2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-3：第三章 统计案例 1《回归分析》课时1

作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明： (1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点 和样本点的带状分布区域的宽窄．
解答 (1)散点图如图
1 － x ＝ (5＋10＋ 15＋ 20＋25＋30)＝17.5， 6 1 － y ＝ (7.25＋ 8.12＋ 8.95＋ 9.90＋10.9＋11.8)≈9.487， 6 x2 i ＝2 i＝1
从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数 据如下表所示：
编号
身高/cm 体重/kg
1
165 48
2
165 57
3
157 50
4
170 54
5175 64Fra bibliotek6165 61
7
155 43
8
170 59
怎样根据一名女大学生的身高预报她的体重，并预
报一名身高为172 cm的女大学生的体重？
根据必修3 2.3变量相关关系解决这个问题的方法： 1.先判断是两个变量是否具有线性相关关系 (1)作散点图，如图所示(见课本P82：图3.1-1) (2)计算相关系数 具有较好的线性相关关系
预报变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们 之间的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关
系，则选用线性回归方程)．
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差

6
275， xiyi＝ 1 076.2
i＝1
6
计算得，^ b ≈0.183，^ a ≈6.285， 所求回归直线方程为^ y ＝0.183x＋6.285. (2)列表如下：
yi－^ yi yi－－ y
6
0.05
0.005
－0.08 －0.045
0.04
0.025
－2.24 －1.37 －0.54
区域内,两个变量的这种相关关系为 正相关 .
(2)在残差分析中,残差图的纵坐标为
残差
.
(3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直 线上,则残差平方和等于
0
,解释变量和预报 .
变量之间的相关系数R等于 1或-1
3.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间 的关系有如下一组数据：
x y 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3
关关系(非确定性关系),其中的随机误差e提供了
选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最
佳估计值a，b的工具.
$ $ y $ bx $ a 中$ (2)线性回归方程 $ ， 的意义是：以 a为 b a
基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加 $ b 个单位.
(3)线性回归模型中随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②观测与计算产生的误差； ③省略了一些因素的影响产生的误差.
性质：回归直线一定过样本中心点.
这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确 地反映x与y之间的关系，y 的值不能完全由x 确定， 它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间 存在着误差． 因此,在统计学中设它们的线性回归模型为:
y bx a e
其中a,b为模型的未知参数,e为y与bx+a之间的误差， 称它为随机误差，它是随机变量。且E e 0, D e 2
yi－^ yi yi－－ y
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以， (yi－^ y i)2＝0.3， (yi－－ y )2＝53.2，
i＝ 1 i＝ 1 5
5
5
y i 2 yi－^
i＝ 1
R2＝1－
y 2 yi－－
i＝ 1
5
≈0.994，
i＝1
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
i＝ 1 5
5
x－ y xiyi－5－ 所以^ b＝
i＝ 1
x2 x2 i － 5－
i＝ 1
5
620－5×18×7.4 ＝ ＝－1.15. 1 660－5×182
^ a ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是：^ y ＝－1.15x＋28.1. 列出残差表：
对于样本点 x i , yi
i 1,2,3,L ,n
它们的随机误差为 ei yi bx i a µ y y µ y $ bx $ a 估计值为 e
i i i i i
i 1, 2,3,L , n n 1, 2,3,L n
µ称相应于点 x , y 的残差 e i i i
i 1 i i
x x y y
n 2 n i 1 i i 1 i

2
x y nx y
i 1 i i
n
( x nx )( y ny )
i 1 2 i 2 i 1 2 i 2
n
n
.
建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是
线性回归模型完整表达式为 y bx a e，
2 E e 0,D e ,
x称为
解释
变量,y称为
预报
变量.
线性回归模型中随机误差的主要来源:
y与真实情况y引 ①线性回归模型中的预报值 $ 起的误差；
②观测与计算(用 $ b
$ a 代替b
a)产生的误差；
2.根据线性回归的系数公式， $ 求回归直线方程 b $ y ＝0.849x-85.712 3.由线性回归方程可以估计其位
y ＝60.316(千克)左右。 置值为 $
x
n i 1 n
i
x yi y
i


x
i 1
x

2
$ a y $ bx.
一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反),故通过 比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟 合效果.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. (3)R2法:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说
模型拟合的效果越好.
3.相关系数与R2 (1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而 相关系数的变化范围为[-1,1]. (2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相
2.线性回归模型的模拟效果 (1)残差图法:观察残差图,如果残差点比较均匀 地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较 合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合
精度越高,回归方程的预报精度越高.
(2)残差的平方和法:一般情况下,比较两个模型的残差
比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另
本节课通过必修3熟悉有例题回顾线性相关关系
知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引出 随机误差、残差、残差分析的概念，进而运用残差 来进行数据分析，通过例题讲解掌握用残差分析判 断线性回归模型的拟合效果。掌握建立回归模型的
步骤。
本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与 比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的 探究，练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法 和初步应用．
过大，或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检
查数据是否有误，或模型是否合适等．
为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米) 的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表 所示：
x 5 10 15 20 25 30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析．
3.1 回归分析的基本思 想 及其初步应用
（第一课时）
1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基 本思想、方法及其初步应用． 2．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的 直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应 用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关 指数进行数据分析、处理的方法． 3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心， 求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的 思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的 分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强 数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣．
ˆ1,e ˆ2,e ˆ3, .....e ˆn,来判断模型拟合的效果这种分 通过残差 e
析工作称为残差分析.
通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判
断，如何精确判断模型拟合的效果？
引入参数R2
R2 1

n i 1 n i 1
yi $ yi
i


2
y
i
y
2
来精确该画模型拟合效果
(2)R2与原来学过的相关系数r有区别吗?
提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区
别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表 达式为R2=1
n i 1 n i 1
yi $ yi
i

2
y
n
y

2
;
相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度, 其表达式为 r
x x y y
残差的作用
1.通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据 • 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； • 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以 横轴为中心的带形区域； • 对于远离横轴的点，要特别注意。
身 高 与 体 重 残 差 图 异 常 点 •错误数据 •模型问题