(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇
总
单选题
1、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
<0成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)
答案：C
分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1
a −2<03a ≤1
，求a 的范围即可．
∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立， ∴f(x)在R 上是减函数，
∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0
，解得0<a ≤13，
∴a 的取值范围是(0,13]．
故选：C ．
2、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,
若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(−∞,0)∪(0,1)
B ．(−∞,0)∪(1,+∞)
C ．(−∞,0)
D ．(0,1)∪(1,+∞)
答案：B
分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.
令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，
当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13
)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x
≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1， 则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：
当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；
当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，
则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x
的图象没有交点，
因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，
所以a >1，
综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，
故选：B.
3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）
A ．23天
B ．33天
C ．43天
D ．50天
答案：B
分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120
，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，
故选：B.
4、已知f (x )={2x −x 2,x ≥5f(x +3),x <5
，则f (4)+f (-4)=（ ） A ．63B ．83C ．86D ．91
答案：C
分析：由给定条件求得f (-4)=f (5)，f (4)=f (7)，进而计算f (5)、f (7)的值，相加即可得解.
依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)= f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，
当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，
所以f (4)+f (-4)=86.
故选：C
5、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则1
2a +12b =（ ）
A ．12
B ．1
C ．√2
D ．2 答案：B
分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．
由|AB |=|CD |得(14)a −(14)b =(12)a −(12)b ，即[(12)a −(12)b ][(12)a +(12)b ]=(12
)a −(12)b ≠0， 所以(12)a +(12)b
=1，
故选：B ．
6、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ）
A ．12a −b
B ．12b +a
C ．12a +b
D ．12b −a
答案：C
分析：根据对数的运算性质计算即可.
解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b .
故选：C.
7、已知a =log 20.6,b =log 20.8,c =log 21.2，则（ ）
A ．c >b >a
B ．c >a >b
C ．b >c >a
D ．a >b >c
答案：A
分析：由对数函数得单调性即可得出结果.
∵y =log 2x 在定义域上单调递增，
∴log 20.6<log 20.8<log 21.2，即c >b >a .
故选：A.
8、若f(x)={(6−a)x −a,x <1
log a x +3,x ≥1 是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）
A ．[1,5]
B ．[32,5)
C ．(32,5)
D ．(1,5)
答案：B
分析：由题意得{
6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a
，解不等式组可求得答案 因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1
是定义在R 上的增函数， 所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a
，解得32≤a <5， 故选：B
9、下列计算中结果正确的是（ ）
A ．log 102+log 105=1
B ．log 4
6log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33
答案：A
分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；
解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；
对于B ：log 46
log 43=log 36，故B 错误；
对于C ：(log 515
)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A
10、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A ．甲同学和乙同学
B ．丙同学和乙同学
C ．乙同学和甲同学
D ．丙同学和甲同学
答案：C
分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.
(√55)10=52=25，(√2)
10=25=32．∵25<32．∴√55<√2． 又∵(√33
)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2．
∴有√55<√2<√33．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
填空题
11、已知a >b >1，若log a b +log b a =52,a b =b a ，则a +2b =___________. 答案：8
分析：利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
解：由log a b +log b a =52，且log a b ⋅log b a =1
所以log a b,log b a 是方程x 2−52x +1=0的两根， 解得log b a =2或log b a =12， 又a >b >1，所以log b a =2，即a =b 2，又a b =b a
从而b 2b =b a ⇒a =2b ，且a =b 2，则b =2，a =4．
所以a +2b =8.
所以答案是：8.
12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．
答案：(−∞，12]
分析：由二次根式的化简求解
由题设得√4a2−4a+1=√(2a−1)2=|2a−1|，√(1−2a)3
3=1−2a，
所以|2a−1|=1−2a
所以1−2a≥0，a≤1
2
．
所以答案是：(−∞，1
2
]
13、已知4a=8，2m=9n=6，且1
m +1
2n
=b，则a+b=______．
答案：5
2
解析：将指数式4a=8化为对数式可求出a，将指数式2m=9n=6化为对数式可分别求出m,n，代入1
m +1
2n
=b
可求出b，进而可求出a+b的值. 因为4a=8，2m=9n=6，
所以a=log48=lg8
lg4=lg23
lg22
=3lg2
2lg2
=3
2
，m=log26，n=log96，
所以b=1
log26+1
2log96
=log62+1
2
log69=log62+log63=log6(2×3)=1，
所以a+b=5
2
.
所以答案是：5
2
14、若a>0且a≠1，则函数f(x)=a x−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．
答案：(4,4)
分析：任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.
令x−4=0，得x=4，所以f(4)=a0+3=4，所以函数f(x)=a x−4+3的图像恒过定点(4,4)．所以答案是：(4,4)
15、不等式2022x≤1的解集为______．
答案：(−∞,0]
分析：根据给定不等式利用指数函数单调性求解即可作答.
依题意，不等式2022x ≤1化为：2022x ≤20220，而函数y =2022x 在R 上单调递增，解得x ≤0， 所以不等式2022x ≤1的解集为(−∞,0].
所以答案是：(−∞,0]
解答题
16、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a 1x−a (a >0,a ≠1)．
(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围；
(2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”．
答案：(1)(0,1)
(2)答案见解析
分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0
即可； （2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可．
（1）
若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0
，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)．
（2）
假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，
由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数，
从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，
所以{log a (4−4a )≤1log a (9−6a )≥−10<a <1
，即{4−4a ≥a 9a −6a 2−1≤00<a <1 ，解得0<a ≤9−√5712，
所以当0<a ≤
9−√5712时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的； 当9−√5712<a <1时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“不友好”的．
17、设函数f (x )=log 3(9x )⋅log 3(3x )，且19≤x ≤9．
（1）求f （3）的值；
（2）若令t =log 3x ，求实数t 的取值范围；
（3）将y =f (x )表示成以t(t =log 3x)为自变量的函数，并由此求函数y =f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．
答案：（1）6；（2）[−2，2]；（3）f(x)min =−14，此时x =−
√39；f(x)max =12，此时x =9．
分析：（1）根据题目函数的解析式，代入x =3计算函数值；
（2）因为t =log 3x ，根据对数函数的单调性求出实数t 的取值范围；
（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x 的值.
（1）f （3）=log 327⋅log 39=3×2=6；
（2）t =log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴−2≤log 3x ≤2，∴−2≤t ≤2，所以t 的取值范围为[−2，2]； （3）由f (x )=(log 3x +2)(log 3x +1)=(log 3x)2+2log 3x +2=t 2+3t +2，
令g (t )=t 2+3t +2=(t +32)2−14，t ∈[−2，2]，
①当t =−32时，g(t)min =−14，即log 3x =−32，解得x =
√39， 所以
f(x)min =−14，此时x =−√39
； ②当t =2时，g(t)max =g （2）=12，即log 3x =2⇒x =9，
∴f(x)max =12，此时x =9．
小提示：求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
18、已知函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x 2−2e f(x).
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若函数y =f(x)+ln(2x −k)在区间(1,2)上有零点，求整数k 的值；
（3）设m >0，若对于任意x ∈[1m ,m]，都有g(x)<−ln(m −1)，求m 的取值范围. 答案：（1）f(x)=lnx ；（2）k 的取值为2或3；（3）(1,2).
解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a 的值，即可求解；
（2）由（1）可得y =ln (2x 2−kx )，得到2x 2−kx −1=0，设ℎ(x)=2x 2−kx −1，根据题意转化为函数y =ℎ(x )在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得g (x )的最大值g (m )，得出g(x)max <−ln(m −1)，得到m 2−2m <−ln(m −1)，设ℎ(m)=m 2−2m +ln(m −1)(m >1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.
（1）函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a =0，
所以函数f (x )的解析式为f(x)=lnx .
（2）由（1）可知y =lnx +ln(2x −k)=ln (2x 2−kx )，x ∈(1,2)，
令ln (2x 2−kx )=0，得2x 2−kx −1=0，
设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，
等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0
ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<7
2，
因为k∈Z，所以k的取值为2或3.
（3）因为m>0且m>1
m ，所以m>1且0<1
m
<1，
因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，
所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1
m
)，
因为g(m)−g(1
m )=m2−2m−(1
m2
−2
m
)=m2−1
m2
−(2m−2
m
)
=(m−1
m )(m+1
m
−2)=(m−1
m
)⋅(m−1)2
m
>0
所以g(x)max=g(m)=m2−2m，
只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，
设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，
又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，
所以m的取值范围是(1,2).
小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.
19、已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x＝1对称，且函数y=f(x)+2x为偶函数，函数
g(x)=1−2x.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求证：方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根；
(3)若存在实数m，使得f(m)=g(n)，求实数n的取值范围.
答案：(1)f(x)=(x−1)2
(2)证明见解析
(3)(−∞,0]
分析：（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解a,b，进而可求解析式，
（2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断，
（3）将条件转化为函数值域，即可求解.
（1）
∵f(x)=ax2+bx+1的图象关于直线x＝1对称，
∴−b
=1⇒b=−2a.
2a
又y=f(x)+2x=ax2+(b+2)x+1为偶函数，∴b=−2，a=1.
∴f(x)=x2−2x+1=(x−1)2.
（2）
设ℎ(x)=f(x)+g(x)=(x−1)2+1−2x，∵ℎ(0)=1>0，ℎ(1)=−1<0，∴ℎ(0)·ℎ(1)<0. 又f(x)=(x−1)2，g(x)=1−2x在区间[0,1]上均单调递减，
∴ℎ(x)在区间[0,1]上单调递减，
∴ℎ(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.
∴方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根.
（3）
由题可知f(x)=(x−1)2≥0，g(x)=1−2x<1，
若存在实数m，使得f(m)=g(n)，则g(n)∈[0,1)，
即1−2n≥0，解得n≤0.
∴n的取值范围是(−∞,0].。