专题5 立体几何 -数学(文科)-新课标

×14πr2×5≈3290(立方尺)，3290÷1.62≈22(斛)．
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
——知识必备 ——
空间几何体
三 视 空 图 间 几 何 体直 观 图
正视 图 侧视 图 俯视 图
画法
面积 关系
光线从几何体的前面向后面正 投影得到的投影图
光线从几何体的左面向右面正 投影得到的投影图
核
心
知
识 聚
第12讲 空间几何体的三视
焦
图﹑表面积及体积
考
点
考
向
探
究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
核
1．[2016·天津卷改编] 将一个长方体沿相邻三个面的
心 对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如
知 识 聚
图 12-1 所示，则该几何体的侧视图为________．测试要点： 空间几何体的三视图
考 点 考 向 探 究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
[小结] 识别三视图应从以下几方面考虑：(1)从线型看三视 图中的线是线段还是含有曲线，可确定此几何体是简单多面 体还是旋转体；(2)分部分，想整体，确定是简单几何体还 是组合体；(3)对比一些熟悉的三视图模型进行分析，如正 方体、圆锥、三棱锥等三视图模型．
故表面积 S＝2×(32＋3× 32＋62＋3×6)＝54＋18 5.
(2)由正视图与侧视图知四棱锥是底面边长和高均为 1 的正
四棱锥，由俯视图知，半球的直径为 2，∴该几何体的体积
考
点 考
为13×1×1×1＋12×43×π
223＝13＋
2 6 π.
向
探
究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
焦
图 12-1
图 12-2
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
核
心
[答案] ②
知
识
聚 焦
[解析] 由正视图和俯视图可得该几何体如图所示，故填②.
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
2．[2016·四川卷] 已知某三棱锥的三视图如图 12-3 所示， 核 则该三棱锥的体积是________．测试要点：据三视图求几何体 心 的体积
(2)由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图，四个面
考 点
的面积分别为 8，6，6 2，10，显然面积的最大值为 10.
考
向
探
究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积 ► 考点二 几何体的表面积与体积
考
点
考 向
题型：选择、填空、解答 分值：5－6 分
探
难度：中等
热点：几何体的表面积与体积
点 考 向 探 究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
变式题 (1)某组合体的三视图如图 12-15 所示，则该组合体的
表面积为( )
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A．(6＋2 2)π＋12 B．8(π＋1)
C．4(2π＋1)
D．(12＋2 2)π
考
点
考
向
探 究
(2)某几何体的三视图如图 12-16 所示，则该几何体的外接球表
光线从几何体的上面向下面正 投影得到的投影图
正视图与侧视图高平齐； 侧视图与俯视图宽相等； 俯视图与正视图长对正
使用斜二测画法画出空间几何体的底，再画出空间几何体 的其他部分
水平放置的平面图形的面积为 S，使用斜二测画法画出的直 观图的面积为 S′，则 S＝2 2S′
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
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专题五 立体几何
第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积 第13讲 点、线、面之间的位置关系
知 体与球的位置关系及球的表面积的计算
识
聚
焦 [答案] 12π
[解析] 因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长 为 2 3，所以正方体的外接球的半径为 3，所以球的表面
积为 4π·( 3)2＝12π.
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
8．[2015·全国卷Ⅰ改编] 《九章算术》是我国古代内容
(2)由三视图可知，该几何体为三棱锥 P -ABC，PA⊥平面 ABC，
考 点 考 向 探 究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
(2)某四棱锥的三视图如图 12-9 所示，则该四棱锥最长棱的 棱长为________．
考 点 考 向 探 究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
[答案] (1)A (2)3
[解析] (1)由几何体的直观图可知，其侧视图为 A 选项． (2)据三视图可知，该四棱锥如图所示，且有 PA⊥平面 ABCD. 由于 AC＝ 5，所以最长棱的棱长为 PC＝ 22＋（ 5）2＝ 3.
核 极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内
心 角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：
知 识
“在屋内墙角处堆放米(如图 12-6，米堆为一个圆锥的四分之
聚 一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体 焦 积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方
考 点 考 向 探 究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
变式题 (1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图 12-10 所示，则该几何体的侧视图为( )
考 点 考 向 探 究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
(2)某四面体的三视图如图 12-12 所示，则该四面体四个面 的面积中最大的是( ) A．8 B．6 2 C．10 D．8 2
究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
例 2 (1)[2016·全国卷Ⅲ] 如图 12-13，网格纸上小正方 形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的表面积为( ) A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81
考
点
考
图 12-13
图 12-14
向 探
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积 ► 考点一 三视图与直观图
考
点
考
向
题型：选择、填空 分值：5 分 难度：基础
探 究
热点：三视图
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
例 1 (1)已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平 面截去一个三棱台后的几何体的正视图和俯视图如图 12-7 所示，则它的侧视图是( )
尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有________斛．测试
要点：考查实际问题的理解及圆锥体积的计算
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
核
心 [答案] 22
知
识 聚
[解析] 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积．设圆锥底
焦
面半径为 r，则14×2πr＝8，得 r＝1π6，所以米堆的体积为13
为12，三棱锥 A1­PMN 的底面积是12×12×1，高为12，故三棱
锥 P­A1MN 的体积为13×12×14＝214.
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
7．[2016·全国卷Ⅱ改编] 体积为 8 的正方体的顶点都在
核 心
同一球面上，则该球的表面积为________．测试要点：几何
V＝πr2h
体积
（续表）
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
表面积
（续表）
体积
空 间 几 何 体
表 面 积 和 体 积
圆 锥
S 表＝πr2＋πrl
表面 积即
空间
几何
体暴
圆 台
S 表＝π（r′2＋r2 ＋r′l＋rl）
露在 外的 所有
面的
面积
之和 球 S 球＝4πR2
V＝31πr2h
V＝31π(r′2＋r′r ＋r2)h V 球＝34πR3
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
核
5．[2015·江苏卷] 现有橡皮泥制作的底面半径为 5、
心 高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个．若
知 将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相
识
聚 同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为
焦 ________．测试要点：圆锥与圆柱的计算
考 点 考 向 探 究
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
[答案] (1)D (2)C
[解析] (1)被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方
体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)
的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影
是一条左下至右上的虚线，对照各图，只有 D 符合．
(2)[2016·山东卷] 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三
究 视图如图 12-14 所示，则该几何体的体积为( )
A.13＋23π B.13＋ 32π C.13＋ 62π D．1＋ 62π
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
[答案] (1)B (2)C
[解析] (1)由三视图可知该几何体为一个平行六面体，其 上、下底面是边长为 3 的正方形，高为 6，
心 知
位：cm) ，则该几何体的表面积是 ________cm2 ，体积 是
识 ________cm3.测试要点：组合体的体积与表面积的计算
聚
焦
图 12-5
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
核 心
知 [答案] 80 40
识 聚
焦 [解析] 该几何体是由一个长方体和一个正方体叠加而成 的，长方体的表面积是 4×4×2＋4×2×4＝64(cm2)，正方 体的表面积是 2×2×6＝24(cm2)．而长方体和正方体有一 部分是重叠的，故该几何体的表面积是 64＋24－2×2×2 ＝80(cm2)，体积是 4×4×2＋23＝40(cm3)．
知 识 聚 焦
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
核
[答案] 3
心
知
识 聚
[解析] 根据三视图可得，此四棱锥是底面是正方形，有一条
焦 侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，所以最长棱的棱长为
PC＝ 12＋12＋12＝ 3.
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
核
4．[2016·浙江卷] 某几何体的三视图如图 12-5 所示(单
[答案] 7
[解析] 设新的底面半径为 r，则13π×52×4＋π×22×8＝13πr2×4 ＋πr2×8 ，即238πr2＝1030π＋32π，解得 r＝ 7.
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
6．[2015·四川卷] 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC＝
核 心
90°，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是
表面积
棱 柱
S 表＝S 侧＋2S 底
表面 积即
空 间 几 何 体
表 面 积 和 体 积
棱 锥
棱 台
S 表＝S 侧＋S 底
S 表＝S 侧＋S 上底 ＋S 下底
空间 几何 体暴 露在 外的
圆 S 表＝2πr2＋ 所有
柱
2πrh
面的
面积
之和
V＝S 底·h 高 V＝31S 底·h 高 V＝31(S′＋
S′S＋S)h
面积为( )
A．4 3π B．12π C．24π D．48π
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积
[答案] (1)A (2)B
[解析] (1)由三视图可知，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆
锥
，
故
其
表面积
为
12×π×22
＋
1 2
×2π×2×2
＋
1 2×π×2×2
2＋4×2＋12
×4×2＝2π＋4π＋2 2π＋8＋4＝(6＋2 2)π＋12.
知 直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是棱
识 聚
AB，BC，B1C1 的中点，则三棱锥 P-A1MN 的体积是________．测
焦 试要点：几何体的体积
[答案]
1 24
[解析] 由题意知，三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直
角三角形，棱柱的高为 1 且该棱柱为直三棱柱，其底面积
知 识 聚 焦
图 12-3
[答案]
3 3
[解析] 由题可知，该三棱锥的底面是底边长为 2 3，高为 1 的
等腰三角形，故该三棱锥的体积为13×12×2
3×1×1＝
3 3.
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第12讲 空间几何体的三视图﹑表面积及体积 3．[2015·北京卷改编] 某四棱锥的三视图如图 12-4 所
核 示，该四棱锥最长棱的棱长为________．测试要点：据三视 心 图考查棱长的计算
[小结] (1)据三视图求表面积、体积时，解题的关键 是对所给三视图进行分析，得到几何体的直观图；(2)多面 体的表面积是各个面的面积之和，求组合体的表面积时要 注意重合部分的面积；(3)求规则几何体的体积时，只需确 定底面与相应的高，而求一些不规则几何体的体积时，往 考 往需采用分割或补形思想，转化求解．