数形结合学数学——以“二次函数与一元二次方程”为例

课程教育研究Course Education Research 2021年第15期
一、一元二次方程与二次函数的关系
首先我们需要理解二次函数y=ax 2+bx+c (a,b,c 为
常数且a≠0)中x、y 的双重含义:代值计算时:x 表示自
变量的值;y 表示函数值;在函数图像中:x 表示图像上点的横坐标;y 表示图像上点的纵坐标。

由此我们可以发现,当函数值y 赋值为0时函数问题则等价于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)问题,由特殊推广到一般情况,我们发现当函数值y 赋值为k(k 为
常数)时,函数问题均可转化为一元二次方程ax 2+bx+c=k(系数要求同上)问题;从图像角度来看,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)的根,同理,二次函数y=ax 2+bx+c 图像与函数y=k 图像的交点横坐标即为方程
ax 2+bx+c=k(a,b,c 为常数且a≠0)的根。

二、从二次函数的角度看一元二次方程
通过对二次函数的学习我们掌握了变量间的相关关系,二次函数的图像、性质并抽象概括出了相关定理,如此一来,我们重新回顾一元二次方程便会发现方程问题容易得多。

例1:观察y=x 2-8x+12、y=x 2-4x+4、y=x 2+3这三个
二次函数的图像,并且分别说出x 2-8x+12=0、x 2-4x+4=0、x 2+3=0的根的情况。

分析:从三个函数图像中我们观察发现,第一个函
数图像与x 轴交点横坐标为-2、-6,即方程x 2-8x+12=0的根分别为-2、-6,第二个图像与x 轴交点横坐标为
2,即方程x 2-4x+4=0的根为2,y=x 2+3图像与x 轴无交点,则说明方程x 2+3=0无实数根,三种不同函数的图像与x 轴相交的情况不同,方程的根的个数也与之不同,以上三种图像让我们将方程的根的情况也大致分
为以下三类:①如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个公共点即可等价于一元二次方程方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根;②如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有且仅有一个交点则等价于方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实根(按照方程的定义,一元二次方程都有两个根,故这里称有两个相等实根);③如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴没有公共点则说明方程ax 2+bx+c=0没有实根。

所以在这个结论的基础上我们便可以直接用判别式△=b 2-4ac 来判断方程根的个数及函数图像与x 轴的交点情况:△>0⇔方程有两个不等实根⇔函数图像与x 轴有两个交点;△=0⇔方程有两个相等实根⇔函数图像与x 轴仅一个交点;△<0⇔方程无实根⇔函数图像与x 轴无交点。

并且我
们据此可以反推,根据方程的根,结合二次函数的开口方向,画出二次函数的图像,从而了解二次函数的相关知识,这也是我下一点将要深入探究的内容,此时,课本25页例题:判断y=-x 2+5x-8图像与x 轴的交点情况,我们利用根的判别式就很容易解决了。

在例1中我们通过具体的二次函数图像很快找到了方程的根,当二次函数图像不够明确时,我们也可以根据函数的相关性质来预估方程的根的大致范围。

例2:你能利用函数y=x 2+2x-5的图像探索一元二
次方程x 2+2x-5=0的根的大致范围吗?
分析:在题目所给的函数图像中我们只能明确函数的开口方向,了解函数对称轴及与x 轴公共点的正负符号并得出初步结论:方程x 2+2x-5=0有两个异号的实数根,且一个在1与2之间,一个在-4
与-3之间,但是根的具体值我们无法确定,可以引导学生继续观察图像与x 轴的交点,通过讨论我们可以发
数形结合学数学
———以“二次函数与一元二次方程”为例
陈冬琴
(江苏省昆山市花桥集善中学江苏昆山215332)
【摘要】数形结合是解决数学问题非常重要的一种思想,因此初中教育尤其注重数形结合思想的培养,通过二次函数的学习我们就可以发现,函数与图像的综合考查是每年的热点以及必考点,但题目难度也不低,基本均是灵活的综合性题目,从做题中反馈出大部分学生掌握程度较低,因此本文将结合苏教版九年级数学教材第五章第四节“二次函数与一元二次方程”内容,探究如何利用好数形结合思想快乐地学习数学。

【关键词】数形结合二次函数一元二次方程方程的根【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2021)
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课例·研究
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Course Education Research 课程教育研究2021年第15期现越接近于图像与x 轴的交点的点的纵坐标越接近于
0,但可能为正,可能为负,在交点的左右两边的接近点的纵坐标异号,根据这个特性我们可以确定,如果函数图像连续,且在横坐标为某一值x 1和x 2时,纵坐标符号相反,那么在这两点之间一定有函数与x 轴的公共点,这也就是我们高中所要学习的零点存在性定理。

针对该例题,我们代值观察x 取不同值时,y 的符号变化如下
:
所以我们发现方程x 2+2x-5=0的一个根x 在1.4~
1.5之间。

这类题是数形结合的基础综合题型,通过观察图像,加上数学公式计算分析,得到近似值,并能根据原理进一步缩小误差,如再将x 取值细化到1.41、1.42、1.43……,根据y 值的符号最终得到方程的根。

三、从一元二次方程的角度看二次函数
在上文中我们提到了由二次函数图像的开口方向
(可根据二次项系数a 判断:a>0时开口向上,a<0时开口向下)、函数图像与x 轴的交点以及对称轴则可以画出二次函数的大致图像(当知道函数与x 轴两个交点时,两交点的中点横坐标即为对称轴x 的值,因此函数图像与x 轴的交点非常重要),根据函数图像我们才可以了解该函数的相关性质。

所以我们通常可以借助一元二次方程的根来得到函数的大致图像,达到以数助形的作用。

例3:不画图像,判断二次函数y=-x 2-x、y=-x 2+6x-9、y=3x 2+6x+11的图像与x 轴的公共点的个数。

分析:此时,以上三个二次函数均没有图像可供我
们观察,那么要找到函数图像与x 轴交点个数的情况,就可以利用数形结合思想,将问题就可以转化为方程-x 2-x=0、-x 2+6x-9=0、3x 2+6x+11=0的根的个数情况,我们可以直接利用根的判别式来解决:△=(-1)2+4=5>0、△=62-36=0、△=62-132<0,得出结论:以上三个函数图
像分别与x 轴有两个公共点、一个公共点、无公共点。

四、数形结合思想的综合应用
例4:已知某二次函数y=ax 2+bx+16的图像过两点,
其坐标分别为(-2,40)、(6,-8),请找到该函数的顶点、对称轴,并求出一元二次方程ax 2+bx+16=0的根。

分析:本题较为综合,结合了二次函数与一元二次
方程,题目虽然看似在分析函数的图像问题,但是从问题本身出发思考,其实是一个解方程的题目,首先由图像经过的两个点的坐标我们可以直接带入函数的解析式,从而得到两个方程,联立方程即可得到参数a,b 的值,然后再代值进入函数解析式和所求方程得到最终
答案。

这种含参类问题大多需要我们联立解方程才能求出参数的值,进一步才能了解具体函数的相关性质,是在考查学生能否将几何问题代数化。

解:∵二次函数y=ax 2+bx+16过点(-2,40)、(6,-8)∴4a-2b+16=40;36a+6b+16=-8联立方程解得a=1,b=-10.
∴代入原式可知所求函数的解析式为y=(x-5)2-9∴该函数的对称轴为x=5,顶点坐标为(5,-9)又将a,b 的值代入一元二次方程可得x 2-10x+16=0解得方程的根为x 1=2,x 2=8.
例5:踢足球时,我们可把球的飞行路线看作一条抛物线,已知某次比赛中足球的飞行高度y(单位:米)与飞行距离x(单位:百米)满足二次函数:y=-5x 2+20x,这个球飞行的水平距离最远是多少米?球的飞行高度
最高又是多少米呢?
分析:本题是近几年的热点题型,结合实际生活背景,给出函数模型,考查函数的相关知识,属于综合性和应用性都很强的题目,因此需要对题干反复分析,才能在解题时事半功倍。

从题干提到的球的运动路线和二次函数模型我们可以发现,本题意在考查二次函数模型的应用即函数的性质,那么就需要我们将代数问题几何化。

球飞出后作自由落体运动,因此函数图像必定开口向下,但与平时所研究的二次函数图像有些许不同,需要结合实际情况,保证高度y≥0,所以所画图像如右图:
结合图像我们又可以发现y=0时,球飞行的水平距离最大。

所以第一问关于球的水平距离问题就可转化为方程-5x 2+20x=0的两根之差问题;在二次函数的顶点处我们发现y 取到了最大值,即球飞行的竖直最高水平,即需求顶点纵坐标。

具体解答过程如下:
解:令y=0,则有-5x 2+20x=0,解得x 1=0,x 2=4所以这次击球,球飞行的最大水平距离是4米;又∵y=-5x 2+20x=-5(x-2)2+20,∴球的飞行高度最大是20米。

在初中数学的教学和学习中,二次函数与一元二次方程的密切关系向我们生动展示数形结合的实际运用,教师应从多个角度多种表示引导学生掌握数形结合思想的转化技巧,让学生真正喜欢学习数学,灵活运用数学,玩转数学。

参考文献:
[1]吴丽娜.优化数形结合,灵动数学课堂[J].课程教
育研究,2018(4).
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