数字逻辑电路 第三章 布尔代数与逻辑函数化简(52P)

例4 F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH 解: 原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH （吸收律1）
=A+AC+BD+BEG+DEGH (吸收律2)
=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3） =A+C+BD+BEG （多余项定律）
例5
F=AB+BC+BC+AB F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C） （互补律A+A=1） =AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC （分配律） =AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律2： AB+ABC=AB） =AB+BC+ABC+ABC （吸收律2： BC+ABC=BC） =AB+BC+AC（吸收律1:ABC+ABC=AC）
反函数
③ 反演法则
例：求F A B C D E的反函数F
F A B C D E A B C D E A BC D E A BC DE
上述过程要反复应用求反律。而利用反演法则直接写出结果。
F A B C D E
3.1.3 基本公式应用
5.交换律
6.结合律 7.分配律 8.吸收律1
A· B= B· A
A· (B· C)= (A· B)· C A(B+C)=AB+AC (A+B)(A+B)=A
A+B=B+A
A+(B+C)=(A+B)+C A+BC=(A+B)(A+C) AB+AB=A
9 .吸收律2
10 .吸收律3 11.多余项定律 12.求反律 13.否否律
=AC+C+AB （BC+BC=C 吸收律1） =C+AB （吸收律2）
例1
F=AC+BC+AB
加多余项
解法2
F=（A+B）C+AB （分配律） =ABC+AB （求反律）
=C+AB
例2 F=ABC+ABC+ABC+ABC
F=AB+AB （利用吸收律1 ABC+ABC=AB ABC+ABC=AB） =A （吸收律1）
3.3.4 逻辑函数的卡诺图表示法
逻辑函数的真值表与卡诺图有一一对应的关系， 卡诺图中的每一方格对应真值表中的一项。
例 如函数是以最小项形式给出，则对号入座即可。 F（ABC）= ∑ 0，2，3，5，7）
AB 00 C 01 1 1 1 1 11 10
卡诺图
0 1
1
函数中含有的最小项填“1”，没有可不填。
例1 F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
= AB +AB +BC
= A+BC 上述化简过程十分简单，容易掌握，只需记吸收律1即可
3.3.1 卡诺图化简的基本原理
卡诺图化简的依据是吸收律“1” AB+AB=A 但有的逻辑函数相邻关系不直观，如
F = ABCD+ABC+BC+BCD 各项变量不相同，找不出相邻关系。为了 寻找逻辑相邻关系，提出逻辑函数的标准 式。
3.1.2 基本法则
逻辑代数中有三个基本法则，掌握了这些法则可将原有 的公式加以扩展或推出一些新的公式。
① 代入法
由于逻辑变量及函数运算结果只能取值0或1，因此逻辑 等式中的任何变量或相应部分用一个变量代替，等式仍然 成立。
例：证明ABC A B C
②对偶法则
0→1 1→0 +→· 原式 ·→+ 运算顺序不变(加括号) 二变量(含二变量)以上非号不动 变量不变
对偶式
例：写出 AB AC BC AB AC的对偶式
解： 按上述过程其对偶式为
（A B）（ A C）（B C） （A B）（ A C）
③ 反演法则
反演法则的目的是能够较快的写出函数的反函数，将原
式按下述过程即可求得其反函数。
0→1 1→0 +→· 原式 ·→+ 运算顺序不变 二变量(含二变量)以上非号不动 变量取反
3.3.2 逻辑函数的标准式 ——最小项标准式
1.定义 最小项标准式是以“与或” 形式出现的标准式 最小项—含有逻辑函数的 全部变量的与项。且在 一个与项中，它使F=1。 每个变量只能以原反变 量出现一次。 如三变量最小项用下表表 示。为表示方便，将最 小项进行编号mi 其下标 与二进制数一致。 ABC 最小项函数式 编号 这样例 1的函数表达式 m0 000 ABC m1 ABC 001 可写成如下形式： m2 ABC 010 F=ABC+ABC+ABC+ m3 ABC 011 ABC+ABC m4 ABC 100 m5 ABC +m +m =101 m0+m1+m 2 3 7 m6 ABC 110 =∑( 0, 1 , 2 , 3 , 7 ) m7 ABC 111
1321逻辑函数与逻辑图逻辑函数化简遵循以下原则1逻辑电路所用门最少函数项要少2各个门的输入端数要少每一项的变量数少3逻辑电路所用的级数要少速度快4逻辑电路可靠工作我们主要遵循12条通过以下若干例说明代数法化简的方法和过程例1facbcab加多余项解法1facbcabacbcab多余项为accbcabacacc吸收律1cab吸收律2或facbcabbcacab多余项为bcaccabbcbcc吸收律1cab吸收律2例1facbcab加多余项cab解法2fabcab分配律abcab求反律例2fabcabcabcabcfabab利用吸收律1abcabcababcabcaba吸收律1例3解法1fabcabcab吸收律1abcabcababccabcbabcafabcabcb分配律abcacb吸收律3abcacab分配律abacab分配律bacab吸收律3bcacab分配律例3abccabcbabcaffabcabcabcabcabcabc等幂律解法2bc吸收律1abcabcbcabcabcacabcabcab此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干次此例abc项就反复用了三次acabfadadabacbdacegbegdegh例4解
A B C A B C A B C A B C
＆
&
＆ ≥1 ＆ ＆
图( a) F
其逻辑图如（a）所示，每一 个与项需一个与门，共需四 个与门，最后需一级或门。
A
F
图（b）
经简化后F=A则逻辑图 如(b)所示由此可看出函 数化简的重要性。
3.2.1 逻辑函数与逻辑图
逻辑函数化简遵循以下原则
1 逻辑电路所用门最少—函数项要少 2 各个门的输入端数要少—每一项的变量数少
卡诺图的特点是保证逻辑相邻与几何位置相邻一一对应。
3.3.3 卡诺图结构
卡诺 图的 特点 是保 证逻 辑相 邻与 几何 位置 相邻 一一 对应。
需要指出的是，一个平面只能完整反 四变量卡诺图 映二变量的相邻关系。多于二变量的逻 格雷码 a 辑相邻关系，除了几何位置相邻外，还 AB 00 01 11 10 CD 应加上对折重叠相邻。如四变量， m5 ABCD ABCD ABCD 00 ABCD m0 m4 m12 从几何位置上其相邻项有 m1 、m4m 、 8 ABCD ABCD ABCD m7 和 而 m8 从几何位置上只 01 ABCD 格 m13; m1 m5 m13 m9 雷 b ，m9 与之相邻，另二个相邻 b 有 m12 码 11 ABCD ABCD ABCD ABCD m3 m7 m m11 项通过对折重叠项找出，以 aa 15 线对折重 ABCD ABCD m10 ABCD ABCD 叠项是m0; bb 线对折重叠项是 。 10 以 m2 m6 m14 m10 故m8的逻辑相邻项为m0、m9、m10、 a m12。
此题按常规的方法用公式无法再化简，经过一定的处理可再化简：
3.2.2与或逻辑函数化简举例
通过以上各例可看出代数法化简存在如下问题： 1 无统一的模式 2 需记大量的公式 3 需要一定的技巧
4 难于判断结果是否最简 为此出现一种既简便又直观的化简方法— 图形法化简，即卡诺图化简法。
3.3 卡诺图化简
3.3.2 逻辑函数的标准式 ——最小项标准式
3.最小项的性质
2 -1
① ②
m =1
i i=0
n
mi · mj = 0 （ i ≠ j） ③ n变量有2n个最
有了最小项标准式，但 要较快找出其全部相邻 关系，并确定相邻项如 何合并，使之结果最简， 仍然十分困难。
为此用图形将最小 项巧妙地排列，使逻辑 相邻与几何位置相邻一 一对应，这样逻辑相邻 关系就一目了然。
3.3.2 逻辑函数的标准式 ——最小项标准式
2.如何由一般式获得最小项标准式 采用缺什么变量就补什么变量 ①代数法
F = ABC+BC+AC
= ABC+BC（A+A）+AC（B+B） = ABC+ABC+ABC+ABC+ABC = m0 +m3+ m4+ m6+m7 = ∑（0, 3, 4, 6, 7）
小项，每个最小
项有n个逻辑相 邻项
3.3.3 卡诺图结构
卡诺图的特点就是保证逻辑相邻与几何位置相邻 一一对应。通过用格雷码标注实现。
三变量卡诺图 二变量卡诺图 A 0 1 B 0 1 AB m0 AB m1 AB m2 AB m3
格雷码 AB C
00
01
11
10
ABC ABC ABC 0 ABC m0 m2 m6 m4 ABC ABC ABC 1 ABC m7 m1 m3 m5
3.1.1 基本公式
基本公式反映了逻辑运算的一些基本规律，
只有掌握了这些基本公式，才能正确地分析
和设计出逻辑电路。参照书面教材P40页中的
表3-1，列出了布尔代数常用的基本公式。
表 3-1 基本公式
公式名称 1.0-1律 2.自等律 3.等幂律 4.互补律 A· 0=0 A· 1=A A· A=A A· A=0 公 式 A+1=1 A+0=A A+A=A A+A=1
A(A+B)=A
A(A+B)=AB (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C) AB=A+B A=A
A+AB=A
A+AB=A+B AB+AC+BC=AB+AC A+B=A· B
3.1.1 基本公式
由表3－1可看出每个定律都是成对出现的，它们互为 对偶式（关于对偶概念在基本法则将会介绍）。 这些定 律可以直接代入“0”、“1”取值，也可用真值表加以 验证。前6个比较直观，我们不证明了。其余的我们证明 对偶式中的一个即可。 分配律前一种形式与代数一样，易理解，后一种分配 关系是加对乘的分配，是普通代数中没有的，故又称为特 殊分配律，它的正确性可用真值表验证。
3.3.4 逻辑函数的卡诺图表示法
逻辑函数的真值表与卡诺图有一一对应的关系， 卡诺图中的每一方格对应真值表中的一项。 如给定的一般函数则逐项填入 例
卡 诺 图
F = ABC+BCD+ACD+ABD第3章 布尔代数与逻 Nhomakorabea函数化简
布尔代数是逻辑电路分析和设计的重要数学工具。 3.1 基本公式和规则 3.2 逻辑函数的代数法化简
3.3 卡诺图化简
3.1 基本公式和规则
3.1.1 基本公式 3.1.2 基本规则
3.1.3 基本公式应用
3.2 逻辑函数的代数法化简
3.2.1 逻辑函数与逻辑图
3.2.2 与或逻辑函数化简举例
① 等式的证明 ② 逻辑函数不同形式的转换 由于与或形式物理意义明确，与真值表相对应，且 对应的基本公式较为熟悉，故在一般情况下，函数均 以“与或”形式给出。 ③ 逻辑函数的化简 用基本公式将逻辑函数化简，称为代数法化简，将在 3.2节中专门讨论。
3.2.1 逻辑函数与逻辑图
F=ABC+ABC+ABC+ABC
②真值表法
②真值表法
ABC ABC BC 000 1 0 001 0 0 010 0 0 011 0 1 100 0 0 101 0 0 110 0 0 1 111 0
AC 0 0 0 0 1 0 1 0
F 0 0 0 0 1 0 1 0
F=ABC+ABC+ABC+ ABC+ABC =∑( 0, 3, 4, 6, 7) 与代数法所得结论一致
3.3.1 卡诺图化简的基本原理 3.3.5 最小项合并规律
3.3.2 逻辑函数的标准式 ——最小项标准式 3.3.3 卡诺图结构
3.3.6 用卡诺图化简与或式
3.3.7 其它逻辑形式的化简
3.3.4 逻辑函数的卡诺图表示法
3.3.8 无关项及无关项的应用
3.3.1 卡诺图化简的基本原理
卡诺图化简的依据是吸收律“1” AB+AB=A 即二项逻辑相邻项可合并为一项，保留共有的变量，消 去表现形式不同的变量（x、x）。所谓逻辑相邻项，即含有 相同变量，其中只有一个变量表现形式不同的逻辑项。因此， 如已知一个逻辑函数的相邻关系，可以反复应用其吸收定律 1即可。
例3
解法1
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+AB (吸收律1 ABC+ABC=AB) =ABC+A（BC+B） （分配律） =ABC+A（C+B） （吸收律3） =ABC+AC+AB （ 分配律） =（AB+A）C+AB （分配律） =（B+A）C+AB （吸收律3）
3 逻辑电路所用的级数要少—速度快
4 逻辑电路可靠工作 我们主要遵循1、2条 通过以下若干例说明代数法化简的方法和过程
例1
F=AC+BC+AB
加多余项
解法1
F=AC+BC+AB+AC (BC、AB多余项为AC） =C+BC+AB （AC+AC=C 吸收律1） =C+AB （吸收律2）
或 F=AC+BC+AB+BC (AC、AB多余项为BC)
=BC+AC+AB （分配律）
例3
解法2
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC + ABC （等幂律） =BC + AC + AB （吸收律1）
（ABC+ABC=BC， ABC+ABC=AC， ABC+ABC=AB）
此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干 次，此例ABC项就反复用了三次