对数运算练习题

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对数运算练习题
一、基础练习
1. 计算以下对数:
(1) $\log_3{9}$
(2) $\log_5{1}$
(3) $\log_2{16}$
(4) $\log_{10}{1000}$
(5) $\log_4{\frac{1}{64}}$
2. 计算以下对数的近似值(保留两位小数):
(1) $\log_2{5}$
(2) $\log_3{7}$
(3) $\log_{10}{2}$
(4) $\log_5{2}$
(5) $\log_6{49}$
3. 求解以下方程:
(1) $2^x = 16$
(2) $3^{2x} = 9$
(3) $10^x = 100$
(4) $5^{3x} = 25$
(5) $2^{4x} = \frac{1}{16}$
二、进阶练习
1. 已知 $\log_2{3} \approx 1.585$,计算以下近似值(保留三位小数):
(1) $\log_2{12}$
(2) $\log_4{9}$
(3) $\log_{16}{4}$
(4) $\log_2{27}$
(5) $\log_{\frac{1}{2}}{8}$
2. 求解以下方程组:
$\begin{cases} \log_2{x} + \log_3{y} = 3 \\ \log_5{x} - \log_3{y} = 1
\end{cases}$
3. 已知 $\log_a{p} = m$,$\log_a{q} = n$,求证 $\log_a{\frac{p}{q}} = m - n$。

四、挑战练习
1. 已知 $a^2 + b^2 = 25$,且 $\log_2{a} - \log_4{b} = 1$,求解
$a$ 和 $b$。

2. $\log_2{p} = \frac{1}{3}$,$\log_p{q} = \frac{4}{5}$,求证
$\log_q{\sqrt{p}} = -\frac{1}{2}$。

3. 计算 $\left(\log_3{2}\right)^4 - \left(\log_2{3}\right)^6$。

4. 已知 $x = \log_2{5}$,$y = \log_3{2}$,$z = \log_5{3}$,求证 $x + y + z = 1$。

三、解答
以下是对数运算练习题的解答。

一、基础练习
1. 计算以下对数:
(1) $\log_3{9} = 2$,因为 $3^2 = 9$。

(2) $\log_5{1} = 0$,因为任何数的0次幂都等于1。

(3) $\log_2{16} = 4$,因为 $2^4 = 16$。

(4) $\log_{10}{1000} = 3$,因为 $10^3 = 1000$。

(5) $\log_4{\frac{1}{64}} = -3$,因为 $4^{-3} = \frac{1}{64}$。

2. 计算以下对数的近似值(保留两位小数):
(1) $\log_2{5} \approx 2.32$
(2) $\log_3{7} \approx 1.77$
(3) $\log_{10}{2} \approx 0.30$
(4) $\log_5{2} \approx 0.43$
(5) $\log_6{49} \approx 1.57$
3. 求解以下方程:
(1) $2^x = 16$,即 $x = 4$,因为 $2^4 = 16$。

(2) $3^{2x} = 9$,即 $2x = 2$,解得 $x = 1$,因为 $3^2 = 9$。

(3) $10^x = 100$,即 $x = 2$,因为 $10^2 = 100$。

(4) $5^{3x} = 25$,即 $3x = 1$,解得 $x = \frac{1}{3}$,因为
$5^{\frac{1}{3}} = 25$。

(5) $2^{4x} = \frac{1}{16}$,即 $4x = -2$,解得 $x = -\frac{1}{2}$,因为 $2^{-2} = \frac{1}{16}$。

二、进阶练习
1. 已知 $\log_2{3} \approx 1.585$,计算以下近似值(保留三位小数):
(1) $\log_2{12} \approx 3.585$,因为 $2^3 < 12 < 2^4$。

(2) $\log_4{9} \approx 1.169$,因为 $4^1 < 9 < 4^2$。

(3) $\log_{16}{4} \approx 0.250$,因为 $16^0 < 4 < 16^1$。

(4) $\log_2{27} \approx 4.807$,因为 $2^4 < 27 < 2^5$。

(5) $\log_{\frac{1}{2}}{8} \approx -3.585$,因为
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 < 8 < \left(\frac{1}{2}\right)^4$。

2. 求解以下方程组:
$\begin{cases} \log_2{x} + \log_3{y} = 3 \\ \log_5{x} - \log_3{y} = 1
\end{cases}$
通过对第一个方程同时取对数得到:
$\log_2{x} + \log_3{y} = \log_2{2^3} = \log_2{8}$
将第二个方程代入第一个方程得到:
$\log_2{x} + \left(\log_5{x} - 1\right) = \log_2{8}$
整理得到:
$\log_2{x} + \log_5{x} - 1 = \log_2{8}$
应用换底公式:
$\frac{\log{x}}{\log{2}} + \frac{\log{x}}{\log{5}} = \log{8}$
整理得到:
$\log{x}\left(\frac{1}{\log{2}} + \frac{1}{\log{5}}\right) = \log{8} +
1$
解得 $x \approx 9.46$。

将 $x$ 的解代入第一个方程求解 $y$,得到 $y \approx 18.91$。

因此,方程组的解为 $x \approx 9.46$,$y \approx 18.91$。

3. 已知 $\log_a{p} = m$,$\log_a{q} = n$,求证 $\log_a{\frac{p}{q}} = m - n$。

根据换底公式,我们有:
$\log_a{\frac{p}{q}} = \log_a{p} - \log_a{q}$
代入已知条件得到:
$\log_a{\frac{p}{q}} = m - n$
证毕。

四、挑战练习
1. 已知 $a^2 + b^2 = 25$,且 $\log_2{a} - \log_4{b} = 1$,求解
$a$ 和 $b$。

根据第二个已知条件,我们可以利用换底公式将对数转化为同一底数:
$\log_2{a} - \log_4{b} = \frac{\log_2{a}}{\log_2{4}} -
\frac{\log_4{b}}{\log_2{4}}$
进一步化简得到:
$\log_2{a} - \log_4{b} = \frac{\log_2{a}}{2} - \frac{\log_2{b}}{2}$
根据对数的性质,我们有:
$\log_2{a} - \log_4{b} = \log_2{\sqrt{a}} - \log_2{\sqrt{b}} =
\log_2{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$
由已知条件$\log_2{a} - \log_4{b} = 1$,代入化简后的表达式得到:$\log_2{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}} = 1$
因此,$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = 2^1 = 2$。

进一步化简得到 $a = 4b$。

将 $a = 4b$ 代入 $a^2 + b^2 = 25$,得到 $16b^2 + b^2 = 25$。

化简得到 $17b^2 = 25$,解得 $b^2 = \frac{25}{17}$,因此 $b = \sqrt{\frac{25}{17}}$。

代入 $a = 4b$ 求解得到 $a = 4\sqrt{\frac{25}{17}}$。

因此,方程的解为 $a = 4\sqrt{\frac{25}{17}}$,$b =
\sqrt{\frac{25}{17}}$。

2. $\log_2{p} = \frac{1}{3}$,$\log_p{q} = \frac{4}{5}$,求证$\log_q{\sqrt{p}} = -\frac{1}{2}$。

将 $\log_2{p} = \frac{1}{3}$ 变形得到:
$p = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$
将 $\log_p{q} = \frac{4}{5}$ 变形得到:
$q = p^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{p^4} =
\sqrt[5]{\left(\sqrt[3]{2}\right)^4} = \sqrt[5]{2^{\frac{4}{3}}}$因此,$\log_q{\sqrt{p}} = \log_q{p^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \log_q{p} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{1}{2}$。

证毕。

3. 计算 $\left(\log_3{2}\right)^4 - \left(\log_2{3}\right)^6$。

将 $\left(\log_3{2}\right)^4 - \left(\log_2{3}\right)^6$ 展开得到:
$\left(\log_3{2}\right)^4 - \left(\log_2{3}\right)^6 =
\left(\log_3{2}\right)^4 - \left(\left(\log_3{2}\right)^2\right)^3$根据对数的性质$\left(\log_a{b}\right)^n = \log_a{b^n}$,我们得到:
$\left(\log_3{2}\right)^4 - \left(\left(\log_3{2}\right)^2\right)^3 =
\log_3{2^4} - \log_3{\left(2^2\right)^3}$
进一步化简得到:
$\log_3{16} - \log_3{64}$
应用对数的性质 $\log_a{b} - \log_a{c} = \log_a{\frac{b}{c}}$,我们
得到:
$\log_3{16} - \log_3{64} = \log_3{\frac{16}{64}} =
\log_3{\frac{1}{4}}$
由于 $\frac{1}{4} = 3^{-2}$,我们可以得到最终结果为 $-2$。

4. 已知 $x = \log_2{5}$,$y = \log_3{2}$,$z = \log_5{3}$,求证 $x + y + z = 1$。

我们可以利用换底公式将对数转化为同一底数:
1. $\log_2{5} = \frac{\log_5{5}}{\log_5{2}} = \frac{1}{\log_5{2}}$。

2. $\log_3{2} = \frac{\log_5{2}}{\log_5{3}}$。

3. $\log_5{3} = \frac{\log_3{3}}{\log_3{5}} = \frac{1}{\log_3{5}}$。

因此,$x + y + z = \frac{1}{\log_5{2}} + \frac{\log_5{2}}{\log_5{3}} + \frac{1}{\log_3{5}}$。

应用换底公式,我们可以化简为:
$x + y + z = \frac{\log_2{2}}{\log_5{2}} + \frac{\log_5{2}}{\log_5{3}} + \frac{\log_3{3}}{\log_3{5}}$。

进一步化简得到:
$x + y + z = \frac{1}{\log_5{2}} + \frac{\log_5{2}}{\log_5{3}} +
\frac{1}{\log_3{5}} = 1$。

证毕。

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