高中数学 椭圆的简单几何性质教案(2) 新人教A版选修2-1

§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)

●教学目标

１．熟悉椭圆的几何性质；

２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程； ３．了解椭圆在科学研究中的应用． ●教学重点：椭圆的几何性质应用 ●教学过程：

Ⅰ、复习回顾：

利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课：

例6．点 ),(y x M 与定点 )0,4(F 的距离和它到定直线 4

25:=x l 的距离的

比是常数5

4，求点

的轨迹．

解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是

集合

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==54d MF M P 由此得544

25)4(22=-+-x y x ．

将上式两边平方，并化简得 22525922=+y x

即19

252

2=+y x

所以，点M 的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆

说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点

与焦点

的距离和它到定直线

的距离的比是常数

（e 为椭圆的离心率）。其中定直线

叫做椭圆的

准线。

对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 ．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是

，所以椭圆有两条准线．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

【典例剖析】 ［例

1］已知椭圆2

2

22b

y a x +＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ，

0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜＝a ＋

ex 0，｜PF 2｜＝a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率．

［例2］已知点

A (1，2)在椭圆12

1622y x +

＝1内，F 的坐标为(2，

0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．

［例

3］在椭圆9

252

2y x +

＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是

它到右焦点距离的两倍． Ⅲ、课堂练习： 课本Ｐ52，练习 ５ 再练习：已知椭圆

上一点 到其左、右焦点距离的比为

1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，

到右准线的距离为

．）

思考： 已知椭圆 内有一点 ，

是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使

的值最小，求

的坐标．（如

图）

分析：若设

，求出 ，再计算最小值是很繁的．由

于 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法． 解：设

在右准线 上的射影为

．

由椭圆方程可知

，

，

．

根据椭圆的第二定义，有 即

．

∴

．显然，当 、

、 三点共线时，

有最小值．过 作准线的垂线

．

由方程组 解得 ．即 的坐标

为

．

【随堂训练】

1．椭圆2

2

22a

y b x +＝1(a ＞b ＞0)的准线方程是( )

A ．y ＝±2

2

2b a a + Ｂ．y ＝±2

2

2b a a -

Ｃ．y ＝±

2

22b

a b - Ｄ．x ＝±

2

2

2b

a a -

2．椭圆4

92

2y x +

＝1的焦点到准线的距离是( )

A ．55

4

和

559 B ．559和5514 C ．554和5514 D ．55

14 3．已知椭圆2

2

22b

y a x +＝1(a >b >0)的两准线间的距离为3

3

16

，离

心率为

2

3

，则椭圆方程为( ) A ．3422y x +＝1 B ．31622y x +＝1 C ．12

162

2y x +

＝1 D ．4

162

2y x +

＝

1

4．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝0．8，焦点与相应准线的距离等于4

9的椭圆的方程是( )

A ．92522y x +＝1或92522x y +＝1

B ．92522y x +＝1或16

252

2y x +＝1

C ．16

2

x ＋92y ＝1 D ．162522x y +＝1

5．已知椭圆2222

b

y a x +＝1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为

33

7，中心到准线的距离为3

34，则椭圆的方程为( ) A ．42x ＋y 2＝1 B ．2

2

x ＋y 2＝1

C ．42x ＋22y ＝1

D ．8

2

x ＋42y ＝1

6．椭圆22)2()2(-+-y x ＝25

8

43++y x 的离心率为( )

A ．25

1 B ．51 C ．101 D ．无法确定

【强化训练】

1．椭圆2

2

22b

y a x +＝1

和2

2

22b

y a x +＝k (k ＞0)具有( )

A ．相同的离心率

B ．相同的焦点

C ．相同的顶点

D ．相同的长、短轴

2．椭圆9

252

2y x +

＝1上点P 到右焦点的最值为( )

A ．最大值为5，最小值为4

B ．最大值为10，最小值为8

C ．最大值为10，最小值为6

D ．最大值为9，最小值为1