的性质，将不等式转化为更简单的形式，进而求解不等式。
5. 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是不等式在常见问题中的应用场景：- 金融领域：利率、股票涨跌幅、投资收益的计算等。
- 统计学：平均值、标准差、极值等的计算。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高一数学不等式知识点笔记
高一数学不等式知识点笔记一、不等式的定义和性质不等式是指两个数、两个代数式或两个函数之间的大小关系，通常用不等号（<、>、≤、≥）表示。
1. 不等式的基本性质：- 反身性：任何数与自身之间没有大小关系，即 a = a。
- 对称性：如果 a > b，则 b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。
- 传递性：如果 a > b 且 b > c，则 a > c；如果a ≥ b 且b ≥ c，则a ≥ c。
2. 不等式的加减性质：- 加法：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
- 减法：如果 a > b，那么 a - c > b - c（当 c > 0）或 a - c < b - c （当 c < 0）。
3. 不等式的乘除性质：- 正数乘法：如果 a > b 且 c > 0，那么 ac > bc。
- 负数乘法：如果 a > b 且 c < 0，那么 ac < bc。
- 正数除法：如果 a > b 且 c > 0，那么 a/c > b/c。
- 负数除法：如果 a > b 且 c < 0，那么 a/c < b/c。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 是已知实数。
1. 解一元一次不等式的方法：- 将不等式转换为等价不等式。
- 使用数轴图，根据系数 a 的正负和不等号的方向确定解集。
- 需要注意的是，当不等式中存在乘法或除法时，需考虑 a 的正负和不等号的方向是否改变。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中 a、b、c 是已知实数且a ≠ 0。
1. 求解一元二次不等式的步骤：- 将一元二次不等式转换为二元一次不等式。
高一数学不等式知识点梳理
高一数学不等式知识点梳理在高中数学中，不等式是一个重要的概念和内容，在各个章节中都会涉及到不等式的相关知识和应用。
下面将对高一数学中的不等式知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握不等式的相关内容。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数之间的大小关系的一种表示方式，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
2. 不等式的解集：不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：(1) 通过绘制数轴法确定解集；(2) 利用性质将不等式转化为等价的形式求解。
2. 一元一次不等式的性质：(1) 加减性质：若a<b，则a±c<b±c（其中c为常数）；(2) 倒置性质：若a<b，则-b<-a；(3) 倍增性质：若a<b，则ac<bc（c>0）或ac>bc（c<0）；(4) 倒数性质：若a<b，则1/b<1/a（a>0，b>0）。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：(1) 使用根的性质来解决一元二次不等式；(2) 利用配方法将一元二次不等式转化成平方完全性质的形式求解。
2. 一元二次不等式的性质：(1) 零点性质：若x1、x2为一元二次不等式的解，则x1+x2=-b/a、x1*x2=c/a；(2) 符号性质：当a>0时，一元二次不等式y=ax²+bx+c的解集随x的增加而递增，当a<0时，解集随x的增加而递减；(3) 洛必达不等式：若0<a<b，则0<ln(a/b)<a/b<1。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：(1) 利用绝对值的定义进行讨论求解；(2) 利用绝对值的性质化简不等式，并得出解集。
2. 常见的绝对值不等式：(1) |x|<a（a>0）的解集为(-a, a)；(2) |x|>a（a>0）的解集为(-∞, -a)∪(a, +∞)；(3) |x-a|<b（b>0）的解集为(a-b, a+b)；(4) |x-a|>b（b>0）的解集为(-∞, a-b)∪(a+b, +∞)。
高一数学不等式知识点的
高一数学不等式知识点的一、基本概念不等式是数学中的一种重要概念，表示两个量之间的大小关系。
在高一数学学习中，我们主要掌握以下几个基本概念：1. 不等式的符号在不等式中，常见的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
2. 不等式的解集解集是指使不等式成立的所有实数的集合。
可以用区间表示解集，比如(a, b)表示大于a小于b的实数集合。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。
我们可以通过移项和同乘（同除）等基本运算解决一元一次不等式的求解问题。
例如，对于不等式2x - 3 > 5，我们可以先将常数项移至另一侧，得到2x > 8，然后同除以2，得到x > 4。
因此，不等式的解集为(4, +∞)。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的不等式。
解决一元二次不等式的方法通常有以下几种：1. 寻找零点可以将不等式转化为一个二次函数的零点问题，通过求解二次函数的零点来得到不等式的解集。
2. 使用判别式对于形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，可以计算出其判别式Δ=b^2 - 4ac的值，并根据判别式的正负情况来确定不等式的解集。
3. 图像法通过绘制一元二次函数的图像，找到使函数大于（或小于）零的区间，从而确定不等式的解集。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，常见的形式有|a - b| > c或|a - b| < c。
解决绝对值不等式的方法主要有以下几种：1. 分情况讨论法根据绝对值的定义，将绝对值不等式分解为正负两个部分，然后分别求解并合并解集。
2. 图像法通过绘制绝对值函数的图像，找到使函数大于（或小于）某个值的区间，从而确定绝对值不等式的解集。
五、常见的不等式性质在高一数学的学习中，我们还需了解一些常见的不等式性质，如：1. 不等式的加法、减法性质对于不等式a > b和c > d，有a + c > b + d和a - c > b - d的性质。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结在高一数学学习中，不等式是一个非常重要的知识点。
不等式作为一种比较关系，可以在数学问题中起到很大的作用。
本文将对高一数学中的不等式知识点进行总结和归纳，并从基础概念到常见问题解答，介绍不等式的相关内容。
1. 不等式的基础概念不等式是数学中用于表示两个数之间的大小关系的一种符号表示法。
常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于）。
不等式的解集包括使不等式成立的所有实数。
2. 不等式的性质和运算规则不等式具有一些与等式相似的基本性质和运算规则。
（1）对于任意实数a，若a > 0，则a乘方不等式保持不等号的方向；（2）对于任意实数a、b和c，若a > b且c > 0，则a + c > b + c；（3）对于任意实数a和b，若a > b且c < 0，则ac < bc。
3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数且次数最高的项是一次的不等式。
解一元一次不等式的方法一般有图像法和代数法。
（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使不等式成立的区间；（2）代数法：通过代数计算，将不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数且次数最高的项是平方的不等式。
解一元二次不等式的方法一般有图像法和代数法。
（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使不等式成立的区间；（2）代数法：通过代数计算，将不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。
此外，还可以使用配方法、求导等方法求解特殊的一元二次不等式。
5. 系统不等式系统不等式是多个不等式同时存在的情况，需要求解不等式的共同解集。
解系统不等式的方法一般有图像法和代数法。
（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使所有不等式都成立的区域；（2）代数法：通过代数计算，将系统不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。
高一不等式及知识点总结
高一不等式及知识点总结一、不等式不等式是数学中比较大小关系的表示形式，以不等号（>、<、≥、≤）连接。
在高中数学中，不等式是一个重要的概念，不仅在代数、函数等知识中经常出现，也在实际问题中有广泛的应用。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次项的不等式，例如：ax + b > 0。
2. 一元一次不等式的解集表示解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，需要进行变形、运算和判断。
例如，对于不等式2x + 4 < 10，我们可以首先将不等式转化为等价的形式2x < 6，然后再根据系数的正负情况确定不等式的解集。
3. 解一元一次不等式的充分条件解一元一次不等式的充分条件是指在变形和运算的过程中需要针对不等式的符号进行讨论，以确定最终的解集。
例如，当一元一次不等式中出现除法运算时，需要考虑分母为0的情况，以避免出现错误的解集。
三、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是指由多个一元一次不等式组成的集合，例如：{2x + 3 > 1,4x - 5 < 3}。
2. 解一元一次不等式组的方法解一元一次不等式组的方法与解一元一次方程组类似，需要将不等式组中的每个不等式进行变形、运算和判断，最终确定解集的范围。
四、二次不等式1. 二次不等式的定义二次不等式是指含有二次项的不等式，例如：ax^2 + bx + c > 0。
2. 二次不等式的解集表示解二次不等式的方法主要是利用一元二次函数的图像特点和一次不等式的解法，通过绘制函数图像和分析函数在不同区间的正负性，确定二次不等式的解集。
五、绝对值不等式1. 绝对值不等式的定义绝对值不等式是指含有绝对值表达式的不等式，例如：|x - a| < b。
2. 绝对值不等式的解集表示解绝对值不等式的关键是将绝对值表达式拆解为两个不等式，并分别求解这两个不等式。
高一数学不等式核心知识点
高一数学不等式核心知识点不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题、研究问题的范围和推论等方面发挥着重要作用。
作为高一学生，掌握不等式的核心知识点对于今后学习数学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍高一数学不等式的核心知识点，让我们一起来学习吧！1. 不等式基本概念不等式是指两个数之间存在大小关系的表示形式。
常见的不等式形式包括“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
例如，a>b表示a大于b，a≥b表示a大于等于b。
在解不等式时，需要确定未知数的取值范围，使不等式成立。
2. 不等式的性质不等式具有一些特殊的性质，包括保持不等号方向性、对不等式两侧同时加减相等数保持不等号方向性、对不等式两侧同时乘除正数保持不等号方向性、对不等式两侧同时乘除负数改变不等号方向性等。
这些性质在解不等式时起到重要的指导作用。
3. 不等式的解集表示形式解不等式时，可以通过图像、集合、区间等方式表示解集。
图像表示方式以数轴上的点、线段表示解集，集合表示方式使用大括号{}将解集中的元素列举出来，而区间表示方式则采用小括号()、中括号[]等符号表示解集的开闭性。
在解不等式时，我们可以根据具体的问题和要求选择适合的解集表示形式。
4. 不等式的解法在解不等式时，可以使用不等关系的性质，通过逐步变换将不等式转化为简单形式。
重要的解法包括加减法变形法、乘除法变形法、取绝对值法等。
需要注意的是，变形过程中需要保持不等式的等价性，即不改变不等式的解集。
5. 一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一。
对于一元一次不等式，我们可以使用加减法变形法和乘除法变形法进行解题。
例如，3x-4>7，我们可以通过不等式两侧同时加4，得到3x>11，再除以3，得到x>11/3，解集为开区间(11/3, +∞)。
6. 一元二次不等式一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二。
高一不等式性质知识点总结
高一不等式性质知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要且常见的概念。
不等式性质是解不等式以及进行数学推理的基础。
在高一学习阶段，学生需要掌握一些基本的不等式性质，并能够运用它们解决问题。
本文将对高一不等式性质进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用相关知识。
一、基本的不等式性质1. 加减性质：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
这个性质表示不等式两边同时加（减）相同的数时，不等关系保持不变。
2. 倍数性质：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以正数时，不等关系保持不变。
3. 倒数性质：如果a>b，且c<0，那么ac<bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以负数时，不等关系改变。
4. 等价性质：如果a>b，并且c是一个正数，那么ac>bc；如果c是一个负数，那么ac<bc。
这个性质可以用于推导和证明不等式。
二、不等式的求解方法1. 基于图形的方法：对于简单的一元一次不等式，可以通过在数轴上绘制相关函数的图像来直观地找到解。
2. 基于性质的方法：利用不等式的性质进行数学推理和变形，以求得解的范围。
3. 基于代数的方法：对于复杂的不等式，可以利用代数的方法进行推导和解答。
常用的方法包括因式分解、配方法、平方根法等。
三、常见的不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b是已知的实数，x是未知数。
通过代数的方法解题，可以得到解的范围。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b 和c是已知的实数，x是未知数。
解一元二次不等式的方法包括图像法、配方法和因式分解等。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。
解绝对值不等式的方法包括分情况讨论和代数方法等。
4. 分式不等式：形如f(x)>g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)是已知的分式函数，x是未知数。
高一数学不等式知识点整理归纳
高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 \(a > b\)，则 \(b a\)；若 \(a b\)，则\(b > a\)。
2. 传递性：若 \(a > b\) 且 \(b > c\)，则 \(a > c\)；若\(a b\) 且 \(b c\)，则 \(a c\)。
3. 加法性质：若 \(a > b\)，则 \(a + c > b + c\)。
4. 乘法性质：若 \(a > b\) 且 \(c > 0\)，则 \(ac > bc\)；若 \(a > b\) 且 \(c 0\)，则 \(ac bc\)。
二、一元一次不等式形如 \(ax + b > 0\) 或 \(ax + b 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。
解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。
2. 化简：将 \(x\) 的系数化为 \(1\)，注意当系数为负数时，不等号方向改变。
三、一元二次不等式形如 \(ax^2 + bx + c > 0\) 或 \(ax^2 + bx + c 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。
解法：1. 求出方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根（可用求根公式 \(x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}\) ）。
2. 根据二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像与 \(x\) 轴的交点，确定不等式的解集。
当 \(a > 0\) 时：若方程有两个不同实根 \(x_1\) ， \(x_2\) （\(x_1x_2\)），则不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) 的解集为 \(x x_1\)或 \(x > x_2\) ；不等式 \(ax^2 + bx + c 0\) 的解集为 \(x_1x x_2\) 。
高一数学不等式知识点总结及例题
高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。
（一）不等式的基本性质。
1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。
2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。
- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。
- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。
4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。
- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。
- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。
（二）一元二次不等式及其解法。
1. 一元二次不等式的一般形式。
- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。
2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。
- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。
- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
高一不等式知识点总结
高一不等式知识点总结不等式是代数学中的一个重要概念，它是用来表示数之间大小关系的数学式子。
在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点，它涉及到绝对值不等式、一元一次不等式、一元二次不等式等内容。
本文将从不等式的定义、性质、解法以及应用等方面对高一不等式知识点进行总结。
一、不等式的定义不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的数之间的大小关系。
一般地，如果a和b是两个实数，那么a>b表示a大于b，a<b表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。
例如，2>1表示2大于1，3<4表示3小于4，5≥3表示5大于等于3，6≤9表示6小于等于9。
二、不等式的性质1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法性质：若a>b且c>0（或c<0），则ac>bc（或ac<bc）。
4. 除法性质：若a>b且c>0（或c<0），则a/c>b/c（或a/c<b/c）；若a>b且c<0，则a/c<b/c（或a/c>b/c）。
5. 对称性：若a > b，则-b > -a。
6. 传递性：若a>b，b>c，则a>c。
三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式，其中a、b、c均为实数且a不等于0。
一元一次不等式的解法主要有以下几种方法：1. 图解法：根据不等式的符号关系和一次函数图像的性质，画出函数图像，并确定不等式的解集。
2. 实数法：根据不等式的性质和实数的加减乘除性质，通过变形等方式求出不等式的解集。
3. 区间法：将不等式转化为求解方程的问题，根据方程解的个数和不等式的符号关系，求出不等式的解集。
高一的不等式知识点归纳总结
高一的不等式知识点归纳总结不等式是数学中重要的一部分，其应用广泛，特别是在代数、几何和数论中。
在高一的数学学习中，不等式是一个重点内容，并为后续的数学学习打下基础。
下面是对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。
一、基础概念1.1 不等式的定义不等式是两个数或者表达式之间用不等号（<、>、≤、≥）联系起来的数学关系。
其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。
1.2 不等式的性质不等式存在传递性，即若a>b且b>c，则有a>c。
不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。
不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变。
不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。
1.3 不等式的解集表示方法解集表示不等式中使得不等式成立的数的集合。
当不等式为严格不等号时，解集用开区间表示。
当不等式为不严格不等号时，解集用闭区间表示。
当不等式为大于号或小于号时，解集用开区间和闭区间表示。
二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b<0（或>）的不等式，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的基本思路是找到方程ax+b=0的解，然后根据a的正负情况确定解集。
三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax2+bx+c<0（或>）的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的基本思路是找到方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a和二次项的系数的正负情况确定解集。
四、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|<c（或>|）的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
绝对值不等式的解集有两部分组成，即当ax+b>0和ax+b<0时的解集。
五、分式不等式分式不等式是形如f(x)<0（或>）的不等式，其中f(x)为一个分式函数。
解分式不等式的基本方法是找到分式函数的零点，然后根据分式函数的正负情况确定解集。
高一数学不等式知识点
不 等 式1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：（1） 对称性：a>b ⇔b<a ；（2） 传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；（3） 可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4） 可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1） 同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；（2） 异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒.（3） 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4） 乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；（5） 开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；（6） 倒数法则：若ab>0，a>b ，则b 1a 1<。
2、基本不等式定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）推论：如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 算术平均数2b a +；几何平均数ab ； 推广：若0,>b a ，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号；3、绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-4、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；(2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；(3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
高一不等式知识点归纳总结
高一不等式知识点归纳总结高一阶段学习数学，不等式是一个重点知识点，也是数学建模等应用题的常见考点。
在高中阶段，学生需要对不等式的性质、解集的表示和不等式的应用等方面进行深入学习。
本文将对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。
一、不等式的性质1. 不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
这个性质在证明不等式的过程中经常会用到。
2. 不等式的加减性：如果a<b，那么a±c<b±c。
即不等式两侧同时加（或减）一个常数，不等号的方向保持不变。
3. 不等式的乘法性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。
如果a<b，且c<0，那么ac>bc。
也就是说，不等式两侧同时乘以一个正数（或负数），则不等号的方向保持不变；若乘以一个负数，不等号的方向则反向。
4. 不等式的倒数性：如果a<b，且ab≠0，那么1/b<1/a。
当不等式两侧取倒数后，不等号的方向发生改变。
二、不等式解集的表示1. 不等式解的表示方式：不等式解集通常用区间表示，包括开区间、闭区间和无穷区间。
- 开区间：表示不包含某一值的解集，一般用(a, b)表示，表示a<b 之间的所有数但不包括a和b。
- 闭区间：表示包含某一值的解集，一般用[a, b]表示，表示a≤x≤b 之间的所有数。
- 无穷区间：表示解集没有上下界的情况，分为无穷大区间和无穷小区间。
2. 解不等式的步骤：解不等式的主要步骤有：移项、消项、分析正负、绘制数轴和表示解集。
三、不等式的类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b 为已知实数，x为未知数。
- 解一元一次不等式的步骤：先将不等式化简为ax>c或ax<c的形式，然后根据a的正负情况进行讨论，最后找出解集。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
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授课教案教学标题 期末复习（三） 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习1 等差数列（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；（2） 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；等差数列等比数列 定义 d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+-q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（*,,0n k N n k ∈>>）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（*,,0n k N n k ∈>>）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nna .2 等比数列 （1）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。
3 等差、等比数列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。
典型例题例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。
例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n 。
例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式；（2）设1n n n a a 1b +=，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 21<.例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。
例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=81，求等差数列的通项a n 。
4 练习1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和S n =______。
2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。
3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。
4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。
5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项b n =a n+1+a n+2（n ∈N +），数列{a n },{b n }的前n 项和分别记为A n ，B n ，试比较A n 与B n 大小。
6 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n （n ∈N +） （1） 求数列{a n }通项公式；（2） 设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；（3）设)a 12(n 1b n n -=（n ∈N +）T n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得对于任意的n ∈N +，均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。
二、不等式章节知识点 1、实数的大小比较法则：设a ，b ∈R ，则a>b ⇔ ；a ＝b ⇔ ；a<b ⇔ . 2、不等式的5个性质定理及其3条推论 定理1（对称性） a>b ⇔定理2（同向传递性） a>b ，b>c ⇒ 定理3 a>b ⇔a ＋c > b ＋c 推论 a>b ，c>d ⇒ 定理4 a>b ，c>0⇒ a>b ，c<0⇒ 推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b ＞0 ⇒n n b a > (n ∈N 且n>1) 定理5 a>b ＞0⇒>n a n b (n ∈N 且n>1) 3 均值不等式以及灵活变式设a ，b ∈R ，则○1a 2》0；○2a 2+b 2》0 设a ，b ∈（0，+∞），则2ba +》ab 2，当且仅当 时等式成立。
灵活变式：○1）（2b a +2 2b a 22+；○2ab 2b a 22+；○3ab ）（2b a +2；○4（a+b ）2 4ab 当且仅当a=b 时，各式中等号成立。
4 例题例1．设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．例2设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b例3. 函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．5 练习1、若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a2、若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc ．3、已知函数f(x)＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围．4、(2008广东理)若变量x,y 满足 ,则z=3x+2y 的最大值是 ( )A ．90 B. 80 C. 70 D. 405、已知x y ∈+R，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 。
{}2540A x x x =-+|≤，6、已知集合{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．6、一元二次不等式及其解法会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式．解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
（1）用图象法解一元二次不等式（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系 练习1 不等式2x x >的解集是（ ）A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞ ，， 2 不等式224122x x +-≤的解集为 ．3 解不等式|5x+1|>2-x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,502,402y x y x y x4 已知|x-a|<2m ε,0<|y-b|<2aε,y ∈(0,m)，求证:|xy-ab|<ε 5 已知a 、b 、c ∈R+，且a+b+c=1.求证：（1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ） 6 已知a>0,b>0,c>0,且a,b,c 不全相等.求证：bc ac aba b c++>a+b+c. 7 已知不等式02>++c bx ax 的解集为()βα,且βα<<0 求不等式02>++a bx cx 的解集。
8 方程()0342=-+-a x ax 的两个根都在区间()1,0内， 求实数a 的取值范围。
9．不等式0)(322>++-a x a a x 的解集为{|x 2a x <或ax >}则实数a 的取值范围 .10 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？11 某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备？课后作业1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2<x <3}，则bx 2－ax －1>0的解集为( ) A ．{x |2<x <3}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13D.{}x |－3<x <－23．(2009·天津)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)4．(2009·山东)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)5．若－1＜a ＜0，则不等式(x －a )(ax －1)＜0的解集为________．6．已知函数f (x )＝(x －2)x 2－2x －3，则不等式f (x )≥0的解集是________． 7．(2010·辽宁丹东调研)若x ∈R，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，则a 的范围是________．8．解关于x 的不等式x 2－x ＋3x 2＋ax＞0(a ≠0)．9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞x 的解集为(1,2)，若f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围．10．(2010·安徽铜陵调研)国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策， 现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税， 每销售100元要征税R 元(叫做税率R%)，则每年的销售收入将减少10R 万瓶，要使每 年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R 应怎样确定？。