近世代数练习题部分答案（12级）（1）
近世代数课后习题答案
近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。
本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。
答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。
由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。
再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。
因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。
答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。
根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。
因此，元素a的逆元素是唯一的。
二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。
答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。
由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。
再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。
因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。
2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。
答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。
近世代数课后题答案修改版
（2）在乘法表中任取一个 1，在同一列中必有一个 x，在同一行 中必有一个 y，设第四个顶点的元素为 z，见下图，
�
..........a-1.........................c...................
......
...........................................................
......
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。
2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。
4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。
5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。
7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。
8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。
9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。
10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。
11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。
12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
（ ）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ ）三．证明题1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
近世代数练习题部分答案(12级)(1)
练习题参考答案一、 判断题1. R 是A 的元间的等价关系.（错 ）见教材第27页习题2（2）2. 则G 是交换群.（正确）见教材第37页习题63、则该群一定为有限群.（错 ）见教材第39页例44、则G 与整数加群同构.（正确）见教材49页定理1（1）5、那么G 也是循环群.（错 ）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群.6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -∀∈⊆.（正确）见教材84页定理17、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈∀,.（正确）见教材83页定义18、那么R 必定没有右零因子.（正确）见教材139页推论9、则N G /也是循环群.（正确）见教材95页定理310、那么R 的单位元一定是非零元.（正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是单位元.11、整数环与偶数环同态.（错误）设Z Z 2:→ϕ为同态满射，且k 2)1(=ϕ，则24)1()1()11()1(k ==⨯=ϕϕϕϕ，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者不可能，因此有02=k ，则0)1(=ϕ，得0)(=n ϕ，与ϕ为满射矛盾.12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6------=Z ,47Z 均是整环.（错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环.13、素数阶群一定是交换群.（正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.二、单项选择题1、指出下列哪些运算是给定集合上的代数运算（ ④ ）2、设 是正整数集上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），关于运算 ，下列结论不正确的是（ ④ ）3、设G 是实数集,在其上规定运算k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数，那么() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（④ ）4、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （①）5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分解G HaH bH cH =，如果6=H ，那么G 的阶=G （② ）6、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（③ ）7、设},),{(为实数y x y x M =，对任意实数a ，规定)),((),0,(),(:M y x a x y x a ∈∀+→τ，}{为实数a G a τ=,下列说法错误的是（③ ）三、填空题1、三次对称群3S 关于子群)}12()1{(，=H 的所有左陪集为__H,(13)H,(23)H___.2、Kayley 定理说：任何群都同一个__双射变换________群同构.3、G auss 整环},{][Z b a bi a i Z ∈+=中的所有单位是 __±1，±i _______.4、设)57)(134(),234)(1372(==στ，则||τ=___6__,=-1στσ)241)(3452(.5、设R 是有单位元的环，且理想I =<a >，那么I 中的元素可以表示为x 1ay 1+…+x m ay m ,x i ,y i ∈R ,m 为整数.6、已知---++=253)(3x x x f ，---++=354)(2x x x g 为域6Z 上的多项式，则=+)()(x g x f 544323+++-x x x ，)(x g 在6Z 上的全部根为 3,1. 7、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha H ba ∈-1.8、设G =><a 是12阶循环群，则G 的生成元有 a ,a 5,a 7,a 11 .9、实数域R 的全部理想是 0, R .10、模8的剩余类环8Z 的全部零因子是6,4,211、阶大于1、有单位元且无零因子的交换 的环称为整环.四、计算与证明题1.解：（2）单位元为,1π414313212111,,,ππππππππ====----；（3）1阶子群：}{1π；2阶子群：},{},,{},,{},,{41313121ππππππππ，4阶子群：},,,{4321ππππ=G .（1）乘法表如下： 4321ππππ43211πππππ34122πππππ21433πππππ12344πππππ4. 设Z 为整数环，证明：（1）利用理想的定义验证，略（2）设有理想K 包含N ，即,R K N ⊆⊆由于Z 为主理想整环，所以K 为主理想，即有整数正k ，使>=<k K ，由于K N ⊂，且,p N ∈故,k p >=<∈K 从而,kn p =由于p 为素数，所以1k =或p k =，若k=p ，则K=N ；若k=1，则K=R ，所以除了Z 和N ，没有其它理想包含N .5.设R 是可交换的有限环,且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子.证明：设，},,,{21n a a a R =},,,{021n a a a R a =∈≠∀，且a 不是可逆元，令},,,,{21n aa aa aa S =由乘法封闭性，知 ,R S ⊆又元素a 不是可逆元，所以 n aa aa aa ,,,21 均不等于单位元1，所以S 为R 的真子集，又,n R =从而,1-≤n S 从而一定存在,j i ≠使,j i aa aa =即,0=-）（j i a a a 所以a 为环R 的零因子.6、设环R 含单位元1，证明：首先有N ⊆R ，又R a ∈∀，有1⋅=a a ，由于N 是R 的一个理想且1∈N ，根据理想的吸收性，有N a a ∈⋅=1，所以R ⊆N ，因此N=R.7、设K 是一个有单位元的整环，证明：K=<a >当且仅当a 是K 的可逆元. 证明：必要性 由于K 有单位元且可交换，故<a >={a r |任意r ∈K}，如果K=<a >，则1∈<a >,所以存在r ∈K ，使a r =1，因此a 是K 的可逆元； 充分性 a 是K 的可逆元，则存在r ∈K ，使a r =1，所以1∈<a >，任意s ∈K,由理想的吸收性，可知>∈<⋅=a s s 1,得K ⊆<a >，又显然<a >⊆ K ，所以K=<a >19、设环R 的特征char R=n 为合数，且|R|>1，证明环R 存在零因子.祝大家考试取得好成绩！。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数习题答案
近世代数习题答案近世代数习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对概念和定理的理解，提高解决问题的能力。
本文将给出一些近世代数习题的答案，并对其中的一些重要思想进行解析。
1. 习题：证明群的单位元是唯一的。
解答：设G是一个群，e和e'都是G的单位元。
根据单位元的定义，对于任意的元素g∈G，有eg=g=ge'。
将e'代入上式，得到e=ge'。
同理，将e代入上式，得到e'=ge。
由此可知，e=e'，即群的单位元是唯一的。
思考：这个习题通过对单位元的性质进行推理，展示了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要运用代数运算的基本法则，如等式的传递性和对称性等。
2. 习题：证明群的逆元是唯一的。
解答：设G是一个群，g∈G，且g有两个逆元g'和g''。
根据逆元的定义，有gg'=e和gg''=e。
将第一个等式两边都乘以g''，得到gg'g''=eg''=g''。
将第二个等式两边都乘以g'，得到gg'g''=g'。
由此可知，g''=g'。
即群的逆元是唯一的。
思考：这个习题通过对逆元的性质进行推理，进一步巩固了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要灵活运用等式的乘法和消去律，以及群运算的定义。
3. 习题：证明交换群的幂运算满足指数相加的性质。
解答：设G是一个交换群，a∈G，m和n是任意的整数。
我们要证明a^m * a^n = a^(m+n)。
当m和n都是非负整数时，根据幂运算的定义，这个等式成立。
当m和n都是负整数时，设-m=k，-n=l，其中k和l都是非负整数。
根据幂运算的定义，有a^m * a^n = a^(-k) * a^(-l) = (a^k)^(-1) * (a^l)^(-1) = (a^k * a^l)^(-1) = a^(-k-l) = a^(m+n)。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数经典题与答案
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载近世代数经典题与答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容1．设为整数加群, ,求解在 Z中的陪集有:, , ,, , 所以, .2、找出的所有子群。
解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。
同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
7．试求高斯整环的单位。
解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5．在中, 解下列线性方程组:解: 即 , .12. 试求的所有理想.解设为的任意理想, 则为的子环，则 , , 且 .对任意的 , , 有 ,从而由理想的定义知, 为的理想. 由此知, 的全部理想为且 .13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。
解由于，所以，于是得。
14、在中, 求的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R为偶数环.证明：问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？解：：故另外故总之有另方面，由于且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即，但是因此，.实际上是22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.解 , 的所有左陪集为:;;．的所有右陪集为:;;.1．在群中, 对任意 , 方程与都有唯一解.证明令 , 那么 , 故为方程的解。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
《近世代数》练习题及参考答案
《近世代数》练习题及参考答案1．设A={a ，b ，c ，d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。
2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4．设G=。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明：G 关于矩阵的乘法构成群。
5．证明：所有形如n m 32的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。
参考答案1． 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。
解2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。
（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。
（4）零元是零矩阵。
∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。
（5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。
A+(-A)=(-A)+A=0。
∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。
（4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A ．∴E 为On (R)的单位元。
（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)，满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A ．∴A T 为A 在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
{}d c b a ,,,4．设G=。
近世代数2-12习题
[G : N ] 6 / 3 2 N
(132)(132) (123)
G
16:47
G / N { N , (12) N }
2018/11/9
15. (1) 15 (12345) 51 (13524) 51 1 (14253) 51 1 (15432) 5 5 2 (25) (34) 11 22 (13) (45) 11 22 (15) (24) 11 22 3 4 (14) (23) 11 22 1 22 (12) (35) 1 1 5 N 3 4 3 5 33 30 10
h1n1 , h2n2 HN , (h1 , h2 H , n1 , n2 N ) 1 1 1 h1n1 h2n2 n1 h1 h2 n2 1 n1 h3n2 h3n3n2 h3 n3n2 HN
2018/11/9 16:47
10. 指数为2的子群一定是不变子群. 证明： [G : H ] 2
得证一一变换群的单位元是恒等变换.
6. 找出3次对称群的所有子群. 解：
S3 6 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132)
子群的阶整除群的阶 1阶子群只含1阶元，即单位元 2阶子群只含1个1阶元和1个2阶元 3阶子群只含1个1阶元和2个3阶元 6阶子群是其本身
2 3 4 5 6 1 (123)(46) 3 1 6 5 4 1 2 (321)(46) 2 3 4 5 6 1 (1362) 1 6 4 5 2 1 3 (2631) 求（1）循环置换分解， | | 6 | | 6 | | 4 （2）逆元，（3）阶 , (23654) (346) （4）
近世代数复习题答案
近世代数复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备有一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元、逆元。
即对于任意的a, b属于G，有a*b属于G；对于任意的a, b, c属于G，有(a*b)*c = a*(b*c)；存在一个元素e属于G，使得对于任意的a属于G，有e*a = a*e = a；对于每一个a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。
2. 什么是子群？答：如果群G的一个非空子集H满足对于任意的a, b属于H，有a*b^(-1)属于H，则称H为G的一个子群。
3. 什么是正规子群？答：如果群G的一个子群N满足对于任意的g属于G和任意的n属于N，有g*n*g^(-1)属于N，则称N为G的一个正规子群。
4. 群同态的定义是什么？答：设G和H是两个群，如果存在一个映射φ: G → H，满足对于任意的a, b属于G，有φ(a*b) = φ(a)*φ(b)，则称φ为从G到H的一个群同态。
5. 什么是群的同构？答：如果群G和H之间存在一个双射的群同态φ，则称G和H是同构的，记作G ≅ H。
6. 什么是环？答：环是一个集合R，配备有两个二元运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群；(R, *)满足结合律；乘法对加法满足分配律。
即对于任意的a, b, c属于R，有(a+b)+c = a+(b+c)；存在一个元素0属于R，使得对于任意的a属于R，有a+0 = 0+a = a；对于每一个a属于R，存在一个元素-a属于R，使得a+(-a) = (-a)+a = 0；对于任意的a, b属于R，有(a*b)*c = a*(b*c)；对于任意的a, b属于R，有a*(b+c) = a*b + a*c，(b+c)*a = b*a + c*a。
7. 什么是理想？答：如果环R的一个非空子集I满足对于任意的a属于I和任意的r 属于R，有a*r和r*a属于I，则称I为R的一个理想。
近世代数的答案
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶(2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈K K K ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{K =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca Θ 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→ :ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
临沂大学2012级第二学期 近世代数-答案
《近世代数》参考答案一、选择题1. B2. D3. C4. D5. B6. B7. C8. C9. A 10. B二、填空题 1. _3_ 2. _2_ 3. _12_ 4. 域 5. 3 6. 素数 7. }{R r ra ∈ 8. 4 9. 9 , 3三. 证明题1. 证明： 显然G 非空.G b a ∈∀,, 则b a =2a b ++G ∈，从而此运算是G 的代数运算。
G c b a ∈∀,,, 有()(2)(2)14a b c a b c a b c a b c =++=++++=+++ ,()(2)(2)24a b c a b c a b c a b c =++=++++=+++ ,故)()(c b a c b a =, 即G 关于此运算满足结合律.………….….(4分)G a ∈∀, 有(2)22a a a -=-++= , 故2-是G 的左单位元.G a ∈∀, 有4a G --∈, 使(4)(4)22a a a a --=--++=- , 故4a --是a 的左逆元.所以整数集G 关于此运算作成群.……………….(4分)2. 证明: 设R 为布尔环, 则R 中每个元素都为幂等元, 从而R a ∈∀, 有a a a a -=-==22)(, 故0=+a a .………………..(4分)R b a ∈∀,, 有b a b a +=+2)(, 从而b a b ba ab a +=+++22, 又a a =2, b b =2, 因而有ba ba ab =-=. 所以布尔环R 是交换环, 而且其中任何元素a 都有0=+a a .……………...(4分)3. 证明: 设G 为一个有限群.若G 中无阶大于2的元素, 则G 中阶大于2的元素个数为0, 因而为偶数. ……….…….....(2分)若G 中有阶大于2的元素, 设G a ∈, 且2||>a , 则||||1a a =-, 且a a ≠-1(否则, 有e a =2, 与2||>a 矛盾). 如果b 也为G 中阶大于2的元素, 且a b ≠, 1-≠a b , 则||||1b b =-, 且a b ≠-1, 11--≠a b . 因而G 中阶大于2的元素必定成对出现, 所以G 中阶大于2的元素个数为偶数. …………..….....(6分)4. 证明: (1) 由条件, 域F 的阶为4, 因而由Cauchy 定理知F 中有元素关于加法的阶为2. 又F 为域, 从而无零因子, 因而F 中每个非零元素的阶都为2, 所以char R =2.…………..…….(3分)(2) 任取F 中非0及1的元素a , 由于F 为阶为4的域, 从而*F 为3阶乘法群且*F a ∈, 故由Lagrange 定理知13=a , 从而0)1)(1(2=++-a a a ............................... (4分)又0≠a 且F 无零因子, 因而012=++a a , 即12--=a a . 又由char F =2得11,-=-=a a , 所以12+=a a .所以F 中非0及1的两个元素都满足方程12+=x x…………..………...(3分)5. 证明: 设G 为一个单群, 且G G ϕ~, ϕ为群同态满射. 由群同态基本定理知ϕker 是G 的正规子群且G G ≅ϕker , 而G 为单群, 因而}{ker e =ϕ或G =ϕker .………..……...(4分) 当}{ker e =ϕ时, G GG =≅ϕker , 故G 为单群. 当G =ϕker 时, ϕker G G ≅只含一个元素, 即为单位元群.所以单群G 的同态象是单群或单位元群.….……........(4分)6. 证明: 由于>∉<x 1, 故][x Q x >≠<.设N 是][x Q 的正规子群, 且][x Q N x ⊆>⊂<. 由][x Q 有单位元且交换知}][)()({x Q x g x xg x ∈>=<.………..……...(3分)再由][x Q N x ⊆>⊂<知存在N x f ∈)(, 但>∉<x x f )(, 即N 中有多项式c x xg x f +=)()(, 其中][)(,0,x Q x g c Q c ∈≠∈, 从而N x xg x f c ∈-=)()(, 而0,≠∈c Q c , 因而N c c ∈=-11, 从而][)(x Q x h ∈∀, 有N x h x h ∈⋅=1)()(, 所以][x Q N =, 因此><x 是][x Q 的极大理想.………….....(5分)7. 证明: 由C G 为循环群故设>=<aC C G , (C a ∈).G y x ∈∀,, 由>=<aC C G, 故存在整数n m ,, C a aC xC m m ==)(, C a aC yC nn ==)(, ……………….....(5分)因而21,c a y c ax m m ==, 其中C c c ∈21,. 而C 为群G 的中心, 因而yx c a c a c a c a xy m m m m =⋅=⋅=1221, 所以G 为交换群.……………….(5分)。
近世代数答案
第一章 群 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６
内容要点 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６ 读后注 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６ 思考练习题（非必作题） … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７ § １ 群的例子 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７ 习题答案与解答 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０ § ２ 对称性变换与对称性群 ，晶体对称性定律 … … … … … … … … … … … … … … １３ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １３ 习题答案与解答 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １３ § ３ 子群 ，同构 ，同态 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １５ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １５ 习题答案与解答 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １６ § ４ 群在集合上的作用 ，定义与例子 … … … … … … … … … … … … … … … … … １８ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １８ 习题答案与解答 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １９ § ５ 群作用的轨道与不变量 、集合上的等价关系 … … … … … … … … … … … … … ２０ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ２０ 习题答案与解答 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ２０ § ６ 陪集 ，Ｌａｇｒａｎｇｅ 定理 ，稳定化子 ，轨道长 … … … … … … … … … … … … … … … ２１ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ２１ 习题答案与解答 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ２３ § ７ 循环群与交换群 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ２８
11-12(1)近代A参考答案
莆期末考试参考答案及评分标准2011——2012学年第 1 学期 （A ）卷课程名称： 近世代数 适用年级/专业： 09级数学与应用数学（师范） 试卷类别 开卷（ ）闭卷（√） 学历层次 本科 考试用时 120分钟一、填空题（每小题3分，共24分）1、 整环2、1a3、 |H|[G:H]4、i i x ay å其中,i i x y R Î5、［4］6、 n Z7、 （1）8、n二、(18分) 解：Z 10的全部元素为{[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]}生成元是：[1]，[3]，[7]，[9]。
……………(4分)全部可逆元是：[1]，[3]，[7]，[9]，且[1]-1=[1]，[3] -1=[7]，[7] -1=[3]，[9] -1=[9]……………………………………………(8分)10Z 中的所有零因子是：[2]，[4] ，[5]，[6]，[8]。
……………(2分)Z 10的全部子群有：H 1={[0]}， H 2={[0]，[2]，[4]，[6]，[8]}，H 3={[0]，[5]}， H 4=Z 10。
……………(4分)三、 (8分) 证明 {|,}R C r R rxxr x R =?"(1) 因为对任意, , 所以 . 故 .……………(2分)(2) 对 , ,所以, , . 从而R C 为 的子环. ……………(4分) （3）,R x y C " ，则R y C Î，从而yx xy =，即{|,}R C r R rxxr x R =?" 是R 的一个交换子环。
……………………………………………(2分)四、(10分) 证明：（1）由()e e φ=，即ker e φ∈是一个非空集合；,ker a b φ∀∈，即()a e φ=，()b e φ=，得1111()()()()[()]ab a b a b ee e φφφφφ----==== 即1ker ab φ-∈，所以ker φ是G 的子群。
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近世代数练习题部分答案（12级）（1）
练习题参考答案
一、判断题
1. R 是A 的元间的等价关系.
（错）见教材第27页习题2（2）
2. 则G 是交换群.
（正确）见教材第37页习题6
3、则该群一定为有限群.
（错）见教材第39页例4
4、则G 与整数加群同构.
（正确）见教材49页定理1（1）
5、那么G 也是循环群.
（错）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群.
6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -?∈?.
（正确）见教材84页定理1
7、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈?,.
（正确）见教材83页定义1
8、那么R 必定没有右零因子.
（正确）见教材139页推论
9、则N G /也是循环群.
（正确）见教材95页定理3
10、那么R 的单位元一定是非零元.
（正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是
单位元.
11、整数环与偶数环同态.
（错误）设Z Z 2:→?为同态满射，且k 2)1(=?，则
24)1()1()11()1(k ==?=，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者
不可能，因此有02=k ，则0)1(=?，得0)(=n ?，与?为满射矛盾.
12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6-
-----=Z ,47Z 均是整环.
（错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环.
13、素数阶群一定是交换群.
（正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的
阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.
二、单项选择题
1、指出下列哪些运算是给定集合上的代数运算（④ ）
2、设是正整数集上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），关于运算，下列结论不正确的是（④ ）
3、设G 是实数集,在其上规定运算k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数，那么() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（④ ）
4、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （①）
5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分解G H
aH bH cH =，如果6=H ，那么G 的阶=G （② ）
6、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（③ ）
7、设},),{(为实数y x y x M =，对任意实数a ，规定
)),((),0,(),(:M y x a x y x a ∈?+→τ，}{为实数a G a τ=,下列说法错误的是（③ ）
三、填空题
1、三次对称群3S 关于子群)}12()1{(，=H 的所有左陪集为__H,(13)H,(23)H___.
2、Kayley 定理说：任何群都同一个__双射变换________群同构.
3、G auss 整环},{][Z b a bi a i Z ∈+=中的所有单位是__±1，±i
_______.
4、设)57)(134(),234)(1372(==στ，则||τ=___6__,=-1στσ)241)(3452(.
5、设R 是有单位元的环，且理想I =，那么I 中的元素可以表示为x 1ay 1+…+x m ay m ,x i ,y i ∈R ,m 为整数.
6、已知---++=253)(3x x x f ，-
--++=354)(2x x x g 为域6Z 上的多项式，
则=+)()(x g x f 544323+++-x x x ，)(x g 在6Z 上的全部根为3,1. 7、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则?=Hb Ha H ba ∈-1.
8、设G =>
9、实数域R 的全部理想是 0, R .
10、模8的剩余类环8Z 的全部零因子是6,4,2
11、阶大于1、有单位元且无零因子的交换的环称为整环.
四、计算与证明题
1.
解：（2）单位元为,1π414313212111,,,ππππππππ====----；
（3）1阶子群：}{1π；
2阶子群：},{},,{},,{},,{41313121ππππππππ，
4阶子群：},,,{4321ππππ=G .
（1）乘法表如下：4321ππππ
43211πππππ
34122πππππ
21433πππππ
12344πππππ
4. 设Z 为整数环，
证明：（1）利用理想的定义验证，略
（2）设有理想K 包含N ，即,R K N ??由于Z 为主理想整环，所以K 为主理想，即有整数正k ，使>=<="">
由于K N ?，且,p N ∈故,k p >=<∈K 从而,kn p =由于p 为素数，所以1k =或p k =，
若k=p ，则K=N ；若k=1，则K=R ，所以除了Z 和N ，没有其它理想包含N .
5.设R 是可交换的有限环,且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子.
证明：设，},,,{21n a a a R =},,,{021n a a a R a =∈≠?，且a 不是可逆元，令},,,,{21n aa aa aa S =由乘法封闭性，知 ,R S ?又元素a 不是可逆元，所以 n aa aa aa ,,,21 均不等于单位元1，所以S 为R 的真子集，又,n R =从而
,1-≤n S 从而一定存在,j i ≠使,j i aa aa =即,0=-）
（j i a a a 所以a 为环R 的零因子.
6、设环R 含单位元1，
证明：首先有N ?R ，又R a ∈?，有1?=a a ，由于N 是R 的一个理想且1∈N ，根据理想的吸收性，有N a a ∈?=1，所以R ?N ，因此N=R.
7、设K 是一个有单位元的整环，证明：K=当且仅当a 是K 的可逆元. 证明：必要性由于K 有单位元且可交换，故={a r |任意r ∈K}，如果K=，则1∈,所以存在r ∈K ，使a r =1，因此a 是K 的可逆元；充分性 a 是K 的可逆元，则存在r ∈K ，使a r =1，所以1∈，任意s ∈K,由理想的吸收性，可知>∈，又显然? K ，所以K=
19、设环R 的特征char R=n 为合数，且|R|>1，证明环R 存在零因子.
祝大家考试取得好成绩！。