n 阶行列式的定义与性质

是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
1 9 13 7 × 2
2 5 1 3 ×（－ 3 ）
00 0
a
a b bb
练习：计算n阶行
b a bb
列式
D b b a b
b b ba 解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b
D a n 1b b a b
a n 1b b b a
1 b bb
1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
计算 n 阶行列式
a11 0 0
0 a22 0
0 0 ann
分析
a 11
a 21
这行列式除主对角线（即从左上角到右下角诸元 素所构成的对角线）上的元素为a11, a22 ,, ann外， 其余元素全为0。因而此行列式中有可能不为0的 项仅有 a11, a22 ,, an，n 且行序排列及列序排列都
2
= － 312
例6 计算
5222 2522 2252 2225
特征：各行（列）4个元素之和为11. （若不考虑顺序，各行（列）元素相 同）
例 7 试证
a a D a a
b ab 2a b 3a b
c abc 3a 2b c 6a 3b c
d a b c d a4 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
i1 1 i2 2
in n
a a a
n1
n2
nn
a a a （2）行列式中项 i1 j1 i2 j2
的符号为
in jn
(1) . ( i1i2in ) ( j1 j2 jn )
例如a21a32a14a43
二 n 阶行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
k
(1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 aiji anjn
( j1 j2 jn )
=右端
证毕
另一种理解：行列式中某一行（列）的所 有元素的公因子可以提到行列式符号外.
性质 3 性质 4
如果行列式中一行（列）的所 有元素全为零，则行列式为零。
如果行列式中两行（列）互换， 那么行列式只改变一个符号,即
作业：3，4（1，2），5，6（1，3，6）.
a11 a1k
0
例
5
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
nn
注意：（1）在行列式定义中规定n个元素相乘
时，元素的行序数按标准排列，由列序排列的
奇偶性决定各项的正负号，可改为将元素的列
序按标准排列，由行序排列的奇偶性决定每项
的正负号。即
a a a
11
12
1n
a 21
a 22
a2 n (1) a a ...a . i1i2 ...in
( i1i2 ...in )
3 1 5 5
×（－ 2)
2 8 7 10
1 9 13 7
0 13 25 17=源自02634 26
×
2 ×2
0 26 33 24
1 9 13 7
= 0 13 25 17
0 0 16 8
0 0 17 10
1 9 13 7 0 13 25 17
= 0 0 16 8
00 03 2
= 1 (13)16 3
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
证明
记 D det aij 的转置行列式
b11 b12 b1n
DT
b21 b22 b2n
,
bn1 bn2 bnn
即 bij aij i, j 1,2,, n, 按定义
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a a a
11
12
1n
0
a 22
a 2n
a a a .
11 22
nn
0 0 a nn
此行列式称为上三角行列式.
例3
计算 0
0
a 1n
0 a 0
2 n1
.
a0 0 n1
例 4 计算 0 0 a 1n
0 a a
2 n1
2n
.
a a a
n1
nn1
证明
在 D 中从第 4 行开始，后行减前行，即 自下而上的依次从每一行中减去它上面 的一行。
左端
ab
c
d
a ab abc abcd
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
×（－ 1) ×（－ 1) ×（－ 1)
ab c
d
0 a ab abc
0 a 2a b 3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
×（－ 1) ×（－ 1)
ab c
d
0 a ab abc
0 0 a 2a b
0 0 a 3a b
×（－ 1)
ab c
d
0
a
ab
a b c a4 ＝右端
0 0 a 2a b
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义
左端
(1) ( j1 j2 jn ) a1 aj1 2 j2 (kaiji )anjn
( j1 j2 jn )
DT
1 tb1 p1b2 p2 bnpn
1 t a p11a p2 2 a pnn .
又因为行列式 D 可表示为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn .
故 D DT .
证毕
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。
性质 2 如果用同一个数 k 乘行列式中一行（列） 的各元素，等于用 k 乘这个行列式，即
下列规定：当 j1 j2 jn 为偶排列时取正号，当 j1 j2 jn
为奇排列时取负号，即有
a11 a12 a1n
Dn
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1 a a a j1 j2 jn
1 j1 2 j2
njn
( j1 j2 jn )
简单记法：Dn=|aij|n.
例1
aiji
a
jj j
anjn
( j1 j2 jn )
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
a
jj j
aiji
anjn
( j1 j2 jn )
=右端
证毕
性质 5
证明
行列式若有两行（两列）相同，行列式为 0 。
即
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain 0
ai1 ai2 ain
a
a a
11
12
1n
b c
i1
i1
b c
i2
i2
b c
in
in
a
a a
n1
n2
nn
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
bi1 bi 2 bin
ci1 ci 2 cin
an1 an2 ann
an1 an2 ann
证明 由行列式定义得出
左端
(1) ( j1 ji jn ) a1 j1 (biji ciji )anjn
1 b ba 1b bb
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
定义：在行列式D=|aij|n中，若aij = aji (i, j=1,2,…n), 称为对称行列式. 若aij = aji (i, j=1,2,…n), 称为反对称行列式. 例8 证明奇数阶反对称行列式等于零.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai 2 ain
ai1 ai 2 ain
a j1 kai1 a j2 kai 2 a jn kain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
an1 an2 ann
证明 利用性质 7 ，可将左端拆成两个行列式的 和，再利用性质 6 便可得到右端即。
左端＝
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai 2 ain
ai1 ai 2 ain
a j1 a j2 a jn
kai1 kai2 kain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1 ai 2 ain 0
a j1 a j2 a jn
( j1 j2 jn )
(1)
(
a j1 ji jn ) 1 j1
biji
anjn
( j1 j2 jn )
(1) ( j1 ji jn ) a1 j1 ciji anjn
( j1 j2 jn )
=右端
证毕
性质 8 如果把行列式中某行（列）的各元素同乘 一数 k 后，加到另一行（列）的各对应元 素上，那么这行列式的值不变，即当 i 不 等于 j 时,有
§2 n 阶行列式的定义与性质
一 n 阶行列式的定义
定义
由 n2 个元素排成的n 行、n列,以
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann 记之，称为n阶行列式。
它代表一个数值。此数值是取自上式中不同行不同列
的
字
n1,个2,元,素n 的乘某积一a1j个1a2排j2 列a，njn的故代共数有和n!，项其。每中项j1 j前2 的符jn 是号数按
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质 7 如果行列式中第 i 行的各元素都可以写成两
项之和，即 aij=bij+ cij, j=1,2,···n
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .