【单元练】上海长征中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》知识点总结(含解析)
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一、选择题
1．如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为
12
5
i=小明从与
点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得放杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（）米．（参考数据：sin390.63
︒≈，
cos390.78
︒≈，tan390.81
︒≈）
A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1C
解析：C
【分析】
通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【详解】
解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i=12
5
，得，
BF
FC
=
12
5
，
又BC=65，
设BF=12x，FC=5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2=652，∴x=5，
∴BF=60，FC=25，
又∵DC=115，
∴DF=DC-FC=115-25=90=EG，
在Rt△AEG中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．
2．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．
A ．3米
B ．3米
C ．2米
D ．1米B
解析：B
【分析】 设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，
在Rt APC △中，3tan PC AC x PAC =
=∠， 在Rt BPC △中，3tan 3PC BC x PBC =
=∠， 由题意得，3323x x -
=， 解得，3x =
（米)， 故选：B ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
3．如图，
O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长
为（ ）
A ．12
B 3
C ．1
D 3
解析：D
【分析】
先作OD ⊥BC 于D ，由于∠BAC ＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC ＝120°，又OD ⊥BC ，根据垂径定理可知∠BOD ＝60°，BD ＝12BC ，在Rt △BOD 中，利用特殊三角函数值易求BD ，进而可求BC ．
【详解】
解：如右图所示，作OD ⊥BC 于D ，
∵∠BAC ＝60°，
∴∠BOC ＝120°，
又∵OD ⊥BC ，
∴∠BOD ＝60°，BD ＝12
BC ， ∴BD ＝sin60°×OB ＝3，
∴BC ＝2BD ＝23，
故答案是23．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD ⊥BC ，并求出BD ．
4．在△ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（ ）
A ．34
sinA = B ．34cos A = C ．34tan A = D ．34cot A =B 解析：B
【分析】
按照锐角三角函数的定义求各函数值即可．
【详解】
解：如图，由勾股定理可得BC=2222437AB AC -=-=
选项A，
7
4
BC
sinA
AB
==，故错误；
选项B，
3
cos
4
AC
A
AB
==，故正确；
选项C，
7
tan
3
BC
A
AC
，故错误；
选项D，
337
cot
7
7
AC
A
BC
===，故错误；
故应选：B
【点睛】
本题考查了锐角三角函数定义，解答关键是按照相关锐角三角函数定义解题．
5．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF =AE+FC，则边BC的长为（）
A．3B．33C．63D 9
3 2
B
解析：B
【分析】
根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
//,
DE BF
∴
,,
DEO BFO EDO FBO
∴∠=∠∠=∠
EF垂直平分BD，
OB OD
∴=，
BOF DOE
∴∆∆
≌，
,
OE OF
∴=
∴四边形BEDF是菱形，
∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，
∴∠A=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO，
∴AE=FC．又EF=AE+FC，