最新人教版高中数学选修2-2第一章《微积分基本定理》教学设计

教学设计
1．6微积分基本定理
整体设计
教材分析
本节的主要内容是微积分基本定理的含义及运用微积分基本定理计算简单的定积分．教科书采用从局部到整体、从具体到一般的思想，从导数和定积分这两个微积分学中最基本和最重要的概念入手，以寻求二者之间的联系为突破口，先利用物理意义和导数的几何意义，并结合定积分的概念，通过对变速直线运动物体的位移问题进行详细探究，分别用物体的运动规律s＝s(t)和速度函数v＝v(t)表示出物体在时间段[a，b]上的位移s，进而推出一般形式的结论，得出微积分基本定理．
微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法．通过本节的学习，使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义．通过计算简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的威力，从而引发学生进一步学习微积分知识的兴趣．
课时分配
《微积分基本定理》的教学分两个课时完成：第1课时内容为微积分基本定理；第2课时内容为定积分的几何意义．
第1课时
教学目标
知识与技能目标
通过实例了解导数和定积分的联系，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿—莱布尼兹公式求简单的定积分．
过程与方法目标
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的思想方法．情感、态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点，提高理性思维能力和逆向思维能力，激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力及思维能力．
重点难点
重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用微积分基本定理计算简单的定积分．
难点：了解微积分基本定理的含义．
教学方法
问题驱动、启发式、自主探究式教学法，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
引入新课
提出问题1：前面我们讲过用定积分的定义计算定积分，请回顾用定义计算∫10x3dx的
过程，并尝试仿照此过程利用定积分的定义计算∫101
x dx.
活动设计：学生先独立思考，尝试求解，然后相互交流．
学情预测：学生几乎不可能直接用定义计算出∫101
x dx的值．
活动成果：从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但如果直接用
定积分的定义计算∫10x3dx的值，其计算过程比较复杂，技巧性要求很高．而对于∫101
x dx，
几乎不可能直接用定义计算．那么，有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？我们必须寻求计算定积分新的、更简洁的方法，也是比较一般的方法．
设计意图
使学生体会用定义求定积分的缺点和局限性，激发学生的探求欲望，为微积分基本定理的引入作好铺垫．
探究新知
我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在联系呢？我们能否利用这种联系来求定积分呢？
提出问题2：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是s＝s(t)，它在任意时刻t 的速度v(t)与位移s(t)有何关系？
活动设计：学生思考，进行口答．
学情预测：绝大多数学生能得出正确结论．
活动结果：得出变速直线运动中速度v(t)与位移s(t)的关系：v(t)＝s′(t)．
设计意图
回顾导数的相关知识及物理背景，复习路程与速度之间的关系，为进一步探究v(t)和s 做好铺垫．
提出问题3：设这个物体在时间段[a，b]上的位移为s，你能用s(t)，v(t)表示s吗？
活动设计：学生独立思考，根据图象进行回答．
学情预测：根据物理学的相关知识，结合图象，学生容易得出正确结论．
活动结果：显然，物体位移s是函数s＝s(t)在t＝b处与t＝a处的函数值之差，从而得出变速直线运动中位移s与位移函数s(t)的关系：s＝s(b)－s(a)．①
设计意图
得出基本定理公式中右端的雏形——s(b)－s(a)，为进一步探究微积分基本定理做好铺垫．
提出问题4：设这个物体在时间段[a，b]上的位移为s，你能用v(t)表示s吗？
活动设计：学生先思考，允许分组讨论交流，必要时教师引导．
学情预测：根据1.5.2节相关知识，不难得出结果．
活动结果：师生共同梳理，得出变速直线运动中s与位移函数v(t)的关系：
物体作变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，求它在a≤t≤b内所做的位移s，步骤如下：
(1)用分点a＝t0<t1<t2<…<t n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间：
[t0，t1]，[t1，t2]，…，[t i－1，t i]，…，[t n－1，t n]，其中每个小区间的长度均为Δt＝t i－t i－
1＝
b－a
n.物体在此时间段内经过的路程为Δs i.
(2)当Δt 很小时，在区间[t i －1，t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似地以速度v(t i －1)作匀速直线运动，物体所做的位移
Δs i ≈h i ＝v(t i －1)Δt ＝s ′(t i －1)Δt ＝b －a n
s ′(t i －1)． 从几何意义上看(如图)，设曲线s ＝s(t)上与t i －1对应的点为P ，PD 是点P 处的切线，由导数的几何意义可知，切线PD 的斜率等于s ′(t i －1)，于是
Δs i ≈h i ＝tan ∠DPC·Δt ＝s ′(t i －1)·Δt.
(3)物体的总位移：s ＝1n i i S
=∆∑≈∑i ＝1n h i ＝∑i ＝1n v(t i －1)Δt ＝∑i ＝1
n s ′(t i －1)Δt. 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的划分就越细，∑i ＝1n v(t i －1)Δt ＝∑i ＝1
n s ′(t i －1)Δt 与s
的近似程度就越高．
(4)由定积分的定义有
s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n v(t i －1)＝lim n →∞∑i ＝1
n b －a n s ′(t i －1)＝∫b a v(t)dt ＝∫b a s ′(t)dt.② 设计意图
得出基本定理中公式左端的雏形——∫b a v(t)dt ，使公式雏形基本形成．
提出问题5：通过上面的探究，我们将物体在时间段[a ，b]上的位移s ，分别用s(t)和v(t)进行了表示，现在你能否将二者联系起来？
活动设计：教师引导学生，观察①②两式，得出关系式．
学情预测：学生容易得出二者的关系式．
活动结果：物体在区间[a ，b]上的位移s 就是v(t)＝s ′(t)在区间上的定积分，等于函数
s(t)在区间端点b ，a 处的函数值之差s(b)－s(a)，从而s ＝∫b a v(t)dt ＝∫b a s ′(t)dt ＝s(b)－s(a)．
设计意图
回到最初提出的问题，使学生潜移默化地形成目标意识，得出微积分定理的一个特例，为得出微积分基本定理奠定基础．
提出问题6：对于一般的函数f(x)，设F′(x)＝f(x)，是否也有：
∫b a f(x)dx＝∫b a F′(x)dx＝F(b)－F(a)?
若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数(即满足F′(x)＝f(x))的数值差F(b)－F(a)来计算f(x)在[a，b]上的定积分的方法．
活动设计：由学生做出猜想，教师可视具体情况决定是否给出学生证明过程．
学情预测：学生容易得出正确的猜想结论．
活动结果：对于一般函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，设F′(x)＝f(x)，则有∫b a f(x)dx ＝F(b)－F(a)．
证明如下：(此处并不要求学生掌握证明的过程)
∵Φ(x)＝∫x a f(t)d与F(x)都是f(x)的原函数，故
F(x)－Φ(x)＝c(a≤x≤b)，其中c为某一常数．
令x＝a，得F(a)－Φ(a)＝c，又Φ(a)＝∫a a f(t)dt＝0，
∴c＝F(a)，故F(x)＝Φ(x)＋F(a)．∴Φ(x)＝F(x)－F(a)＝∫x a f(t)dt.
令x＝b，有∫b a f(x)dx＝F(b)－F(a)．
为了方便起见，还常用F(x)|b a表示F(b)－F(a)，即∫b a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．
设计意图
教师引导学生由特殊到一般做出猜想，得出牛顿—莱布尼兹公式，体现定积分的基本思想，突出导数的几何意义，体现了数形结合这一数学中的基本思想方法．这里不要求学生掌握公式的证明过程，重在让学生体会推理的思想．回到最初提出的问题，使学生潜移默化地在学习及解决问题的过程中形成目标意识．
归纳总结
定理一般地，如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)dx ＝F(b)－F(a)．
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式．它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁．公式不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础．因此，牛顿—莱布尼兹公式处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，而且它给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要、最辉煌的成果．理解新知
提出问题7：计算定积分∫b a f(x)dx的关键是什么？如何求F(x)?
活动设计：组织学生交流、讨论回答．
活动结果：由微积分基本定理知，计算定积分∫b a f(x)dx 关键是找出满足F ′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．通常，我们可以运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
设计意图
明确运用微积分基本定理的关键，进一步加深对定理的理解和记忆．
运用新知
例1计算∫10x 3dx.
活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．
活动结果：让学生与上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单．教师给出规范的书写格式．
解：因为(14x 4)′＝x 3，所以∫10x 3dx ＝14x 4|10＝14
. 设计意图
初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性，规范运用微积分基本定理求定积分的书写格式．
例2计算(1)∫10x 2dx ；(2)∫211x
dx. 解：(1)因为(13x 3)′＝x 2，所以∫10x 2dx ＝13x 3|10＝13
. (2)因为(lnx)′＝1x ，所以∫211x
dx ＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2. 点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分的书写格式．
巩固练习
计算：1.∫211x 2dx ；2.∫31(2x －1x 2
)dx. 解：1.∫211x 2dx ＝(－x －1)|21＝－12＋1＝12
. 2．因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2， 所以∫31(2x －1x 2)dx ＝∫312xdx －∫311x 2dx ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223
. 变练演编
1．已知∫t 0(2x －4)dx ＝5，则t ＝__________.
2．已知∫21f(x)dx ＝(lnx 2)|21，则f(x)＝__________.
3．请你仿照第3题，自己编一个类似的题目，并与你的同学交换，试求其结果．
答案：1.5 2.2x
3.答案略． 点评：1.训练逆向思维，进一步熟悉公式；
2．进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；
3．进一步体会导数与定积分的关系，强化本节的基本思想，同时训练复合函数的求导问题；
4．训练学生仿例编题，增加问题的多样性、趣味性、探索性和挑战性，使学生潜移默化地学会编题、解题．
达标检测
1．∫1－1xdx 等于( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．2
2．y ＝∫10(3x 2－x ＋1)dx ，则y ′等于( )
A ．0
B ．1
C ．3
D ．6
3．∫21(x －1x
)dx ＝__________. 4．∫21(x 2－2x －3x
)dx ＝__________. 答案：1.C 2.A 3.32－ln2 4.－12
－3ln2 课堂小结
知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．
1．知识收获：本节课借助于变速直线运动物体的速度与路程的关系以及图形，得出了特殊情况下的牛顿—莱布尼兹公式，进而推广到一般的函数，得出了微积分基本定理，找到了一种求定积分的简便方法．
2．方法收获：运用微积分基本定理的关键是找到被积函数的原函数，在探求定理的过程中，充分体会了“由特殊到一般”的研究问题的方法．
3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般推理的思想．
布置作业
习题1.6 A 组1.(1)(3)．
补充练习
基础练习
1．∫π0sinxdx 等于( )
A ．0
B ．2
C ．π
D ．2π
2．若∫a 1(2x ＋1x
)dx ＝3＋ln2，且a>1，则a 的值为( ) A ．6 B ．4
C ．3
D ．2
3．∫10e x dx 等于( )
A ．e －
1 B ．1 C ．e D ．e －1
4．∫0－1(x －e x )dx 等于( )
A ．－1－1e
B ．－1
C ．－32＋1e
D ．－32
答案：1.B 2.D 3.D 4.C
拓展练习
5．设函数y ＝∫x 0(t －1)dt(x>0)，则y 有( )
A ．极小值12
B ．极小值－12
C ．极大值12
D ．极大值－12
6．已知∫5t (2x －4)dx ＝5，则t ＝__________.
答案：5.B 6.0或4
点评：第6题是变练演编第1题的变式与提升，第6题重在使学生认识不同的积分区间可能得到相同的积分值，提升对微积分基本定理的认识，为几何意义的引出做好铺垫．第5题是与导数知识相结合求极值的问题，意在提高学生的综合解题能力．
设计说明
本节从变速直线运动这一实际问题出发，让学生观察探究、合作交流讨论．通过数形结合，使学生经历从特殊到一般的推理过程研究．通过探究变速直线运动物体在某段时间内的速度与位移的关系，寻求导数和积分的内在联系，得到微积分基本定理．在“数形结合”的
思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观了解了微积分基本定理的含义．
在教材处理上，大胆创新，结合学生的认知能力和思维习惯进行引导，突出微积分基本定理的探究过程，整个过程以学生探究为主，使其体会探索的乐趣和微积分基本定理的威力．例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点、多角度、多层次地加深对微积分基本定理的认识，强化运用定理解题的步骤和格式，使学生在运用中体会微积分基本定理的具体用法以及运用定理的关键．
备课资料
备选例题
例1函数y＝∫x－x(t2＋2)dt(x>0)()
A．是奇函数B．是偶函数
C．是非奇非偶函数D．以上都不正确
思路分析：本题容易得出y＝2
3x
3＋4x，但应注意x>0，故答案应选C，而非A.
答案：C
例2设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋2∫10f(t)dt，求f(x)．
解：由题意，可知f(x)＝x＋c(c是一个常数)．
所以f(x)＝x＋2∫10f(t)dt＝x＋2∫10(t＋c)dt＝x＋1＋2c，
即x＋c＝x＋1＋2c，
从而c＝－1.所以f(x)＝x－1.
(设计者：韩辉杰)
第2课时
教学目标
知识与技能目标
通过实例进一步熟练微积分基本定理解题的步骤格式，了解其几何意义，掌握定积分的性质．
过程与方法目标
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的数形结合等思想方法．
情感、态度与价值观
通过微积分基本定理的简单应用，培养学生运用知识解决实际问题的能力，提高分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣．
重点难点
重点：运用微积分基本定理解决简单的数学及实际问题，了解其几何意义．
难点：微积分基本定理的含义，定积分的值与曲边梯形面积之间的关系，定积分的性质．教学方法
问题探究式教学法，使学生在解决问题中练习知识、掌握知识；同时，能够掌握方法、提升能力．
教学过程
复习回顾
1．微积分基本定理的内容是什么？
如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，则
∫b a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．
2．计算定积分的关键是什么？
计算定积分∫b a f(x)dx关键是找出满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．
3．一般如何得出F(x)?
通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逆向求出F(x)．
4．计算下列定积分：∫3－1(4x－x2)dx.
答案：20 3.
引入新课
提出问题1：计算下列定积分：
∫π0sinxdx，∫2ππsinxdx，∫2π0sinxdx.
活动设计：可由多名学生同时到黑板上板演，其他学生独立思考求解．
学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．
活动成果：用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分比较简洁、有效，结果如下：解：因为(－cosx)′＝sinx，
所以∫π0sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；
∫2π0πsinxdx＝(－cosx)|2ππ＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；
∫2π0sinxdx＝(－cosx)|2π0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.
设计意图
体会求导数对求定积分的重要意义，同时熟练运用公式．
探究新知
提出问题2：由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，并对成果进行展示．
学情预测：学生的说法可能有多种，经过讨论、细化、规范说法，但可能仍有重复或疏漏．
活动结果：教师引导学生进行分析比较，可以发现：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
图2
(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0(图3)，且等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积．
图3
设计意图
着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系．
提出问题3：你能否给出一般的定积分∫b a f(x)dx 的几何意义？
活动设计：学生类比问题2进行思考，然后口答．
学情预测：学生一般能得出正确结论，但叙述上可能不太严谨．
活动结果：如图，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是：界于x 轴、曲线y ＝f(x)及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分曲边梯形面积的“代数和”——在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．因此，定积分的值也可以分成几部分来求，然后把各部分的值加起来，就是所求定积分的值．(定积分的性质
)
通过探究思考，使学生掌握定积分的几何意义，进一步加深对定积分的认识．设计意图 ⎠⎜⎛0
π2 提出问题4：不计算定积分的值，试比较⎠⎜⎛0π2 cosxdx 与22
cos xdx π
π-⎰的大小关系． 活动设计：学生先思考，然后分组讨论交流，教师引导．
学情预测：有了上面的讨论和分析，学生不难得出结果． 活动结果：师生共同梳理，根据余弦函数的对称性，从图象上容易看出
22
cos xdx π
π-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好是⎠⎜⎛0
π2cosxdx 所对应的曲边梯形的面积的2倍． 设计意图
体会定积分几何意义的重要性．
提出问题5：计算定积分⎠⎜⎛0π2cosxdx 与22cos xdx π
π-⎰的值，并与0sin xdx π⎰进行比较，试从几何意义上给出解释．
活动设计：可由学生到黑板上板演，其他学生独立思考求解．
学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．
活动成果：
解：因为(sinx)′＝cosx ，所以⎠⎜⎛0
π2cosxdx ＝sinx|π20＝sin π2－sin0＝1， 2
2cos xdx ππ-⎰＝sinx|π2－π2＝sin π2－sin(－π2)＝2.
根据正弦函数与余弦函数图象的关系，容易得出
22
cos xdx π
π-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好等于∫π0sinxdx 所对应的曲边梯形的面积．
设计意图 通过计算及比较，进一步熟悉公式、加深对几何意义的理解，同时强化数形结合的思想方法．设计意图
运用新知
例1由抛物线y 2＝x 和直线x ＝1所围成的图形的面积等于( )
A ．1 B.43 C.23 D.13
活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．
活动结果：根据几何意义，所求面积也就是定积分∫10xdx 的2倍(
如图阴影部分所示)．
因为(23x 32)′＝x ，所以∫10xdx ＝(23x 32)|10＝23
. 所求面积为2×23＝43
，故选答案B. 设计意图
进一步体会几何意义的重要性，同时渗透数形结合的思想．
例2汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车作匀减速刹车，加速度大小a ＝1.8米/秒2，问从开始刹车到停车，汽车行驶了多少米？
解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600
米/秒≈8.88米/秒，刹车后汽车匀减速行驶，其速度为v(t)＝v 0－at ＝8.88－1.8t.当汽车停住时，速度v(t)＝0，故由v(t)＝8.88－1.8t ＝0，解得t ＝8.881.8
≈4.93(秒)． 于是在这段时间内，汽车所驶的距离是
s ＝∫4.930v(t)dt ＝∫4.930(8.88－1.8t)dt ＝ (8.88t －1.8×12
t 2)|4.930≈21.90(米)． 即在刹车后，汽车需驶过21.90米才能停住．
点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分问题，并体会定积分在解决实际问题中的价值．
巩固练习
计算下列定积分：
(1) ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sinx)dx ；(2) 412cos 2xdx π
π⎰；(3)∫21(x －1)dx. 答案：(1)3π28＋1；(2)14；(3)423－53
. 变练演编
1．∫20(2x －4)(x 2－4)dx ＝__________. 2．∫32(x ＋1x
)2dx ＝__________. 3．∫41x(1－x)dx ＝__________.
答案：1.403 2.92＋ln3－ln2 3.－176
点评：进一步熟练运用公式；进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；体会导数与定积分的关系；体会利用定积分的性质计算定积分．
达标检测
1．∫21(e x －2x
)dx ＝__________. 答案：e 2－e －2ln2
2．计算定积分∫3π0sinxdx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解：∫3π0sinxdx ＝(－cosx)|3π0＝2.
它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与位于x 轴下方的曲边梯形的面积之差．或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与位于x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和．
课堂小结
知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．
1．知识收获：本节课通过探究正弦函数在某个区间上的定积分，结合图象，得出了定积分的几何意义，同时学习了定积分的性质．
2．方法收获：运用微积分基本定理及其几何意义、定积分的性质可以方便地解决定积分问题．
3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般的思想．
布置作业
习题1.6B 组1.(1)(2)(3)．
补充练习
基础练习
1．∫10(e x ＋e －
x )dx 等于( ) A ．e ＋1e
B ．2e C.2e D ．e －1e
2．曲线y ＝cosx ，x ∈[0，3π2
]与坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．4 B ．3
C.52
D ．2 3．若∫a 0(3x 2＋4x －5)dx ＝a 3－2(a>1)，则a ＝__________.
答案：1.D 2.B 3.2
拓展练习
4．22cos 2
x dx π
π⎰＝__________. 答案：π4－12
5．如图，求由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．
解：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x 2，y ＝－1，得C(1，－1)，同理得D(2，－1)． ∴所求图形的面积 S ＝2{∫10[－x 24－(－x 2)]dx ＋∫21[－x 24－(－1)]dx} ＝2(∫103x 24dx －∫21x 24dx ＋∫21dx)＝2(x 34|10－x 312|21＋x|21
)＝43. 设计说明
本节从探究正弦函数在某个区间上的定积分与对应曲边梯形面积的关系入手，让学生观察探究、合作交流讨论，使学生经历从特殊到一般的探究过程．通过数形结合，寻求定积分和曲边梯形面积的内在联系，得到定积分的几何意义．在“数形结合”的思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了知识发现的过程，又直观了解了定积分的性质．
本节教材课本内容相对较少，但其地位却非常重要，因此，本设计增加了相应的探究内容和例题及练习．在充分探究的基础上，强化针对性练习，使学生能较好地理解定积分的几何意义，并掌握其性质．
例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，与前一节的题目相辅相成，并且相对于前一节题目的难度有所提升，以便于学生更好地掌握公式、熟悉性质．
备课资料
牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析
牛顿，1642年生于英格兰，1661年，入英国剑桥大学，1665年，牛顿回到乡间，终日思考各种问题，运用他的智慧和数年来获得的知识，发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析．
牛顿生活的时代正是英国发生变革的时代，当时英国发生了国内战争，资产阶级和贵族的阶级妥协，使英国资产阶级革命明显地带上了不彻底性．牛顿在30岁以前发现了微积分，并建立了经典力学体系，而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成．这是由于在资本主义产生和形成的时期，资产阶级曾经向宗教神学发起冲击，帮助科学从神学中解放出来．但
是当资产阶级的地位巩固以后，阶级斗争逐渐激化之时，资产阶级逐渐衰退，他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器．牛顿受其影响很大，其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向，使他获得了巨大的成就，而后半生则完全沉迷于神学的研究．牛顿继承了培根的经验主义传统，特别重视实验和归纳推理的作用，他曾断言，自然科学只能从经验事实出发解释世界．这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的．
莱布尼兹生于德国，1672年赴巴黎，在那里接触到惠更斯等一些数学名流，引导其进入了数学领域，开始微积分的创造性工作．
牛顿建立微积分是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑，所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，并有效地促进了微积分学的发展．牛顿发现微积分(1665～1666年)比莱布尼兹至少早了9年，然而莱布尼兹公开发表它的微积分文章比牛顿早3年．如果说，牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑，特别是和巴罗的“微分三角形”有密切的关系，莱布尼兹称它为“特征三角形”．巴罗的“微分三角形”对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到求切线和求积分问题是一对互逆的问题．莱布尼兹第一个发表出微分和积分之间的互逆关系.1675～1676年间，他从求曲边梯形面积出发得到积分的概念，给出微积分基本定理.1686年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》，1693年，他给出了上述定理的一个证明，以上这些都发表在《教师学报》上．将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志．
牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同．牛顿坚持唯物论的经验论，特别重视实验和归纳推理．他在研究经典力学规律和万有引力定律时，遇到了一些无法解决的数学问题，而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的，因此牛顿着手研究新的求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法——流数法．
莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”，他从微分三角形认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和．莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的．莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的．莱布尼兹在微积分的研究过程中，连续性原则成为其工作的基石，而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想．。