上海高三数学复习-函数复习

函数复习
1、概念：（一一对应，图像识别）
2、定义域（复合函数等）
3、函数的和，积（注意定义域求法），
什么是相等的函数？
4、奇偶性
5、对称性
6、单调性
7、值域（最值）
8、周期性
9、反函数
10、特殊函数：二次函数、幂函数、指
数函数、对数函数、耐克函数11、图像
例1、判断下列各组函数是否表示同一函数?
2
332
22
2
33
2log )(,log 2)(612)(,12)(5)(,1)(4)(,)0(,)0(,)(3)0(,1)
0(,1)(,)(2)(,)(1x
x g x x f t t t g x x x f x x x g x x x f x
x g x x x x x f x x x g x x
x f x
x g x x f ==--=--=+=+==⎩⎨⎧<-≥=⎩⎨
⎧<-≥====、、、、、、
x
x x x x x f x x y x x
x y x x x x f x
x x y +-+
+-=
-+=---=
--=
--=
22
2
2
)
1(6
51)(525sin 41133)12lg(2)(243231、、、、、
[
]
[][][]的定义域
求，定义域为、已知的定义域求函数，的定义域为
、已知函数的定义域
，求定义域为、的范围
，求实数的定义域为、已知)()3(4,0)(9)12(1,0)12(8)1(8,3)(71)1()1(a lg y 62
2
2
2x f x f y x f x f y x f y x f x f a R x a x ++=-=+=-+++-=
1、已知
的表达式求)(),(,11
)11(22x f x f x
x f -=+
2、已知12)(,21)(--=
--=x x x g x x x f ，求
f(x).g(x)的表达式
3、f(x)=ax 2
+bx+c,若f(0)=0,且
f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的表达式
4、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
f(x)+g(x)=11
-x , 求f(x),g(x)的
表达式
5、已知f(x)+2f(-x)=3x-2, 求f(x)的
解析式 6、已知函数
x x x g x x x x x f -+=
⎩⎨⎧<-≥-=11)(,)
0(,1)0(,1)(，
求函数f(x)与g(x)的积的解析式 7、已知n ∈N ，且[]⎩
⎨⎧<+≥-=10,)5(10
,3)(n n f f n n n f ，求f(5)的值
8、已知函数⎩
⎨
⎧>-≤+=0,20,12x x x x y ，求使函数值为10的x 的值 例4、求值域或最值 1、直接法(配方等) ①
22
++-=x x y
②⎪⎭⎫⎢⎣
⎡
-∈++=21,1,12
x x x y ③
x x y -+-=53
2、反函数法
①)13(,2
415)(-≤≤-+-=x x x x f ②1cos 1cos )(-+=x x x f
3、单调性 ①
(
]2
,1,12)(∈-=x x x f
②[)1,4,521--∈--=x x x y
③[]3,1,1
2∈-=x x
x y 4、换元法
①x x y 21-+=
②⎥⎦⎤
⎝⎛∈+=ππ65,3,sin 2cos 2
x x x y
5、“△”法
1322)(2
2
+-+-=x x x x x f
6、基本不等式
①
4
52
2
++=
x x y
②⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈+=4,41,1x x x y
③)1(,)
1(613842
->+++=x x x x y 7、图像法
①
11)(-+=
x x x f
②
)
13(,2
415)(-≤≤-+-=x x x x f ③31--+=x x y
8、其他
已知x,y ∈R 且满足3x 2+2y 2
=9x,求
u=x 2+y 2
的最值
函数奇偶性：
1、定义域关于原点对称
2、偶：f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，
图像关于y轴对称
奇：f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，图像关于原点对称
3、在R上的奇函数有f(0)=0
4、奇函数的反函数也是奇函数
5、在R上任意f(x)都可以唯一表示成
一个奇函数与一个偶函数之和
6、奇函数在原点对称区间上单调性相
同，偶函数相反
7、在公共定义域内：
奇+奇=奇
奇×奇=偶
偶+偶=偶
偶×偶=偶
偶×奇=奇
例1、判断下列函数的奇偶性 ①
2
)(x
x f =
②3232)(++-=x x x f ③11)(-+-=x x x f ④2
2
11)(x x x f -+-= ⑤
)1lg()(2++=x x x f
⑥⎩
⎨⎧>+<-=0),1(0
),1()(x x x x x x x f ⑦334)(2
-+-=x x x f
⑧x x f arccos 2
)(-=
π
⑨)21121()(+-=x x x f
例2、已知函数f(x)是R 上的奇函数，
且当x>0时，f(x)=x 2
-x+1,求f(x)在R 上的表达式 例3、已知奇函数f(x)定义域为[-3,3]，
且在[-3,0]上单调递增，求满足f(2m-1)+f(m2-2)<0的实数的取值范围。

例4、函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足对于任意x1,x2∈D，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
(1)求f(1)的值
(2)判断f(x)奇偶性并证明
(3)f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在（0,+∞）上是单调递增，求x的取值范围
函数的单调性与最值
1、判断单调性的方法
2、单调性的证明（定义法）
3、复合函数的单调性
例1、下列函数式单调函数吗？写出单调区间：
1、3x y =
2、x y -=
3、2+=x y
4、x x y 4
+=
5、),2[,4
+∞∈+=x x x y
6、),0(,4
+∞∈+=x x x y
7、]3,31[,4∈+=x x x y
8、x x y 4-=
9、x x y 4+= ，可加条件
10、x a x y +=
11、x x y -+=11 ，变式
12、x x y -+=112
log 13、]2,2(,322-∈+-=x x x y
14、342+-=x x y ，变式
15、341
2+-=x x y ，变式
16、)23(21
2log +-=x x y ，变式
17、x x •y +-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231，变式
18、x x y -+-=21
19、x x y y 21
21log ,log ==
20、222+-=x x y
21、232+-=x x y
22、x y 3=，变式
例2、f(x)=x 2-2ax+a 2+1在（-∞，1）上单调递减，求实数a 的取值。

例3、已知函数y=kx 2-4x-8在区间[4,16]上单调递减，求实数k 的取值范围。

例4、判断),0(1
)(2≠-=a x ax x f 在区间（-1,1）上的单调性。

例5、若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在（-∞，0]上是单调递减的，且f(2)=0,则求使f(x)<0的x 的取值范围。

例6、已知偶函数f(x)在[0,2]内单调递减，若a=f(-1),b=)
(log 4121f ,c=)21(lg f ,
比较a,b,c 的大小。

例7、设a>0,f(x)=x x
e a a e +是R 上的偶函数，求a 的值并证明：f(x)在（0，+∞）上是单调递增的。

例8、]2,0(,2)(2∈+-=x x a x x x f ，其中常数a>0
1、当a=4时，证明f(x)在（0,2]上是减函数。

2、求函数f(x)最小值。

3、若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，求实数a 的范围。

例9、已知f(x)是定义在（-1,1）上的奇函数，当且仅当0<x<1时，f(x)<0，
且对任意x,y ∈（-1,1）都有)1()()(xy
y x f y f x f ++=+，试证明：f(x)在（-1,1）上单调递减。

例10、值域，最值问题：
1、212
++-+=x x y
2、54212+-=x x y
3、21,12122<-+-=x x x x y
4、2
1x x y -+=
5、最小值求4)5(16)3(22+-+++=x x y
6、x x y cos 2sin 2--=
7、x y )51(=
8、
)1,3[,log )23(212--∈=+-x y x x 9、x
x •y +-=223 10、f(x)=ax 2+2ax+1在[-3,2]上的为4，
求实数a 的值。

11、f(x)=-x 2+2ax+1-a 在[0,1]有最大值2，求a 的值。

12、f(x)=x 2-2x+3在[0,a]上最大值为3，最小值为2，求实数a 取值范围。

13、f(x)=ax 2+(2a-1)x+1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上有最大值3，求实数a 的值。

14、已知f(x)=x 2
-4ax+2a+6 (a ∈R)
（1）若函数值域为[0,+∞），求a 的值
（2）若函数值域为非负数，求g(a)=2-a
│a+3│的值域
函数的周期性、对称性与函数图象变换
一、函数的周期性
1、f(x+T)=f(x)
2、最小正周期
3、若f(x+a)=f(x+b),a≠b,则f(x)为周期函数，其中一个周期T=b
a-
二、函数的对称性
1、f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),则
y=f(x)关于直线x=a对称
2、f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)关于
直线2b
a+
对称
3、y=f(x)关于点（a,b）对称，则
f(a+x)+f(a-x)=2b
或f(2a-x)+f(x)=2b
4、若f(a+x)+f(b-x)=c,函数y=f(x)关于点)2,2(c b a +对称
三、函数图象的平移
上加下减，左加下减
四、对称变换
1、f(x)=f(-x):关于y 轴对称
2、f(x)=-f(x):关于x 轴对称
3、f(x)=-f(-x):关于原点对称
4、f(x)=f -1
(x):关于y=x 轴对称
五、翻转变化
1、f(x)右翻左：()x f
2、f(x)下翻上：)(x f
六、伸缩变化
1、横向
2、纵向
例题：
1、对于定义在R 上的函数f(x),有下述命题：
1）若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图像关于点A （1,0）对称；2）若函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称，则f(x)为偶函数；3）若x ∈R ，有f(x-1)=- f(x)，则2是f(x)的一个周期；4）函数f(x-1)与f(1-x)的图像关于直线x=1对称，其中正确的命题是__________
2、已知定义在R 上的函数关于点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,43
对称，且满足f(x)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-23x f ，
f(-1)=1,f(0)=-2,求f(1)+f(2)+……+f(2015)的值。

3、讨论方程k x x =+-322解得个数
4、若不等式a x x ≥---112恒成立，求a 的范围
5、若0<a<1,b<-1,则f(x)=a x
+b 不经过
第_____象限
6、x 1,x 2分别是方程x+2x =4和x+log 2x +4的解，则x 1+x 2=？
7、若符号min{x 1,x 2}表示x 1与x 2最小值，
设f(x)=min{2-x 2,x},则f(x)最大值
是？
8、若曲线12+=x y 与直线y=kx+b 没有公共点，则k,b 分别应满足的条件是？
函数的零点
1、概念
2、意义
3、二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的零
点
4、二分法
例题：
1、函数⎩⎨⎧>+-≤-+=)
0(ln 2)0(32)(2x x x x x x f 的零点个数？ 2、若x 0是方程
3
121x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛的解，则x 0属于区间( )
)3
1,0.(),21,31.(),32,21.(),1,32.(D C B A 3、借助计算器，用二分法求出
ln(2x+6)+2=3x 在区间（1,2）内的近
似解。

（精确到0.1）
4、是否存在这样的实数a,使函数
f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

反函数
知识点：
1、反函数的概念
2、求反函数的步骤及注意点
3、图像关于y=x对称
4、若y=f(x)在[a,b]上是单调函数，则
y=f(x)一定有反函数且单调性与原函数一致
5、有反函数的函数不一定是单调函数
6、偶函数无反函数，奇函数有反函数且
也是奇函数
7、分段函数的反函数，应分别求出各段
反函数，再合成
例题：
1、求下列函数的反函数
（1）11--=x y
（2）]0,(,322
-∞∈+-=x x x y （3）)21(,1253-≠+-=x x x y
（4）⎩⎨⎧->+--≤+=)1(,1)1(,1)(2x x x x x f
2、若f(x-1)=x 2-2x+3 (x ≤0)
求f(x),f -1(x),f -1(x-1)
3、记函数y=f(x)的反函数为y=f -1
(x),
如果函数y=f(x)的图像过点（1,0），则函数y=f(x)+1的图像过点（ ） A （0,0）B （0,2）C （1,1）D （2,0）
4、f -1(x)图像经过点(-2,0),则函数
y=f(x+5)的图像经过点________
5、函数2)(x x e e x f --=的反函数是（ ）
A 奇函数且(0,+∞)上单调递减
B 偶函数且(0,+∞)上单调递减
C 奇函数且(0,+∞)上单调递增
D 偶函数且(0,+∞)上单调递增
6、若函数)1(11a x ax ax y -≠+-=的图像关于y=x
对称，求a 的值
7、求函数)),1((12+∞-∈+=x x x y 的图像与其
反函数图像的交点坐标
8、3121-=+=nx y m x y 和图像关于y=x 对称，求m,n
9、已知f(x)=-x 2
+2ax-2,x ≥1存在反函
数，求a 的范围
10、点(4,3)即在b ax y ++=1的图像
上，又在它的反函数图像上，求这个函数的解析式
对数和对数函数
一、 对数
1、概念
2、几种常见的对数
3、基本性质
4、运算性质
二、对数函数
例题：
1、已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=4),1(4,21)(x x f x x f x ,求f(2+log 23) 2、设3a =4b =36，求b
a 12+
3、计算：
3log 22
35506.0lg 61lg )2(lg )1000lg 8(lg 5lg +++++ 4、已知lg2=a,lg3=b,用a,b 表示log 1245
5、已知函数y=g(x)的图像与函数
y=a x (a>0且a ≠1)的图像关于直线y=x 对称，又将y=g(x)图像向右平移1个单位长度所得到图像的解析式y=f(x),且y=f(x)在[3,+∞)上总有f(x)>1,
求：（1）f(x)解析式
(2)实数a 的取值范围
6、已知函数1,0,1
12log )(≠>+--=a a x mx m x f a 是奇函数，定义域为区间D （1）求实数m 值，并求出D （2）若底数a>1,试判断函数y=f(x)在定义域D 内的单调性（3）若x ∈A=[a,b)(A ⊂D,a 是底数)时，函数值组成的集合为[1,+∞),求实数a,b 的值
指数方程和对数方程
一、指数方程
1、定义：指数里含有未知数的方程叫做指数方程。

2、常见指数方程的类型与解法：
（1）形如a f(x)=b
化对数式f(x)=log a b
（2）形如a f(x)=a g(x)
化f(x)=g(x)
（3）形如a f(x)=b g(x)
化lga f(x)=lgb g(x)来解
（4）形如f(a x)=0
换元法解方程
二、对数方程
1、定义：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。

2、常见对 数方程的类型与解法：
（1）形如log a f(x)=b
化指数式f(x)=a b
（2）形如log a f(x)=log a g(x)
化f(x)=g(x)且f(x)>0,g(x)>0
（3）形如f(log a x)=b
换元法解方程
（4）对数式的底数中含有未知数的方
程，可根据具体情况利用对数定义或换底公式等，把原方程化成比较简单的形式再求解。

例题：解方程
1、3x+2-32-x =80
2、3*16x +36x =2*81x
3、1123
5-+=x x 4、log 4
(2-x)=log 2(x-1)-1
5、4log )9(log 232=⋅x x x
6、04lg 32lg 3=+--x x
7、设关于x 的方程4x -2x+1
-b=0(b ∈R),若方程有实数解，求实数b 的取值范围
8、若x 1满足x+2x =5,x 2满足x+log 2x=5, 求x 1+x 2的值
9、解方程:3x +4x =5x
三角比复习
弧度制及任意角的三
角比
知识点：
1、任意角
（1）角的概念
（2）角的分类
按旋转方向分：正角、负角、零角
按终边位置分：象限角和轴线角
（3）终边与角α相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z} 2、弧度制
（1）1rad的角
l
（2）|α|=
r
（3）弧度制的概念（4）弧度与角度的换
算
3、扇形面积公式与弧长公式
4、任意角的三角比（1）定义
（2）三角比在各象限的符号
5、象限角
6、三角函数线
例题：
1、写出终边直线x y 3=上的角的集合
2、若角θ的终边与π7
6角的终边相同，求在
[0,2π)内终边与3θ角的终边相同的角
3、已知角α是第二象
限角，试确定2α，2α所
在的象限 4、已知角θ的终边经过点)0(),,3(≠-m m p ,且
m 42sin =θ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和cot θ的值
5、已知一扇形的中心角是α，所在圆地半径是R ，
（1）若α=45°，R=10，求扇形的弧长及面积S
（2）若扇形的周长是一定值C （C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积。

6、解不等式：（1）sinx ≥21
（2）cosx ＞23
（3）sinx≤cosx。