苏科版八年级数学上册《3.3-勾股定理的简单应用》同步练习题(含答案)

苏科版八年级数学上册《3.3 勾股定理的简单应用》同步练习题(含答案)
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是
( )
A. 3尺
B. 4尺
C. 5尺
D. 6尺
2.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？( )
A. 0.4
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
3.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A. x2−6=(10−x)2
B. x2−62=(10−x)2
C. x2+6=(10−x)2
D. x2+62=(10−x)2
4.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，
设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是( )
A. ℎ≤17cm
B. ℎ≥8cm
C. 15cm≤ℎ≤16cm
D. 7cm≤ℎ≤16cm
5.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米(即DE=3米)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为( )
A. 1米
B. √ 2米
C. 2米
D. 4米
6.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于( )
A. 4.1米
B. 4.0米
C. 3.9米
D. 3.8米
7.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的长方形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用( )
A. 3m
B. 5m
C. 7m
D. 9m
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角
形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边
长为( )
A. 9
B. 6
C. 4
D. 3
9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和
点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是( )
A. 50.5寸
B. 52寸
C. 101寸
D. 104寸
二、填空题
10.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行米.
11.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程
是dm．
12.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____cm．
13.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_________尺．
14.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则AD=_____米．
15.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°的弧到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN=______．
16.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了_____米.(假设绳子是直的)
三、解答题
17.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/ℎ.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/ℎ)
18.如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE．
19.如图所示的一块地∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
20.由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
21.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=3千米CH=2.4千米，HB=1.8千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设杆子折断处离地面x尺，则斜边为(9−x)尺
根据勾股定理得：x2+32=(9−x)2
解得：x=4．
故选：B．
杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面x尺，则斜边为(9−x)尺．利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
2.【答案】D
【解析】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米
∴BC=√ AB2−AC2=2.4(米)
∵梯子的顶部下滑0.4米
∴BE=0.4米
∴EC=BC−0.4=2米
∴DC=√ DE2−EC2=1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5−0.7=0.8(米)．
故选：D．
首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
3.【答案】D
【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10−x，BC=6
在Rt△ABC中AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10−x)2．
故选：D．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．4.【答案】D
【解析】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长
∴ℎ=24−8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短
在Rt△ABD中AD=15，BD=8，∴AB=√ AD2+BD2=17
∴此时ℎ=24−17=7cm
所以ℎ的取值范围是7cm≤ℎ≤16cm．
故选D．
如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面
的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出ℎ的取值范围．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
5.【答案】A
【解析】本题主要考查的是勾股定理的应用的有关知识，作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F
根据题意得：AB=AC=5米，CF=DE=3米
由勾股定理可得AF2+CF2=AC2
∴AF=√ AC2−CF2=√ 52−32=4(米)
∴BF=AB−AF=5−4=1(米)
∴此时木马上升的高度为1米．
故选A．
6.【答案】A
【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．
根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵车宽2.4米
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD2=OC2−OD2=22−1.22=1.62(m)
CD=1.6m
CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1米
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】此题考查了勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．为了不让羊吃到菜，必须小于等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10.那么AE的长即可解答．
【解答】解：连接OA，交半圆O于E点
在Rt△OAB中OB=6，AB=8
所以OA2=OB2+AB2=102；
又OE=OB=6
所以AE=OA−OE=4．
因此选用的绳子应该小于4m，排除B、C、D选项
故选A．
8.【答案】D
【解析】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用本题属于基础题型．
由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形面积的和列出等式即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b
∵每一个直角三角形的面积为：1
2ab=1
2
×8=4
∴4×
1
2ab+(a−b)2=25∴(a−b)2=25−16=9
∵a>b
∴a−b=3即中间小正方形的边长为3．
故选D．
9.【答案】C
【解析】本题考查了勾股定理的应用弄懂题意构建直角三角形是解题的关键．
构造直角三角形根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC
设OA=OB=AD=BC=r
CD=1寸AE=(r−1)寸
则AB=2r DE=10寸OE=1
2
在Rt△ADE中
AE2+DE2=AD2即(r−1)2+102=r2
解得：r=50.5
∴2r=101
∴AB=101寸
故选：C．
10.【答案】10
【解析】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行所行的路程最短运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图过点B作BC⊥AC于C
在Rt△ABC中由勾股定理得AB2=AC2+BC2=62+82=102
∴AB=10米即小鸟至少飞行10米.
11.【答案】25
【解析】本题考查了平面展开−最短路径问题用到台阶的平面展开图只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．先将图形平面展开再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．
【解答】
解：如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形长为20dm宽为(2+3)×3=15dm
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm
由勾股定理得：x2=202+152=252
解得：x=25．
故答案为：25．
12.【答案】2
【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
根据勾股定理可求出AD BD的长则AD+BD−AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：AD=BD
Rt△ACD中AC=1
AB=4cm CD=3cm；
2
根据勾股定理得：AD=√ AC2+CD2=5cm；
∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案为2．
13.【答案】3.2
【解析】此题考查了勾股定理的应用解题的关键是利用题目信息构造直角三角形从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形设竹子折断处离地面x尺则斜边为(10−x)尺利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺则斜边为(10−x)尺
根据勾股定理得：x2+62=(10−x)2．
解得：x=3.2
∴折断处离地面的高度为3.2尺
故答案为3.2．
14.【答案】1.5
【解析】本题考查了勾股定理的应用解题的关键是作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求得线段AD的长度．
过点D作DE⊥AB于点E构造Rt△ADE利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图过点D作DE⊥AB于点E
∵AB=2.5米BE=CD=1.6米ED=BC=1.2米
则AE=AB−BE=2.5−1.6=0.9(米)．
在Rt△ADE中由勾股定理得到：
AD=√ AE2+DE2=√ 0．92+1．22=1.5(米)
故答案是：1.5．
15.【答案】2米
【解析】解：作AE ⊥OM BF ⊥OM
∴∠OEA =∠BFO =90°
∵∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90°
∴∠AOE =∠OBF
在△AOE 和△OBF 中
{∠OEA =∠BFO
∠AOE =∠OBF AO =OB
,
∴△AOE ≌△OBF(AAS)
∴OE =BF AE =OF
∵CM =AE MD =BF ．
即OE +OF =AE +BF =CM +MD =CD =17米
∴2EO +EF =17
∵EM =AC =10米 FM =BD =3米．
∵EF =EM −FM =AC −BD =10−3=7(米)
∴2EO =10
∴OE =5(米) OF =7+5=12(米)
∴OM =OF +FM =15(米)
∵OE =5米 AE =OF =12米 ∠OEA =90°
∴根据勾股定理 OA =√ AE 2+OE 2 =13(米)
又∵ON =OA =13米
∴MN =OM −ON =15−13=2(米)．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．
故答案为：2米．
首先得出△AOE ≌△OBF(AAS) 进而得出OE 的长 进而求出OM MN 的长即可．
此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用 正确得出△AOE ≌△OBF 是解题关键． 16.【答案】9
【解析】此题考查勾股定理的应用 解决的关键是熟练掌握在直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方．
【解答】解：根据题意
AC=8BC=17
根据勾股定理可得AC2+AB2=BC2即82+AB2=172解得AB=15
有人用绳子拉船靠岸开始时绳子BC的长为17米此人以1米每秒的速度收绳7秒后绳子长为17−
1×7=10
则此时AD=√ 102−82=6
所以船向岸边移动AB−AD=15−6=9m
故答案为9．
17.【答案】解：在Rt△ABC中AC=30m AB=50m；
据勾股定理可得：
BC=√ AB2−AC2=√ 502−302=40(m)
∴小汽车的速度为v=40
=20(m/s)=20×3.6(km/ℎ)=72(km/ℎ)；
2
∵72(km/ℎ)>70(km/ℎ)；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【解析】本题求小汽车是否超速其实就是求BC的距离直角三角形ABC中有斜边AB的长有直角边AC的长那么BC的长就很容易求得根据小汽车用2s行驶的路程为BC那么可求出小汽车的速度然后再判断是否超速了．
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题可把条件和问题放到直角三角形中进行解决．要注意题目中单位的统一．
18.【答案】解：在Rt△ABC中
AC=√ AB2−BC2
=√ 1002−602
=80(m)
所以DE=AC−AD−EC=80−20−10=50(m)
∴池塘的宽度DE为50米．
【解析】本题考查了勾股定理的应用将数学知识与生活实际联系起来是近几年中考考点之一．
根据已知条件在直角三角形ACB中利用勾股定理求得AC的长用AC减去AD CE求得DE即可．19.【答案】解：连接AC
∵∠ADC=90°AD=4CD=3
∴AC=5．
由AB=13BC=12可得AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形
∴S△ABC=30S△ACD=6
30−6=24(m2).
故这块地的面积为24m2．
【解析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点难度不大解答此题的关键是连接AC 求出三角形ABC的面积再减去三角形ACD的面积即可．
连接AC由AD=4m CD=3m∠ADC=90°利用勾股定理可求出AC的长再根据AB=13m BC=12m利用勾股定理的逆定理可证△ACB为直角三角形即可求出这块地的面积．
20.【答案】解：如图所示：延长AB过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D
由题意可得：BC=13m DC=12m
故BD 2=BC2−CD2=132−122=25
∵BD>0则BD=5m
即AD=AB+BD=9m
则AC2=AD2+CD2=92+122=225
∵AC>0则AC=15m
故AC+AB=15+4=19(m)．
答：这棵树原来的高度是19米．
【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用得出BD的长是解题关键属于中档题．
首先构造直角三角形进而求出BD的长进而求出AC的长即可得出答案．
21.【答案】解：(1)是
理由是：在△CHB中
∵CH2+BH2=2.42+1.82=9
BC2=9
∴CH2+BH2=BC2
∴CH⊥AB
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
(2)设AC=x千米
在Rt△ACH中由已知得AC=x千米AH=(x−1.8)千米CH=2.4千米
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x−1.8)2+2.42
解得x=2.5
答：原来的路线AC的长为2.5千米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．。