2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷(解析版)

2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一.选择题（将正确选项填在相应的位置上，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．2a﹣3•a4=2a﹣12B．（﹣3a2）3=﹣9a6
C．a2÷a×=a2D．a•a3+a2•a2=2a4
3．（3分）由5个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图是（）
A．B． C．D．
4．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
5．（3分）一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是（）
A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．2，4
6．（3分）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（）
A．35 B．45 C．55 D．65
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（）
A．3 B．6 C．4 D．2
8．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）
A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
9．（3分）将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（）
A．（0，3）或（﹣2，3）B．（﹣3，0）或（1，0）C．（3，3）或（﹣1，3）D．（﹣3，3）或（1，3）
10．（3分）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（3分）如图，直线y=kx﹣3（k≠0）与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线
y=﹣（x＜0）交于点A（m，1），则AB的长是（）
A．2 B． C．2 D．
12．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二.填空题（将正确的答案填在相应的横线上，每小题3分，满分24分）13．（3分）从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时，我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800用科学记数法表示为
14．（3分）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是
15．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是．
16．（3分）一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n个数是
17．（3分）小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40元，这双鞋的实际售价为元．
18．（3分）用一个圆心角为240°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为
19．（3分）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为．
20．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是（只填序号）
三.解答题（满分60分）
21．（4分）先化简，再求值：•﹣，其中x=2．
22．（4分）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．23．（6分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y
轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为．（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，）
24．（6分）在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．
25．（6分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
26．（8分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为米/分，点M的坐标为；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
27．（8分）在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN ⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB 于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=．
28．（9分）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：
（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．29．（9分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD 的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k=；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（将正确选项填在相应的位置上，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，
正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．2a﹣3•a4=2a﹣12B．（﹣3a2）3=﹣9a6
C．a2÷a×=a2D．a•a3+a2•a2=2a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a﹣3•a4=2a，故此选项错误；
B、（﹣3a2）3=﹣27a6，故此选项错误；
C、a2÷a×=1，故此选项错误；
D、a•a3+a2•a2=2a4，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）由5个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图是（）
A．B． C．D．
【分析】结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2层，其余1层，由此即可解决问题；
【解答】解：结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2层，其余1层，
故选：A．
【点评】本题要分别对最多和最少两种情况进行讨论，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”来分析出小长方体的个数．
4．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3
【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围．
【解答】解：在函数y=中，x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
故自变量x的取值范围是：x≥﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．（3分）一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数
分别是（）
A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．2，4
【分析】根据一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，可以求得x的值，从而可以将这组数据按照从小到大排列起来，从而可以求得这组数据的众数和中位数．【解答】解：∵一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，
∴（4+2+x+3+9）÷5=4，
解得，x=2，
∴这组数据按照从小到大排列是：2，2，3，4，9，
∴这组数据的众数是2，中位数是3，
故选：C．
【点评】本题考查众数、中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．
6．（3分）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（）
A．35 B．45 C．55 D．65
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可求出x、y的值，再利用阴影部分的面积=大矩形的面积﹣5×小矩形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小矩形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴S
=15×12﹣5xy=45．
阴影
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（）
A．3 B．6 C．4 D．2
【分析】连接OB，OC．作OD⊥BC于D，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可得∠BOC=2∠A，根据等腰三角形的性质，可得CD=，∠COD=∠A，根据锐角三角函数可得圆的半径．
【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D
∵OB=OC，OD⊥BC
∴CD=BC，∠COD=∠BOC
又∵∠BOC=2∠A，BC=2
∴∠COD=∠A，CD=
∵sin∠BAC=
∴sin∠COD=
∴OC=3
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角函数的定义，正确作出辅助线是关键．
8．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，
﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）
A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
【分析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2）
则OB=，且OB与x轴、y轴夹角为45°
当点B绕原点逆时针转动75°时，
OB1与x轴正向夹角为30°
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；
同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，
OB1与y轴负半轴夹角为30°，
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；
故选：C．
【点评】本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．
9．（3分）将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（）
A．（0，3）或（﹣2，3）B．（﹣3，0）或（1，0）C．（3，3）或（﹣1，3）D．（﹣3，3）或（1，3）
【分析】先把y=x2+2x+3向下平移得到y=x2+2x，再求其与y=3的交点即可．【解答】解：将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为
y=x2+2x
当该抛物线与直线y=3相交时，
x2+2x=3
解得：x1=﹣3，x2=1
则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）
故选：D．
【点评】本题为二次函数图象问题，考查了二次函数图象平移以及函数图象求交点问题，解答时需要注意求函数图象平移后解析式的解题技巧．
10．（3分）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】设CD=x，则AE=x﹣1，证明△ADE≌△FCD，得ED=CD=x，根据勾股定理列方程可得CD的长．
【解答】解：设CD=x，则AE=x﹣1，
由折叠得：CF=BC=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，∠A=90°，AB∥CD，
∴∠AED=∠CDF，
∵∠A=∠CFD=90°，AD=CF=3，
∴△ADE≌△FCD，
∴ED=CD=x，
Rt△AED中，AE2+AD2=ED2，
（x﹣1）2+32=x2，
x=5，
∴CD=5，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．（3分）如图，直线y=kx﹣3（k≠0）与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A（m，1），则AB的长是（）
A．2 B． C．2 D．
【分析】作AD⊥y轴，由点A（m，1）在y=﹣上知A（﹣2，1），即AD=2、OD=1，由y=kx﹣3可得B（0，﹣3），即BO=3、BD=4，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，
∵点A（m，1）在y=﹣上，
∴﹣=1，
解得：m=﹣2，即A（﹣2，1），
则AD=2、OD=1，
由y=kx﹣3可得B（0，﹣3），即BO=3，
∴BD=4，
则AB===2，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键掌握函数图象上的点的坐标必定满足函数解析式及勾股定理的运用．
12．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；
②证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；
③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得HO=x，AH=，所以=，根据AR∥CD，得，则；
④证明△HAE∽△ODE，可得，等量代换可得OE2=AH•DE；
⑤分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．
【解答】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，
∴∠GKF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，
∴∠ADE=∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，
∵∠OAF+∠AED=90°，
∴∠AFO=∠AED，
∴△ADE≌△GKF，
∴FG=AE，
∵FH是AE的中垂线，
∴AE=2AO，
∴FG=2AO，
故①正确；
②∵FH是AE的中垂线，
∴AH=EH，
∴∠HAE=∠HEA，
∵AB∥CD，
∴∠HAE=∠AED，
Rt△ADE中，∵O是AE的中点，
∴OD=AE=OE，
∴∠ODE=∠AED，
∴∠HEA=∠AED=∠ODE，
当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，
但AE＞AD，即AE＞CD，
∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD与HE不平行，
故②不正确；
③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，∴AE=x，AO=，
易得△ADE∽△HOA，
∴，
∴，
∴HO=x，
Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==，∴BH=AH﹣AB=﹣2x=，
∴=，
延长CM、BA交于R，
∵RA∥CE，
∴∠ARO=∠ECO，
∵AO=EO，∠ROA=∠COE，
∴△ARO≌△ECO，
∴AR=CE，
∵AR∥CD，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，
∴，
∵AE=2OE，OD=OE，
∴OE•2OE=AH•DE，
∴2OE2=AH•DE，
故④正确；
⑤由③知：HC==x，
∵AE=2AO=OH=x，
tan∠EAD=，
∵AO=，
∴OF=x，
∵FG=AE=x，
∴OG=x﹣=x，
∴OG+BH=x+x，
∴OG+BH≠HC，
故⑤不正确；
本题正确的有；①③④，3个，
故选：B．
【点评】本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质的综合应用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点．
二.填空题（将正确的答案填在相应的横线上，每小题3分，满分24分）13．（3分）从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时，我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800用科学记数法表示为 4.38×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【解答】解：将43800用科学记数法表示为：4.38×104．
故答案为：4.38×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD等
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，
故答案为：∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是．
【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2种，所以概率是=．
故答案是．
【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
16．（3分）一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n个数是3n﹣2【分析】观察依次为1，4，7，…，的一列数，分析找出规律，据此求出第n个数．
【解答】解：通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3的等差数列，
所以第n个数为：1+（n﹣1）×3=3n﹣2，
故答案为：3n﹣2
【点评】此题考查的知识点是数字的变化类问题，解题的关键是分析一列数找出规律，按规律求解．
17．（3分）小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40元，这双鞋的实际售价为160元．
【分析】等量关系为：标价×0.8=标价﹣40，依此列出方程，解方程即可．【解答】解：设这双鞋的标价为x元，
根据题意，得0.8x=x﹣40
x=200.200﹣40=160（元）
故答案是：160．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18．（3分）用一个圆心角为240°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为2
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等
于圆锥底面圆的周长，则2πr=，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=2，
故答案为：2
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
19．（3分）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为或．
【分析】根据题意可得AC=10，由AM：MC=2：3可得AM=4，根据三角函数求EM=3，根据∠MEP=∠EAC，则tan∠PEM=tan∠DAC=，可求PM的长，即可求AP的长．
【解答】解：如图：
∵矩形ABCD
∴AB=CD=6，AD=BC=8
∴AC=10
∵AM：MC=2：3
∴AM=4，MC=6
∵tan∠DAC==
∴
∴EM=3
若P在线段AM上，
∵∠EAC=∠PEM
∴tan∠PEM=tan∠DAC=
∴
∴PM=
∴AP=AM﹣PM=
若P在线段MC上，
∵∠EAC=∠PEM
∴tan∠PEM=tan∠DAC=
∴
∴PM=
∴AP=AM+PM=
∴AP的长为
【点评】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，分类讨论思想，关键是用锐角三角函数求出EM的长．
20．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是②③④（只填序号）
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点，可得abc ＞0，则可判断①，根据图象可得x=﹣3时y＜0，代入解析式可判断②，根据抛
物线与x轴的交点个数可判断③．根据a﹣b=﹣a＞0，可判断④
【解答】解：∵抛物线开口向下
∴a＜0，
∵对称轴为x=﹣1
∴=﹣1
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴
∴c＞0
∴abc＞0故①错误
∵由图象得x=﹣3时y＜0
∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，
∵图象与x轴有两个交点
∴△=b2﹣4ac＞0 故③正确
∵a﹣b=a﹣2a=﹣a＞0
∴a＞b故④正确
故答案为②③④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；同时运用对称性并与图形相结合进行判断
三.解答题（满分60分）
21．（4分）先化简，再求值：•﹣，其中x=2．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可
【解答】解：原式=•﹣
=﹣
=﹣
=，
当x=2时，原式==．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
22．（4分）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．
【解答】证明：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解
23．（6分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为．（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，）
【分析】（1）把已知两点的坐标代入，求出b、c的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标
（2）根据B、D两点的坐标确定中点H的坐标，作出H点关于y轴的对称点点H′，连接H′D与y轴交点即为P，求出H′D即可
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小
且最小值为：=
∴答案：
【点评】此题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键．
24．（6分）在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．
【分析】分两种情形画出图形，分别求解即可解决问题；
【解答】解：如图1中，作AN⊥CF于N，DM⊥AB于M．
∵∠B=∠C=∠DMB=90°，
∴四边形BCDM是矩形，易证四边形AMDN是矩形，
∴CD=BM=1，AM=AB﹣BM=2，DM=BC=AN=4，DN=AM=2，
∵∠AMD=∠DFE，∠ADM=∠FDE，DA=DE，
∴△ADM≌△EDF，
∴DF=DM=4，
∴FN=DF﹣DN=2，
在Rt△AFN中，AF==2．
如图2中，作AN⊥FD交FD的延长线于N．
易证AN=BC=4，△ADN≌△DEF，
∴DF=AN=4，DN=CN﹣CD=2，
∴FN=6，
在Rt△AFN中，AF==2．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（6分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了60名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是36度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
【分析】（1）由虎园人数及其所占百分比可得总人数；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，根据各参观项目人数和等于总人数求得x的值，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以最喜欢植物园的学生人数占被调查人数的比例可得；
（4）用总人数乘以样本中最喜欢烈士陵园的人数所占比例．
【解答】解：（1）本次活动调查的学生人数为18÷30%=60人，
故答案为：60；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，
则x+2x=60﹣18﹣6，
解得：x=12，
即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24，
补全条形图如下：
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360°×
=36°，
故答案为：36；
（4）最喜欢烈士陵园的人数约有720×=288人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
26．（8分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为240米/分，点M的坐标为（6，1200）；（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【分析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标；
（2）利用待定系数法求MN的解析式；
（3）先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A，C，B三地在同一直线上，计算B、C之间的路程，分情况讨论：设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
①因为乙从B地到C地一共需要3小时，所以第一个时间为0＜x≤3，即乙在B、C之间时，列方程可知不符合题意；
②3＜x＜6，根据两人距C地的路程相等列方程可得结论；
③计算甲到B地时，符合条件；
④计算乙走过C地，即乙在A、C之间时，列方程，注意此时甲用了（x﹣1）分．【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：=240（米/分），（1分）
240×（11﹣1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），（2分）
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，（3分）
解得，（4分）
∴直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640；（5分）
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），
如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200﹣1020=180，
分4种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x，
x=＞3，
此种情况不符合题意；。