由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法

由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法
(宁波市北仑中学 竺君祥 315800)
已知递推数列求其数列通项公式，是一类常见的问题，也是教学中的一个难点.本文介绍几种运用数列的递推关系求数列通项公式的几种常用方法.
一． 迭加法
可化为型如)(1n f a a n n =-+的递推数列，用迭加法求其通项公式.且通项公式为
∑-=+=1
1
1)(n k n k f a a
证明：
例1： 已知数列}{n a ,其中11=a ，521
++=+n a a n n ，求它的通项公式. 解：由已知得521+=-+n a a n n ， 则51212+⨯=-a a ，52223+⨯=-a a ，53234+⨯=-a a ……5)1(21+-⨯=--n a a n n ，将以上)1(-n 个式子相加，得 )1(5)]1(321[21-+-++++⨯=-n n a a n ,故55)1(1-+-=-n n n a a n ,于是5421-++=n n a a n ,又11=a 即442-+=n n a n .
二． 叠乘法
可化为型如)(1n f a a n
n =+的递推数列，用叠乘法求其通项公式. 例2： 已知数列}{n a ,其中11
=a ，n n n a a 51=+，求它的通项公式. 解：由已知得n n n a a 51=+,则512=a a ，2235=a a ，3345=a a ，……,11
5--=n n n a a , 将以上)1(-n 个式子相乘，得2)1()1(3211
55--+++==n n n n a a ，又11=a ,故2)1(5-=n n n a . 三：差分法
可化为型如)()(1n g a
k f n k k =∑=的递推数列，用差分法求其通项公式.
例3： 已知数列}{n a 满足n n na a a a a n +=+++++24321
2432 )(N n ∈，求数列}{n a 的通项公式.
解：由已知n n na a a a a n +=+++++243212432 ，…① 得，当1=n 时，31=a ；当2≥n 时, )1()1(2)1(432214321-+-=-+++++-n n a n a a a a n ②
所以当2≥n 时，由①-②得：14-=n na n ，即n
a n 14-=,当1=n 时也成立.所以,数列}{n a 的通项公式为n
a n 14-=. 四：化归法
把递推数列的递推公式进行适当变形,化归为熟悉的等差或等比数列,再求其通项公式. 例4： 已知数列}{n a ,其中11
=a ，241+=+n n a S ，求它的通项公式. 解：因为,111==S a ，所以,51241122=-+=-=a S S a , 因为
)(4)24()24(21211------=+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a ,所以)2(22211----=-n n n n a a a a ,从而
222211=-----n n n n a a a a ,于是数列{12--n n a a }是以3212=-a a 为首项，公比为2的等比数列,所以
n a a n n n (23221--⨯=->1),从而
432211=---n n n n a a ,所以数列{n n a 2}是以首项为2121=a ，公差为43
的等差数列,于是413)1(43212
-=-+=n n a n n ,所以22)13(2413-⋅-=⋅-=n n n n n a . 例5： 已知数列}{n a 满足11
=a ，),2(321N n n a a n n ∈≥+=-，求这个数列的通项公式. 解：设)(1αβα+=+-n n a a （βα,为待定常数）
，即αβαβ-+=-1n n a a ， 则与已知的递推公式321+=-n n a a 相比较得3,2=-=αβαβ，所以2,3==βα，于是
)3(231+=+-n n a a ，所以数列}3{+n a 是首项为431=+a ，公比为
2的等比数列，于是1243-⨯=+n n a )(N n ∈,即321-=+n n a ,所以数列}{n a 的通项公式为321-=+n n a .
五、数学归纳法
用数学归纳法求递推数列的通项公式是教学中的重点，其步骤是归纳、猜想、证明. 例6：已知数列}{n a 中各项均正，且)1(21n
n n a a S +=，求数列的通项公式. 解： )1(211111a a a S +==，又01>a ，所以11=a ；)1(212
2212a a a a S +=+=, 即221
2a a =+，又02>a ，所以122-=a ；)1(21333213a a a a a S +=++=，即3
3122a a =+，又03>a ，所以，233-=a .,猜想：1--=n n a n （)N n ∈.
证明：①当1=n 时，由上述过程知结论正确，
②假设k n
=)1(≥k 时结论成立，即1--=k k a k ，则1+=k n 时， )1(21)1(211111k
k k k k k k a a a a S S a +-+=-=++++)11(21)1(2111-++---+=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(211
1 所以012121=-+++k k a k a ，又01>+k a ，所以k k a k -+=+11，即1+=k n 时成立.
由①，②知对任意N n ∈，1--=n n a n
.,所以数列}{n a 的通项公式为1--=n n a n .。