2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷(学生版+解析版)

2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列算式中，计算结果是负数的是( ) A ．3(2)⨯-
B ．|1|-
C ．(2)7-+
D ．2(1)-
2．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）要使1
3
x -有意义，则x 的取值范围为( ) A ．0x
B ．1x
C ．0x
D ．1x
4．（3分）若关于x 的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是(
)
A ．2x
B ．1x >
C ．12x <
D ．12x <
5．（3分）计算11
x x x
+-的结果为( ) A ．1
B ．x
C ．
1
x
D ．
2
x x
+ 6．（3分）如图，点P 是AOB ∠的边OA 上一点，PC OB ⊥于点C ，//PD OB ，35OPC ∠=︒，则APD ∠的度数是( )
A ．60︒
B ．55︒
C ．45︒
D ．35︒
7．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) A ．②→④→③→① B ．③→④→①→② C ．①→②→④
→③
D ．②→③→①→④
8．（3分）已知圆锥的高为3，高所在的直线与母线的夹角为30︒，则圆锥的侧面积为(
) A ．π
B ．1.5π
C ．2π
D ．3π
9．（3分）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是(
)
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．1个或2个
10．（3分）已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a 的值等于( )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：04(1)π+-= ． 12．（3分）分解因式：324x xy -= ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形CDE ，则AED ∠的度数为 ．
14．（3分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在坐标轴上，(8,7)B ，(5,0)D ，点P 是边
AB 上的一点，连接OP ，DP ，当ODP ∆为等腰三角形时，点BP 的长度为 ．
15．（3分）如图，PA 、PB 分别是O 的切线，A 、B 为切点，AC 是O 的直径，若36BAC ∠=︒，则P ∠的度数为 ．
16．（3分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34⋯在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n 个数记为n a ，则357920211..a a a a a ++++++与斐波那契数列中的第 个数相同．
三、简答题（本大题9小题，共72分） 17．（4分）解不等式：2(1)4x x -<-．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE DF =．求证：CE AF =．
19．（6分）已知：3(1)(1)(1)P a a a a =+-+- （1）化简P ；
（2）若a 为方程1033
x
x x +-=的解，求P 的值．
20．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题： （1）本次共调查 名学生，条形统计图中m = ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背景“； （3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很了解“的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．
21．（8分）某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天．
（1）将60万只用科学记数法表示为 只； （2）求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？
22．（10分）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k
y x
=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知10OA =，1tan 3
AOC ∠=，点B 的坐标为(,2)m -． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；
（3）已知点P 的坐标为9
(0,)4
，求证CDP ODC ∆∆∽．
23．（10分）如图，在O 中，B 是O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦23AC = （1）作ABC ∠的角平分线BM 交O 于点M ，连接MA ，MC ，并求O 半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB BC BM +=．
24．（12分）在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点A ，B ． （1）求a ，b 满足的关系式及c 的值．
（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求实数a 的取值范围． （3）当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P 作PF PB ⊥交射线DA 于点F ，连接BF ，已知33AD =，3CD =，设CP 的长为x ．
（1）线段PB 的最小值为 ．
（2）如图，当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度；
（3）当点P 在运动的过程中：①试探究FBP ∠是否会发生变化？若不改变，请求出FBP ∠大小；
若改变，请说明理由；②当x 为何值时，AFP ∆是等腰三角形？
2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列算式中，计算结果是负数的是( ) A ．3(2)⨯-
B ．|1|-
C ．(2)7-+
D ．2(1)-
【解答】解：3(2)6⨯-=-，|1|1-=，(2)75-+=，2(1)1-=， 故选：A ．
2．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、左图与右图的形状不同，所以A 选项错误；
B 、左图与右图的大小不同，所以B 选项错误；
C 、左图通过翻折得到右图，所以C 选项错误；
D 、左图通过平移可得到右图，所以D 选项正确．
故选：D ． 3．（3分）要使1
x -有意义，则x 的取值范围为( ) A ．0x B ．1x C ．0x D ．1x
【解答】解：要使1
x -有意义， 则10x -， 解得：1x ． 故选：B ．
4．（3分）若关于x 的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是(
)
A ．2x
B ．1x >
C ．12x <
D ．12x <
【解答】解：根据题意得：不等式组的解集为12x <． 故选：D ． 5．（3分）计算11
x x x
+-的结果为( ) A ．1 B ．x C ．
1
x
D ．
2
x x
+ 【解答】解：11
x x x
+- 11
x x
+-= 1=．
故选：A ．
6．（3分）如图，点P 是AOB ∠的边OA 上一点，PC OB ⊥于点C ，//PD OB ，35OPC ∠=︒，则APD ∠的度数是( )
A ．60︒
B ．55︒
C ．45︒
D ．35︒
【解答】解：PC OB ⊥，//PD OB ， 90CPD ∴∠=︒，
又35OPC ∠=︒， 55APD ∴∠=︒，
故选：B ．
7．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) A ．②→④→③→① B ．③→④→①→② C ．①→②→④
→③
D ．②→③→①→④
【解答】解：将本校图书馆最受学生欢迎的图书种类情况制作扇形统计图的步骤如下：
②去图书馆收集学生借阅图书的记录； ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表； ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比； ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类； 故选：A ．
8．（3分）已知圆锥的高为3，高所在的直线与母线的夹角为30︒，则圆锥的侧面积为(
) A ．π
B ．1.5π
C ．2π
D ．3π
【解答】解：高所在的直线与母线的夹角为30︒，
∴圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，
所以圆锥的侧面积1
21222
ππ==． 故选：C ．
9．（3分）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是(
)
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．1个或2个
【解答】解：直线y x a =+不经过第二象限，
0a ∴，
当0a =时，关于x 的方程2210ax x ++=是一次方程，解为12
x =-，
当0a <时，关于x 的方程2210ax x ++=是二次方程， △2240a =->，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D ．
10．（3分）已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a 的值等于( )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y 轴，所以02b
x a
=-=， 解得0b =， 与0b <相矛盾；
第3个图，抛物线开口向上，0a >， 经过坐标原点，210a -=， 解得11a =，21a =-（舍去）， 对称轴0221
b b
x a =-
=->⨯， 所以0b <，符合题意， 故1a =，
第4个图，抛物线开口向下，0a <， 经过坐标原点，210a -=， 解得11a =（舍去），21a =-， 对称轴022(1)
b b x a =-
=->⨯-， 所以0b >，不符合题意， 综上所述，a 的值等于1． 故选：C ．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（30(1)π-= 3 ． 【解答】解：原式213=+=． 故答案为：3．
12．（3分）分解因式：324x xy -= (2)(2)x x y x y +- ． 【解答】解：原式22(4)(2)(2)x x y x x y x y =-=+-， 故答案为：(2)(2)x x y x y +-
13．（3分）如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形CDE ，则AED ∠的度数为 15︒ ．
【解答】解：四边形ABCD 是正方形， 90ADC ∴∠=︒，AD DC =， CDE ∆是等边三角形， DE DC ∴=，60EDC ∠=︒，
9060150ADE ∴∠=︒+︒=︒，AD ED =，
11
(180)(180150)1522
DAE AED ADE ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
故答案为：15︒．
14．（3分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在坐标轴上，(8,7)B ，(5,0)D ，点P 是边
AB 上的一点，连接OP ，DP ，当ODP ∆为等腰三角形时，点BP 的长度为 3 ．
【解答】解：四边形OABC 是矩形，(8,7)B ， 8OA BC ∴==，7OC AB ==，
(5,0)D ， 5OD ∴=，
点P 是边AB 的一点， 5OD DP ∴==， 3AD =，
22534PA ∴=-， 3PB ∴=
故答案为：3．
15．（3分）如图，PA 、PB 分别是O 的切线，A 、B 为切点，AC 是O 的直径，若36BAC ∠=︒，则P ∠的度数为 72︒ ．
【解答】解：PA 、PB 分别是O 的切线，A 、B 为切点，AC 是O 的直径， 90CAP ∴∠=︒，PA PB =，
又36BAC ∠=︒， 54PAB ∴∠=︒， 54PBA PAB ∴∠=∠=︒， 180545472P ∴∠=︒-︒-︒=︒．
故答案是：72︒．
16．（3分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34⋯在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n 个数记为n a ，则357920211..a a a a a ++++++与斐波那契数列中的第 2022 个数相同．
【解答】解：斐波那契数列中121a a ==， 21a ∴=．
357920211a a a a a ∴+++++⋅⋅⋅+ 235792021a a a a a a =+++++⋅⋅⋅+ 45792021a a a a a =++++⋅⋅⋅+ 6792021a a a a =+++⋅⋅⋅+ 892021a a a =++⋅⋅⋅⋅+ 102021a a =+⋅⋅⋅+
=⋅⋅⋅
20202021a a =+ 2022a =．
故答案为：2022．
三、简答题（本大题9小题，共72分） 17．（4分）解不等式：2(1)4x x -<-． 【解答】解：2(1)4x x -<-， 去括号，得 224x x -<-，
移项及合并同类项，得 36x <，
系数化为1，得 2x <．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE DF =．求证：CE AF =．
【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AD BC ，
BE DF =，
AF CE ∴=，
∴四边形AECF 是平行四边形，
CE AF ∴=．
19．（6分）已知：3(1)(1)(1)P a a a a =+-+- （1）化简P ；
（2）若a 为方程1033
x
x x +-=的解，求P 的值．
【解答】解：（1）22331P a a a =+-+ 2231a a =++；
（2）a为方程1
33
x
x x
+-=的解，
∴1
0 33
a
a a
+-=，
解得0
a=，
2
2311
P a a
∴=++=．
20．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题：（1）本次共调查60名学生，条形统计图中m=．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有名学生不了解“概率发展的历史背景“；（3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很了解“的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为2440%60
÷=（人)，条形统计图中60(12246)18
m=-++=，
故答案为：60、18；
（2）该校不了解“概率发展的历史背景”的人数约为
12
1500300
60
⨯=（名)，
故答案为：300；
（3）画树形图得：
共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，
∴恰好抽中一男生一女生的概率为
4263
=． 21．（8分）某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天．
（1）将60万只用科学记数法表示为 5610⨯ 只； （2）求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？ 【解答】解：（1）60万5600000610==⨯， 故答案是：5610⨯；
（2）设乙厂每天能生产口罩x 万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x 万只， 依题意，得：
6060
51.5x x
-=， 解得：4x =，
经检验，4x =是原方程的解，且符合题意， 1.56x ∴=．
答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只． 22．（10分）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k
y x
=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知10OA =，1tan 3
AOC ∠=，点B 的坐标为(,2)m -． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；
（3）已知点P 的坐标为9
(0,)4
，求证CDP ODC ∆∆∽．
【解答】解：（1）过A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ， 1tan 3AOC ∠=，
3OE AE ∴=．
10OA =，2210OE AE +=，
1AE ∴=，3OE =．
∴点A 的坐标为(3,1)．
A 点在双曲线上，
∴
13
k
=， 3k ∴=．
∴双曲线的解析式为3y x
=
；
（2）点(,2)B m -在双曲线3
y x
=上， 32m
∴-=
， 3
2
m ∴=-．
∴点B 的坐标为3(2
-，2)-．
∴31322a b a b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，
∴231
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴一次函数的解析式为2
13
y x =
-．
（3）证明：由（2）知，一次函数的解析式为2
13
y x =-，且点D 是一次函数图象与y 轴的交点， (0,1)D ∴-．
点P 的坐标为9
(0,)4，
913
|1|44PD ∴=--=，94OP =．
C ，
D 两点在直线2
13
y x =
-上， C ∴，D 的坐标分别是：3
(2
C ，0)，(0,1)
D -．
即：
3
2
OC=，1
OD=，
13
2
DC
∴
=．
∴
13
13
4
2
13
2
PD
DC
==，
13
13
2
12
DC
OD
==，
∴
PD DC
DC OD
=．
又PDC ODC
∠=∠，
CDP ODC
∴∆∆
∽．
23．（10分）如图，在O中，B是O上的一点，120
ABC
∠=︒，弦23
AC=．
（1）作ABC
∠的角平分线BM交O于点M，连接MA，MC，并求O半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB BC BM
+=．
【解答】解：（1）如图，图形如图所示：
连接OA 、OC ，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1， 120ABC ∠=︒，
18060AMC ABC ∴∠=︒-∠=︒， 2120AOC AMC ∴∠=∠=︒，
1
602AOH AOC ∴∠=∠=︒，
1
32
AH AC ==， 2sin 60AH
OA ∴=
=︒
， 故O 的半径为2．
（2）证明：在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，
120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠， 60ABM CBM ∴∠=∠=︒， BE BC =，
EBC ∴∆是等边三角形， CE CB BE ∴==，60BCE ∠=︒， 60BCD DCE ∴∠+∠=︒， 60ACM ∠=︒， 60ECM DCE ∴∠+∠=︒， ECM BCD ∴∠=∠，
60CAM CBM ∠=∠=︒，60ACM ABM ∠=∠=︒， ACM ∴∆是等边三角形， AC CM ∴=，
在ACB ∆和MCE ∆中，
CA CM ACB MCE CB CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACB MCE SAS ∴∆≅∆，
AB ME ∴=，
ME EB BM +=，
AB BC BM ∴+=．
24．（12分）在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点A ，B ． （1）求a ，b 满足的关系式及c 的值．
（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求实数a 的取值范围． （3）当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-， 故点A 、B 的坐标分别为(2,0)-、(0,2)，则2c =， 则函数表达式为：22y ax bx =++， 将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；
（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴02b
x a
=-，而21b a =+， 即2102a a +-
，解得：1
2
a -， 故a 的取值范围为：1
02
a -
<； （3）当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，
过点P 作直线//l AB ，作//PQ y 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，
OA OB =，
45BAO PQH ∴∠=∠=︒，
112
22122PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯=，
则1P Q PQ y y =-=，
在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，
则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1， 故：||1P Q y y -=，
设点2(,2)P x x x --+，则点(,2)Q x x +， 即：2221x x x --+--=±， 解得：1x =-或12-±
故点(1,2)P -或(12-+2)或(12-，2)．
25．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P 作PF PB ⊥交射线DA 于点F ，连接BF ，已知33AD =，3CD =，设CP 的长为x ． （1）线段PB 的最小值为
33
． （2）如图，当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度；
（3）当点P 在运动的过程中：①试探究FBP ∠是否会发生变化？若不改变，请求出FBP ∠大小；
若改变，请说明理由；②当x 为何值时，AFP ∆是等腰三角形？
【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，33AD =，3CD =， 3AB CD ∴==，33BC AD ==，90ABC D ∠=∠=︒，
226AC AB BC ∴=+=，
当BP AC ⊥时，BP 最小，此时BP 为Rt ABC ∆斜边AC 上的高， 11
22
ABC S AB BC AC BP ∆∴=
⋅=⋅，即3336BP ⨯=⨯， 33BP ∴=
， 故答案为：
33
； （2）如图：
P 运动到AC 的中点，6AC =，
3AP AB ∴==， Rt ABC ∆中，tan 3BC
BAC AB
∠==， 60BAC ∴∠=︒，
ABP ∴∆是等边三角形，
3AB BP ∴==，
又90BAF BPF ∠=∠=︒，BF BF =， ()BAF BPF HL ∴∆≅∆，
AF PF ∴=，
BF ∴是AP 的垂直平分线，
G ∴是AP 中点， H 是PF 中点， 12GH AF ∴=， ABP ∆是等边三角形，G 是AP 中点，
1302
PBF PBA ∴∠=∠=︒， 在Rt PBF ∆中，tan PF PBF BP ∠=， tan303
PF ∴︒=得3PF =， 3AF ∴=，
3GH ∴=； （3）①FBP ∠不会发生变化，30FBP ∠=︒，理由如下： 过P 作MN AD ⊥于M ，交BC 于N ，如图：
MN AD ⊥，四边形ABCD 是矩形， MN BC ∴⊥，3MN AB ==， Rt ABC ∆中，3tan AB ACB BC ∠==， 30ACB ∴∠=︒，
Rt CPN ∆中，CP x =， 1sin302
PN CP x ∴=⋅︒=，3cos30CN CP =⋅︒=， 333BN BC CN x ∴=-=，132PM MN PN x =-=-， 90BPF ∠=︒，
90FPM BPN PBN ∴∠=︒-∠=∠， 而90PMF BNP ∠=∠=︒， PMF BNP ∴∆∆∽，
∴
1
33 2
3
33
2
x
PF PM
BP BN
x
-
===
-
，
在Rt BPF
∆中，tan
PF
FBP
BP
∠=，
3
tan FBP
∴∠=，
30
FBP
∴∠=︒；
②当F在A右侧时，过P作MN AD
⊥于M，交BC于N，如图：
由①知：PMF BNP
∆∆
∽，
3
PF
BP
=
1
2
PN x
=，
3
33
BN=，
1
3
2
PM x
=-，
∴
3
FM
PN
3
FM
∴=，
2
333
3
AF AM FM BN FM x
∴=-=-=，
Rt PFM
∆中，22222
311
()(3)39
623
PF FM PM x x x x
=+=+-=-+
而6
AP AC CP x
=-=-，
AFP
∆是等腰三角形，分三种情况：
（一)AP AF
=，则
2
6333
3
x x
-==，解得33
x=-，
（二)AP PF
=，则2
1
639
3
x x x
-=-+，解得9
x=（大于6，舍去）或
9
2
x=（此时0
AF=，舍去），
（三)AF PF
=，则2
21
33339
33
x x x
=-+，解得3
x=或6(
x P
=与A重合，舍去），当F在A左侧时，如图：
此时2333AF FM AM =-=- 同理可得33x = 综上所述，AFP ∆是等腰三角形，3x =或33x =。