专题31 四边形综合练习(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(原卷版)

专题31 四边形综合练习（提优）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿着AB以每秒1cm的速度向点B移动；同时点Q从点B出发沿着BC以每秒2cm的速度向点C运动．设△DPQ的面积为S，运动时间为t 秒．

（1）用含t的代数式表示出BP的长为cm，CQ的长为cm；

（2）写出S与t之间的函数关系式；

（3）当△DPQ的面积最小时，请判断线段PQ与对角线AC的关系，并说明理由．

2．我们认为，顺次连接公共斜边的两个直角三角形的四个顶点所得的四边形叫做“规正四边形”．如图1，△ABC和△DBC都是直角三角形，且∠BAC＝∠BDC＝90°，则四边形ABCD是规正四边形．

在△ABC中，高线CE和AD相交于点H．

（1）连接DE，如图2．

①写出图中所有的规正四边形有；

②求证：∠CAD＝∠DEC；

（2）连接BH并延长交AC于点F，如图3．求证：四边形AEHF是规正四边形．

3．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．

（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；

（2）当CE＝CF时，求EF的长；

（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，OA ＝8，OC ＝4，点P 为对角线AC 上一动点，过点P 作PQ ⊥PB ，PQ 交x 轴于点Q ． （1）tan ∠ACB ＝ ；

（2）在点P 从点C 运动到点A 的过程中，PQ PB

的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果

不变，请求出其值；

（3）若将△QAB 沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合，求PC 的长．

5．如图，在四边形ABCD 和Rt △EBF 中，AB ∥CD ，CD ＞AB ，点C 在EB 上，∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB ＝BE ＝8cm ，BC ＝BF ＝6cm ，延长DC 交EF 于点M ，点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm /s ，过点P 作GH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ，设运动时间为t （s ）（0＜t ≤5）；

（1）当t 为何值时，CM ＝QM ？

（2）连接PQ ，作QN ⊥AF 于点N ，当四边形PQNH 为矩形时，求t 的值； （3）连接QC ，QH ，设四边形QCGH 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．

6．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ． （1）若BC ＝AB ，求出AD ，CD ，AB 之间的数量关系； （2）若BC ＝AB ，当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE +CD ；

（3）若mBC ＝AB ，∠A ＝60°，BC ＝2，直接写出AD 的长度（用含m 的代数式表示）．

7．已知：如图①长方形纸片ABCD 中，AB ＜AD ．将长方形纸片ABCD 沿直线AE 翻折，使点B 落在AD 边上，记作点F ，如图②．

（1）当AD ＝10，AB ＝6时，求线段FD 的长度；

（2）设AD ＝10，AB ＝x ，如果再将△AEF 沿直线EF 向右起折，使点A 落在射线FD 上，记作点G ，若线段FD =3

2DG ，请根据题意画出图形，并求出x 的值；

（3）设AD ＝a ，AB ＝b ，△AEF 沿直线EF 向右翻折后交CD 边于点H ，联结FH ，当S △HFE S 四边形ABCD

=1

8

时，

求a

b 的值．

8．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ，令AD CD

=k ．

特例解析：如图1，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证：

DE CF

=k ；

类比探究：如图2，若四边形ABCD 是平行四边形，当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，DE CF

=k 仍然成立？

并证明你的结论；

拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，若k =5

7，AD ＝5，tan ∠DCF =43

，∠AED ＝45°，求DE 的长．

9．在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．若点E 是BC 上的一个动点． （1）如图1，若F 为DE 的中点，求证：CF ＝DF ；

（2）如图2，连接DE ，交AC 与点F ，当DE 平分∠CDB 时，求证：AF =√2OA ； （3）如图3，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，求证：CG =1

2BG ．

10．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；

（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立．请说明理由；

（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，请探究线段EF与线段EG之间存在怎样的数量关系？（用含a、b的代数式表示）

11．规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．

（1）如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，当∠BAC、∠BAD、∠BAE、满足条件时，△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”；

（2）如图②，在△ABC与△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD相交于点M，连AM，求证：MA平分∠BMD；

（3）如图③，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD+∠BCD＝180°，AC＝BC+DC，求∠BAD的度数．

12．如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥直线AD于E，PF⊥直线CD于F，AB＝10，AC＝16．

（1）填空：BD＝；

（2）点P在运动过程中，PE+PF的值是否发生变化？若不变，请求出PE+PF的值；若变化，请说明理由；

（3）如图2，若点P在线段AC的延长线上运动时，求PE﹣PF的值．