二元一次不等式(组)与平面区域

§3.3.1二元一次不等式（组）与
平面区域（1）
学习目标
1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.
学习过程
一、课前准备
复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________
复习2：解下列不等式：
（1）210x -+>； （2）22320
41590
x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩ .
二、新课导学 ※ 学习探究
探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30
40x x +>⎧⎨-<⎩
的解集
为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？
探究2：你能研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形. 如图：在平面直角坐标系内，x -y =6表示一条直线.
平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x -y =6上的点；
第二类：在直线x -y =6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.
设点1(,)P x y 是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，
横坐标x-3 -2 -1 0 1 2 3
点P的纵
坐标
1
y
点A的纵
坐标
2
y
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6
x y
-<有什么关系？______________
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6
x y
-<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6
x y
-<.
因此，在平面直角坐标系中，不等式6
x y
-<表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图:
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图:
直线叫做这两个区域的边界
结论：
1. 二元一次不等式0
Ax By c
++>在平面直角坐标系中表示直线0
Ax By c
++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2. 不等式中仅>或<不包括；但含“≤”“≥”包括；同侧同号，异侧异号.
※典型例题
例1画出不等式44
x y
+<表示的平面区域.
分析：先画___________（用线表示），再取_______判断区域，即可画出．
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0
C≠时，常把原点作为此特殊点.
变式：画出不等式240
x y
-+-≤表示的平面区域.
例2用平面区域表示不等式组
312
2
y x
x y
<-+
⎧
⎨
<
⎩
的解集
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.
变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .
※ 动手试试
练1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 __ 练2. 画出不等式组360
20x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩
表示的平面区域.
三、总结提升 ※ 学习小结
由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C
≠0时，常把原点作为此特殊点） ※ 知识拓展
含绝对值不等式表示的平面区域的作法：
（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式． （2）一般采用分象限讨论去绝对值符号． （3）采用对称性可避免绝对值的讨论． （4）在方程()0f x y =或不等式()0f x y >中，若将x y 换成()()x y --，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（ ）.
A ．右上方
B ．右下方
C ．左上方
D ．左下方 2. 不等式3260x y +-≤表示的区域是（ ）.
3.不等式组
360
20
x y
x y
-+≥
⎧
⎨
-+<
⎩
表示的平面区域是（）
.
4. 已知点(3,1)
--和(4,6)
-在直线320
x y a
-++=的两侧，则的取值范围是.
5. 画出
1
1
x
y
≥
⎧
⎨
<
⎩
表示的平面区域为：课后作业
1. 用平面区域表示不等式组
3
2
326
x
y x
x y
<
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+≥
⎩
的解集.
2.求不等式组
60
3
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
表示平面区域的面积.
§3.3.1二元一次不等式（组）与
平面区域（2）
学习目标
1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.
一、课前准备
复习1：画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
复习2：画出不等式组
2312
236
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
+>-
⎨
⎪≥
⎩
所示平面区域.
二、新课导学
※典型例题
例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.
例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
※动手试试
练1. 不等式组
(5)()0
03
x y x y
x
-++≥
⎧
⎨
≤≤
⎩
所表示的平面区域是什么图形？
练2. 某人准备投资1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.
三、总结提升 ※ 学习小结
根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.
※ 知识拓展
求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y .
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）.
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（0，2） Ｄ．（2，0）
2. 不等式组50
03x y x -+≥⎧⎨≤≤⎩
表示的平面区域是一个（ ）.
A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形 3. 不等式组13y x x y y <⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（ ）.
A ．12,P D P D ∉∉
B ．12,P D P D ∉∈
C ．12,P
D P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈ 4. 由直线20,210x y x y ++=++=和210x y ++=的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .
5. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪
<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .
1. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B . 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A 需要10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B 需要5min 打磨，12min 着色，9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每天至多480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.
2. 某服装制造商现有10m2的棉布料，10 m2的羊毛料，6 m2的丝绸料. 做一条裤子需要棉布料1 m2， 2 m2的羊毛料，1 m2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1 m2，1m2的羊毛料，1 m2的丝绸料.一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元. 为了使收益达到最大，需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.。