2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第9课__二次函数

____第9课__二__次__函__数____
1. 熟练掌握二次函数的图象和性质．
2. 掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象和性质讨论一元二次方程根的分布．
3. 能解决与二次函数有关的一些综合性问题.
1. 二次函数的三种形式：一般式、顶点式和两根式，会根据条件选择合适的形式．
2. 二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性等，结合这些图象特征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．
3. 二次函数性质的研究：首先根据二次函数的图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑；同时要特别关注二次函数的对称轴位置，即对称轴与所给区间的位置关系，这样可以得到二次函数的变化情况．此外要注意c 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．
4. 三个二次(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)以二次函数为核心，即二次函数图象与横轴的交点和在横轴的上方、下方.
基础诊断
1. 若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3(x ∈[a ，b])的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝__6__．
解析：由题意得－a ＋22＝1，解得a ＝－4，且a ＋b 2＝1，即－4＋b 2
＝1，解得b ＝6. 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 且f(x 1)＝f(x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝__4ac －b 2
4a __． 解析：由题意可知，x 1＋x 22＝－b 2a
， 所以f ⎝⎛⎭
⎫x 1＋x 22＝a·⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b·⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝4ac －b 2
4a . 3. 已知二次函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围为__[1，2]__．
解析：由题意得函数y ＝x 2－2x ＋3图象的对称轴为直线x ＝1.当x ＝0时，y ＝3，当x ＝1时，y ＝2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m 2－2m ＋3≤3，解得1≤m ≤2， 所以m 的取值范围是[1，2]．
4. 如果方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是__(－∞，－3)__．
解析：设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得，
⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3，
所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．
范例导航
考向❶ 通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，利用数形结合求最值
例1 求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2(x ∈[2，4])的最小值．
解析：f(x)图象的对称轴是直线x ＝a ，可分以下三种情况：
①当a ＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min ＝f(2)＝6－4a ；
②当2≤a ≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；
③当a ＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min ＝f(4)＝18－8a.
综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a ≤4，18－8a ， a>4.
已知函数f(x)＝x 2
－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解析：由题意得，f(x)＝(x －1)2＋1.
①当t ＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t ＋1)＝t 2＋1;
②当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g(t)＝f(1)＝1;
③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t 2－2t ＋2. 综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2
＋1， t<0，1， 0≤t ≤1，t 2－2t ＋2， t>1.
考向❷ 利用三个二次之间的关系，以二次函数为核心解决问题
例2 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)．
(1) 若函数f (x )＝f (x )－mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围；
(2) 求函数G (x )＝f (sin x )在x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最值． 解析：(1) 因为f (x )>0的解集为(1，3)，
所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，
所以可设f (x )＝a (x －1)(x －3)．
又因为函数图象过点(0，－3)，代入f (x )得3a ＝－3，解得a ＝－1，
所以f (x )＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3，所以f (x )＝－x 2＋4x －3－mx ＝－x 2＋(4－m )x －3.
因为函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，
所以－4－m 2×（－1）
≥1，解得m ≤2， 故实数m 的取值范围是(－∞，2]．
(2) 由题意得，G (x )＝－sin 2x ＋4sin x －3＝－(sin x －2)2＋1.。