第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)
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___[_1_,2_)_∪__(_4_,5_]___.
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章 函数、导数及其应用
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章 函数、导数及其应用
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
第二章 函数、导数及其应用
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题组二 走进教材 2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )
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A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，
②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的 y值，因此是函数图象．
第二章 函数、导数及其应用
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1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射 就是函数；
(2)映射的两个特征： 第一，在A中取元素的任意性； 第二，在B中对应元素的唯一性； (3)映射问题允许多对一，但不允许一对多． 2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
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第二章 函数、导数及其应用
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函数解析式的求法 (1)凑配法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后 以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，即令 t＝g(x)，反解出 x， 代入原式可得 f(t)，改写即得 f(x)．此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于 f(x)与 f(1x)或 f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造 出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)． (5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式．
第二章 函数、导数及其应用
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考向2 求函数的解析式——师生共研
例 2 已知 f(x)满足下列条件，分别求 f(x)的解析式． (1)已知 f( x－1)＝x－2 x，求 f(x)； (2)函数 f(x)满足方程 2f(x)＋f(1x)＝2x，x∈R 且 x≠0.求 f(x)； (3)已知 f(x)是一次函数且 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式； (4)已知 f(0)＝1，对任意的实数 x，y，都有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求 f(x)的 解析式．
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6．(2015·陕西，5 分)设 f(x)＝12－ x，xx<，0，x≥0， 则 f[f(－2)]＝( C )
A．－1
B．14
C．12
D．32
[解析] ∵f(－2)＝2－2＝14，
∴f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝12，故选 C．
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题组一 走出误区 1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ) A．函数 f(x)的图象与直线 x＝1 的交点只有 1 个 B．已知 f(x)＝m(x∈R)，则 f(m3)等于 m3 C．y＝ln x2 与 y＝2ln x 表示同一函数 D．f(x)＝xx2＋＋31，，x－>11或≤xx<≤－11，， 则 f(－x)＝x－2＋x＋1，3，－x1>≤1或x≤x<1－，1
对应关系 f：A→B
名称 记法
如果按照某种确定的对应关系f任，使意对于 如果按某一个确定的对应关任系意f，使对于集合
集合A中的________一个数x，在集合B中 有________的数f(x)和它对应
A__中__的_______的__元__素_一y与个之元对素应x唯在集一合B中有
唯一
称对应_______f_：__A__→__为B 从集合A到集合 称对应______f_：___A_→___B为从集合A到集合B的
∴f(2)＝15lg 2，故选 D．
解法二：令 x5＝2，则 x＝215，∴f(2)＝lg 215＝15lg 2.故选 D．
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4 ． ( 必 修 1P25BT1 改 编 ) 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 那 么 f(x) 的 定 义 域 是 ____[－__3_,_0_]∪__[_2_,_3_] ___；值域是_____[_1_,5_]___；其中只与x的一个值对应的y值的范围是
B的一个函数
一个映射
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
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2.函数 (1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． (2)函数的三要素：_定__义__域__、__值__域__、__对__应__法__则_____. (3)函数的表示法：__解__析__法__、__图__象__法__、__列__表__法____. (4)两个函数只有当__定__义__域__和__对__应__法__则____都分别相同时，这两个函数才相同． 知识点二 分段函数及应用 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关 系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
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知识梳理 • 双基自测
第二章 函数、导数及其应用
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知识点一 函数的概念及表示 1．函数与映射的概念
两集合A，B
函数
设A，B是两个___非__空___数___集_
映射
设A，B是两个__非___空___集__合__
∴f(x)＝x2－1(x≥－1)． 解法二：由 f( x－1)＝x－2 x＝( x－1)2－1，∵ x≥0，∴ x－1≥－1，∴f(x) ＝x2－1(x≥－1)．
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(2)因为 2f(x)＋f(1x)＝2x ，① 将 x 换成1x，则1x换成 x， 得 2f(1x)＋f(x)＝2x.② 由①②消去 f(1x)，得 3f(x)＝4x－2x. 所以 f(x)＝43x－32x(x∈R 且 x≠0)．
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(3)(待定系数法)因为 f(x)是一次函数，可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即 ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 因此应有a5＝a＋2，b＝17， 解得ab＝＝27，. 故 f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋7. (4)令 x＝0，得 f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y， ∴f(y)＝y2＋y＋1，即 f(x)＝x2＋x＋1.
(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ ①f1：y＝xx；f2：y＝1；f3：y＝x0. ②f1：y＝ x2；f2：y＝( x)2；f3：y＝x－，xx，>0x<，0.
1，x≤1， ③f1：y＝2，1<x<2，
3，x≥2.
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〔变式训练1〕 ((12))已已知知ff((cxo)是sx)二＝次si函n2x数，，则且f(xf()0＝)＝__01_，－__fx_(2x_，＋__x1_∈)_＝_[－_f(_x1_),_＋1_]_x＋__1. ，则f(x)＝_12_x_2＋__12_x_(_x_∈__R_).
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考点突破 • 互动探究ຫໍສະໝຸດ 第二章 函数、导数及其应用
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考点一 函数的概念及表示 考向1 函数与映射的概念——自主练透
例 1 (1)下列对应是否是从集合 A 到 B 的映射，能否构成函数？ ①A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. ②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x. ③A＝N，B＝Q，f：x→y＝x12. ④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分数相 对应．
第二章 函数、导数及其应用
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3．(必修 1P24T4 改编)已知 f(x5)＝lg x，则 f(2)等于( D )
A．lg 2
B．lg 32
C．lg
1 32
D．15lg 2
[解析] 解法一：由题意知 x>0，令 t＝x5，则 t>0，x＝t15，
∴f(t)＝lg t15＝15lg t，即 f(x)＝15lg x(x>0)，
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第二章
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函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
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第一讲 函数及其表示
第二章 函数、导数及其应用
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1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
第二章 函数、导数及其应用
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(2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}， 那么下面的 4 个图形中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( BC )
第二章 函数、导数及其应用
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[分析] (1)利用换元法，即设 t＝ x－1 求解； (2)利用解方程组法，将 x 换成1x求解； (3)已知函数类型，可用待定系数法； (4)由于变量较多，可用赋值法求解．
[解析] (1)解法一：设 x－1＝t(t≥－1)，∴ x＝t＋1，x＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1， ∴f(t)＝t2＋2t＋1－2(t＋1)＝t2－1，
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
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[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．
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题组二 走进教材 2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )
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A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，
②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的 y值，因此是函数图象．
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1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射 就是函数；
(2)映射的两个特征： 第一，在A中取元素的任意性； 第二，在B中对应元素的唯一性； (3)映射问题允许多对一，但不允许一对多． 2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
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函数解析式的求法 (1)凑配法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后 以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，即令 t＝g(x)，反解出 x， 代入原式可得 f(t)，改写即得 f(x)．此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于 f(x)与 f(1x)或 f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造 出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)． (5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式．
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考向2 求函数的解析式——师生共研
例 2 已知 f(x)满足下列条件，分别求 f(x)的解析式． (1)已知 f( x－1)＝x－2 x，求 f(x)； (2)函数 f(x)满足方程 2f(x)＋f(1x)＝2x，x∈R 且 x≠0.求 f(x)； (3)已知 f(x)是一次函数且 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式； (4)已知 f(0)＝1，对任意的实数 x，y，都有 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求 f(x)的 解析式．
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6．(2015·陕西，5 分)设 f(x)＝12－ x，xx<，0，x≥0， 则 f[f(－2)]＝( C )
A．－1
B．14
C．12
D．32
[解析] ∵f(－2)＝2－2＝14，
∴f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝12，故选 C．
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题组一 走出误区 1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ) A．函数 f(x)的图象与直线 x＝1 的交点只有 1 个 B．已知 f(x)＝m(x∈R)，则 f(m3)等于 m3 C．y＝ln x2 与 y＝2ln x 表示同一函数 D．f(x)＝xx2＋＋31，，x－>11或≤xx<≤－11，， 则 f(－x)＝x－2＋x＋1，3，－x1>≤1或x≤x<1－，1
对应关系 f：A→B
名称 记法
如果按照某种确定的对应关系f任，使意对于 如果按某一个确定的对应关任系意f，使对于集合
集合A中的________一个数x，在集合B中 有________的数f(x)和它对应
A__中__的_______的__元__素_一y与个之元对素应x唯在集一合B中有
唯一
称对应_______f_：__A__→__为B 从集合A到集合 称对应______f_：___A_→___B为从集合A到集合B的
∴f(2)＝15lg 2，故选 D．
解法二：令 x5＝2，则 x＝215，∴f(2)＝lg 215＝15lg 2.故选 D．
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4 ． ( 必 修 1P25BT1 改 编 ) 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 那 么 f(x) 的 定 义 域 是 ____[－__3_,_0_]∪__[_2_,_3_] ___；值域是_____[_1_,5_]___；其中只与x的一个值对应的y值的范围是
B的一个函数
一个映射
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
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2.函数 (1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． (2)函数的三要素：_定__义__域__、__值__域__、__对__应__法__则_____. (3)函数的表示法：__解__析__法__、__图__象__法__、__列__表__法____. (4)两个函数只有当__定__义__域__和__对__应__法__则____都分别相同时，这两个函数才相同． 知识点二 分段函数及应用 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关 系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
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知识点一 函数的概念及表示 1．函数与映射的概念
两集合A，B
函数
设A，B是两个___非__空___数___集_
映射
设A，B是两个__非___空___集__合__
∴f(x)＝x2－1(x≥－1)． 解法二：由 f( x－1)＝x－2 x＝( x－1)2－1，∵ x≥0，∴ x－1≥－1，∴f(x) ＝x2－1(x≥－1)．
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(2)因为 2f(x)＋f(1x)＝2x ，① 将 x 换成1x，则1x换成 x， 得 2f(1x)＋f(x)＝2x.② 由①②消去 f(1x)，得 3f(x)＝4x－2x. 所以 f(x)＝43x－32x(x∈R 且 x≠0)．
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(3)(待定系数法)因为 f(x)是一次函数，可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即 ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 因此应有a5＝a＋2，b＝17， 解得ab＝＝27，. 故 f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋7. (4)令 x＝0，得 f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y， ∴f(y)＝y2＋y＋1，即 f(x)＝x2＋x＋1.
(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ ①f1：y＝xx；f2：y＝1；f3：y＝x0. ②f1：y＝ x2；f2：y＝( x)2；f3：y＝x－，xx，>0x<，0.
1，x≤1， ③f1：y＝2，1<x<2，
3，x≥2.
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考点一 函数的概念及表示 考向1 函数与映射的概念——自主练透
例 1 (1)下列对应是否是从集合 A 到 B 的映射，能否构成函数？ ①A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. ②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x. ③A＝N，B＝Q，f：x→y＝x12. ④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分数相 对应．
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3．(必修 1P24T4 改编)已知 f(x5)＝lg x，则 f(2)等于( D )
A．lg 2
B．lg 32
C．lg
1 32
D．15lg 2
[解析] 解法一：由题意知 x>0，令 t＝x5，则 t>0，x＝t15，
∴f(t)＝lg t15＝15lg t，即 f(x)＝15lg x(x>0)，
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(2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}， 那么下面的 4 个图形中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( BC )
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[分析] (1)利用换元法，即设 t＝ x－1 求解； (2)利用解方程组法，将 x 换成1x求解； (3)已知函数类型，可用待定系数法； (4)由于变量较多，可用赋值法求解．
[解析] (1)解法一：设 x－1＝t(t≥－1)，∴ x＝t＋1，x＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1， ∴f(t)＝t2＋2t＋1－2(t＋1)＝t2－1，