向量组及其线性组合

★定理1
★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2
★返回
★ 向量组与矩阵
★ 例
1
★ 例2
第二节向量组及其线性组合
内容分布图示
内容要点： 一、n 维向量及其线性运算
定义1 n 个有次序的数 印卫2,…，码所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量 的n 个分量，第i 个数a j 称为第i 个分量.
注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动 的有向线
段作为向量的几何形象 •引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序 实数），此即上面定义的 3维向量.因此，当n 岂3时，n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时，n 维向量没有直观的几何形象•
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组 •例如，一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷，＞2，…，〉n 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽，…，十称为矩阵A 的行向量组•
根据上述讨论，矩阵 A 记为
pu A % A =（G I ，C （2,…，U n ）或 A= 1 •
"J
这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r （A ） ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•
定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…，a .）与］=（b,，b 2,…，*）的各对应分量之和组成的向 量，称为向量爲与：的和，记为x 亠1：
,，即
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
（a
1 _b 1, a
2 "2
， ，a n - b
n ） •
定义3 n 维向量〉珂①宀?,…，a .）的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量，称为数 k 与
向量二的乘积（又简称为数乘），记为k _：i ，即
k ： =（ka i ,ka 2, ,ka n ）.
向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律
：
（1）
?■■-■:■； （2） （、• I'） （： ^ ）；
（3） 小0-：；
（4）
： （：） 0；
★ n 维向量的概念
★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合
（5）1：=■'；
（6）k（l：）=（kl）：;
(2)
k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式
:s ，对于任何一组实数 k i ,k 2,…，k s ,表达式
A 的一个线性组合，k i ,k 2,…，k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A:：1,：2,…，：s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使
(7) k(、；、卜)=k ：；亠 kl ，; (8) (k I)： =k ：：£ T ：. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组
a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二
b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2
a
mi x i ' a m2X 2 ：：「八：:「a mn x
n = b m
a 2j
b 2
G j =
3
(j =1,2，…，n), 3 = a
l bm 丿
则线性方程组(i)可表为如下向量形式：
込X 2亠.亠：：皿--
线性方程组(i)是否有解，就相当于是否存在一组数
成立：
定义4
给定向量组
A q ,。

？，…，
称为向量组 定义5
则称向量一：是向量组A 的线性组合，又称向量一：能由向量组 A 线性表示(或线性表出).
注：(i) 1能由向量组:-i^-2^',=s 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组 冷为 亠"：：2X 2亠亠'：：sX s =:有唯一解；
(2) :能由向量组 宀，＞2,…，：,线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组 冷为亠::£2x 2亠•亠'：：s X s =:有无穷多个解；
(3) '■不能由向量组：-i^-2/' / s 线性表示的充分必要条件是线性方程组 门为 亠:£2X 2亠.亠很s Xs =:无解；
定理1 设向量
则向量：能由向量组：/，宀,…，：(线性表示的充分必要条件是矩阵 A =(〉i ，：j ，…，〉s)与
矩
阵A =G'1, ：2,…-s ，■)的秩相等.
三、向量组间的线性表示 定义6设有两向量组 若向量组B 中的每一个向量都能由向量组
A 线性表示，则称向量组
B 能由向量组A 线性表
示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价. 按定义，若向量组B 能由向量组A 线性表示，则存在 使
所以 其中矩阵K s t =(k j )s t 称为这一线性表示的系数矩阵 .
引理 若C sn^A st B tn ,贝V 矩阵C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一表示的系数矩阵.而矩阵C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示，A 为这一表示 的系数矩阵.
定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示，向量组B 可由向量组C 线性表示，则向量 组A 可
■bi
'a ij ^
b 2
a ，口 j =
a
2j
Qm
丿
\3mj 丿
(j =12 ,s).
由向量组C线性表示•
例题选讲：
n维向量及其线性运算
例1(讲义例1)设宀=(2,_4,1,_1)T,「2 =(-3,一1,2,一5/2)丁，如果向量满足3\ -2(「亠怎)=0,求：.
例2(讲义例2)设:.=(2,0_1,3)T J =(1,7,4，工)T, =(0,1,0,1)T.
(1)求2：. •一-3 ; (2)若有X,满足3：. - '：^：. 2^0,求x.
例 3 设冷=(1,02,一1), ： 2 =(3,0,4,1), 一：=(—1,0,0,一3).由于］=2冷一^,因此］是:“宀的线性组合.
例4证明：向量2 -(-1,1,5)是向量：・1 =(1,2,3), —=(0,1,4),〉3 =(2,3,6)的线性组合并具体将:用_九〉3表示出来.
例5证明：向量(4,5,5)可以用多种方式表示成向量(1,2,3), (-1,1,4)及(3,3,2)的线性组合.
向量组的线性组合
例6 (讲义例3)任何一个n维向量.•，-(a1,a2 / ,a n)T都是n维向量单位组；1 (1,0, ,0)T, ；2 =(0,1,0, ,0)T, , ；n =(0,0, ,0,1)T的线性组合.
因为:-=a!彳• a2 ;2亠'亠a n ;n.
例7 (讲义例4)零向量是任何一组向量的线性组合.
因为o =0 0、◎亠.亠°-<s.
例8 (讲义例5)向量组九打…，亠中的任一向量冷(仁2s)都是此向量组的线性组合. 因为：• j =0 冷：卜、71 •：• j 3-川0 ■: s.
例9 (讲义例6)判断向量S =(4,3,-1,11)丁与一：2=(4,3,0,11)丁是否各为向量组：1 = (1,2,-1,5)丁，：七=(2,-1,1,1)丁的线性组合.若是,写出表示式.
课堂练习
1试问向量［能否由其余向量线性表示？若能，写出线性表示式：
2.已知向量组(B): ■!，-2, -3由向量组(A): ：!^2^3的线性表示式为试将向量组(A)的向量由向量组(B)的向量线性表示.。