杨辉三角与二次项系数性质(习题课)讲解 PPT

求展开式的系数和
∈R)．
设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x
(1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 012 的值． (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 011 的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特
【错解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令 A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…， 由题意知 B－A＝38. 令 x＝－1 得 a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， ∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n ∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8. 由二项式系数性质可得，a1n＋a2n＋…＋Cnn＝2n＝28
开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…， 记其前 n 项和为 Sn，求 S16 的值．
图 1－3－2
【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位 置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．
【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得： S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19) ＝(C22＋C23＋C24＋…＋C29)＋(2＋3＋…＋9) ＝C310＋8×22＋9 ＝164.
图 1－3－3 【解析】 由图中数字规律可知，第 n 行的第 2 个数是 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－ 2 1＋1.
(2)将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所 示的 0－1 三角数表．从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的 是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，…，第 n 次 全行的数都为 1 的是第________行；第 61 行中 1 的个数是 ________．
化简得1100rr22＋＋114633rr－－192047≥7≤0.0，
解之得 r＝5，即 2×5－1＝9 项系数最大． T9＝C820·312·28·x12y8.
忽视二项式系数和致误 已知(2x－1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比 偶次项系数的和小 38，则 C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn的值为( ) A．28 B．28－1 C．27 D．27－1
【正解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次 项的系数和为 A，偶次项的系数和为 B.
则 A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知：B－A＝38.令 x＝－1， 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－ 3)n， 即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二项式系数性质可得： C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝2n－C0n＝28－1.
化简得32（（r2＋1－1）r）≥≥2（3r，20－r），
解得 725≤r≤825(r∈N)， 所以 r＝8， 即 T9＝C280312·28·x12y8 是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第 2r－1 项系数最大， 于是
C22r0－2·322－2r·22r－2≥C22r0－4·324－2r·22r－4， C22r0－2·322－2r·22r－2≥C22r0·320－2r·22r，
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同 的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式 组，解不等式的方法求得．
求(1＋2x)7 的展开式中的二项式系数最大项与系数最大
项． 【解】 在二项式系数 C07，C17，C27，…，C77中，最大的
是 C37与 C47，故二项式系数最大项是第 4 项与第 5 项，即 T4
变式训练：
2、在(3x－2y)20的展开式中，求
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
解 (1)二项式系数最大的项是第 11 项， T11＝C1200310(－2)10x10y10 ＝C1200610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是 r＋1 项，于是 Cr20·320－r·2r≥C2r＋0 1·319－r·2r＋1， Cr20·320－r·2r≥C2r－0 1·321－r·2r－1，
题型四 整除与近似计算问题
例4、今天是星期五，那么 8100 天后的这
一天是星期几？
那 么31000 天 后
8100（711） 00 是 星 期 几 ？
C 1 07 1 0 0 0 C 1 1 0 7 9 0 9 0 C 1 r7 1 0 r 0 0
C1 90 9 710C1 1 0 0
0 0
1．解决二项式系数和问题思维流程
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方 法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展 开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x ＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与 奇次项系数之和的差．
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7xห้องสมุดไป่ตู้，求 (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.
二项式系数性质的应用 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和
比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展 开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式 中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、 “－”号．
【解】 (1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，
①
令 x＝0，得 a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.
(2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187， ② 由①、②得
a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094， a0＋a2＋a4＋a6＝1 093.
【答案】 A
【错因分析】 误将 C1n＋C2n＋…＋Cnn看作是二项展开式 各项二项式系数和，忽略了 C0n.
【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件 以及所要求的结论，避免失误．
(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握， 尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不 同值．
（ 7C 1 00 790 9C 1 9） 0 901
余数是1， 所以是星期六
变式训练：
2)
例 5、
解：
图 1－3－4
【解析】 观察可得第 1 行，第 3 行，第 7 行，第 15 行， 全行都为 1，故第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n－1 行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第 63 行共有 64 个 1，逆推知第 62 行共 有 32 个 1，第 61 行共有 32 个 1.
【答案】 2n－1 32
T3＝C25(x32)3(3x2)2＝90x6， T4＝C35(x32)2(3x2)3＝270x232.
(2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·x32(5＋2r)． 假设 Tr＋1 项系数最大， 则有CC5rr533rr≥≥CCr5r5－＋11··33rr－＋11，
∴55－ －55rr！ ！！ ！rr！ ！×≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－！1×！3，
【自主解答】 令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1) ＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题 意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)，或 2n＝32，∴n＝5.
(1)由于 n＝5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 为中间两项，它们分别是
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
011＝1－232
012
.
(3)∵Tr＋1＝Cr2012(－2x)r＝(－1)r·Cr2 012·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
点，用赋值法求解．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
【自主解答】 (1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.
①
(2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012. ②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴35r≥ －1 6r≥－1 rr＋3 1. ∴72≤r≤92，∵r∈N，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45x23(3x2)4＝405x236.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时， 中间一项的二项式系数最大．
杨辉三角问题解决的一般方法 观察—分析；实验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三 角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有： 横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表 所示：
(1)如图 1－3－3 所示，满足①第 n 行首尾两数均为 n； ②表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行(n≥2)的第 2 个数 是________．
132132杨辉三角与二项式系数的性质杨辉三角与二项式系数的性质习题课习题课与杨辉三角有关的问题如图132所示在杨辉三角中从图132思路探究观察数列的特点它在杨辉三角中的位置或者联系二项式系数的性质直接对数列求和即可
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质 （习题课）
与杨辉三角有关的问题 如图 1－3－2 所示，在“杨辉三角”中，从 1
＝C37(2x)3＝280x3 与 T5＝C47(2x)4＝560x4.
设第 r＋1 项的系数最大，则由TTrr＋ ＋11≥ ≥TTrr＋2 ⇒
C7r 2r≥Cr7－12r－1 Cr72r≥Cr7＋12r＋1
⇒33rr≤ ≥1163，
由于 r 是整数，故 r＝5，
所以系数最大的是第 6 项，即 T6＝C57(2x)5＝672x5.