5.2 一阶逻辑前束范式

→G（ ⇔ ∀x ∃y（F（x，t）→G（w，y））
））→ （4）（∀x F（x，y）→∃y G（y））→∀x H（x，y，z） ））→ ⇔（∀s F（s，y）→∃t G（t））→∀x H（x，y，z） （（F →G（ ））→H →H（ ⇔ ∀s∃t∀x（（F（s，y）→G（t））→H（x，y，z）） 或 ））→ ⇔（∀x F（x，t）→∃y G（y））→∀w H（w，t，z） （（F →G（ ））→H →H（ ⇔ ∀x∃y∀w（（F（x，t）→G（y））→H（w，t，z）） 说明： 说明： （1）公式的前束范式一般是不唯一的 （2）一个公式的前束范式的各指导变元应是不相同的 （ 3 ） 原公式中自由出现的个体变项在前束范式中还应是自 由出现的。
定理5.1 5.1（前束范式存在定理） 5.1 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。 说明： （ 1 ） 定理说明任何公式的前束范式都是存在的， 但并不唯一。 （ 2 ） 可利用上节的等值式和三条变换规则来求公 式的前束范式。
例5.6 求下面公式的前束范式。 5.6 ∧┐∃ （1）∀x F（x）∧┐∃x G（x） ∨┐∃ （2）∀x F（x）∨┐∃x G（x） （3）∀ x F（x，y）→∃y G（x，y） ））→ （4）（∀x F（x，y）→∃y G（y））→∀x H（x，y，z） 解 : （1）∀x F（x）∧┐∃x G（x） F（ ∧┐∃ G（ ⇔ ∀x F（x）∧┐∃y G（y） （ ）∧┐∃ （ ） ⇔ ∀x F（x）∧∀y ┐G（y） （ ） （ ） ⇔ ∀x（F（x）∧∀y┐ G（y）） （ （ ） ┐ （ ）） ⇔ ∀x ∀y（F（x）∧┐ G（y）） （ （ ） （ ）） 或 ∀x F（x）∧┐∃x G（x） （ ）∧┐∃ （ ） ⇔ ∀x F（x）∧∀x┐G（x） （ ） ┐ （ ） ⇔ ∀x（F（x）∧┐ （x）） （ （ ）∧┐G（ ））
Leabharlann Baidu
∨┐∃ （2）∀x F（x）∨┐∃x G（x） ⇔ ∀x ∀y（F（x）∨┐ G（y）） ∨┐G（ ））错误 ⇔ ∀x（F（x）∨┐G（x）） （3）∀ x ⇔ ∀t ⇔ ∀t 或 ⇔ ∀x F（x，y）→∃y G（x，y） F（t，y）→∃w G（x，w） →G（ ∃w（F（t，y）→G（x，w）） F（x，t）→∃y G（w，y）
第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑前束范式 5.2 一阶逻辑前束范式
定义5.2（前束范式） 为一个一阶逻辑公式， 定义5.2（前束范式） 设A为一个一阶逻辑公式， 5.2 如果A具有如下形式Q 则称A 如果A具有如下形式Q1x1Q2x2…QkxkB，则称A为前束范 Q 1≤i≤k） 为不含量词的公式。 式,Qi（1≤i≤k）为∀或∃，B为不含量词的公式。 例如： ∧G（ →H（ ∀x ∀y（F（x）∧G（y）→H（x，y）） ∧G（ ∧H（ →L（ ∀x ∀y ∃z（F（x）∧G（y）∧H（z）→L（x，y，z）） 等公式都是前束范式。 ∀ x F（x）∨∀ x G（x） →H（ ∀x（F（x）∧∃y（G（y）→H（x，y））） 等公式都不是前束范式。