不等式的解法

x
4
0
3x 5 x 4
x
x
x
5 3 4 1 2
x4,
4. x23x10 x4
解:
x2 3x10 0 x4 0
x 5或 x 2
x
4
x2 3x 10 (x 4)2
x
26 5
x
5,
26 5
不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化:即将绝对值不等式即其他不等式向代数 不等式或代数不等式组转化,再对其求解.
一.一次不等式和不等式组的解法 二.二次不等式的解法 三.高次不等式的解法 四.分式不等式的解法 五.绝对值不等式的解法 六.无理不等式的解法
一元一次不等式和不等式组的解法
一元一次不等式即为形如ax>b的不等式。
当a>0 则x> b a
当a<0 则x< b a
当a=0 且b 0 则为
当a=0 且b<0 则为R
解:1.当a=0时,不等式为：-x>0,解集为:{x|x＜0}
2. 当a≠0时，不等式为：(ax-1)(x-a)>0， （1）当a>0时，不等式为:(x-1/a)(x-a)>0，
①a>1,a>1/a,解集为:{x|x＜1/a或x>a}， ② 0＜a＜1,a＜1/a,解集为:{x|x＜a或x>}， ③ a=1,a=1/a=1,解集为:{x|x∈R且x≠1}; （2）当a＜0时，(x-1/a)(x-a)＜0， ①-1＜a＜0,a>1/a,解集为:{x|1/a＜x＜a} ②a＜-1,a＜1/a,解集为:{x|a＜x＜1/a}， ③a=-1,a=1/a=-1,解集为:x∈Φ。
列表法: f(x)的根把实数集分成若干个区间,
通过列表法得到各区间f(x)的正负 来确定不等式的解集。
例 7：求(x-1)(x+3)(2+x)(4-x)(x+5)≥0的解集
解：先标准化,得(x+5)(x+3)(x+2)(x-1)(x-4) ≤0 则其根分别为-5,-3,-2,1,4.则列表可得：
-5 -3 -2 1 4
(3k)x2 (2k)x(2k) 0
10、3(2kk)20 4(3 k)(2 k) 0
2 0、 不符
k3 条件
k2
绝对值不等式的解法： 1.根据绝对值的几何意义：
|x|<a (a>0) -a<x<a； |x|>a (a>0) x<-a或x>a；
2 .由绝对值的定义，找出零点，分域去绝对值。 3.|f(x)|<|g(x)|，两边平方。
不等式组先求出每个方程的解再求其交集。
例1：求解方程组｛32xx>-55<0
⑴ ⑵
解： 由⑴得 x> 5 3 由⑵得 x< 5 2 则由⑴、 ⑵得其交集为{x 5 3 <x< 5 2 }
即为不等式组的解。
例1：解关于x的不等式:mx+2>x+n. 解：原不等式等价于：(m-1)x>n-2;
m>1时，解集是{x|x> n 2 }; m 1
练 习 :已 知 x2pxq0 的 解 集 为 1 ， 2，
求 不 等 式 px2qx80 的 解 集 。
解Qxx11xx22qp112212
所求不等x式 2 即 2x为 80
解 x 得 , 2 4 ,
例 5 ： 不 等 式 x2m x2 m 30 的 解 集 为 ， 求 ： m 的 取 值 范 围 。
例 8： 解 不 等 式2x33. x1
解 : 2x330, x 6 0
x1
x 1
(x 6)(x 1) 0 x 1 0
(,1 ) 6 ,）
例9：解不等式
x2 x2
3x 2 2x 3
0
解一：原不等式转化为
x2 3x 2 0 （1）x2 2x 3 0
或（2）
x2 x2
3x 2x
若2a-1 > 0,即a > 1/2时，
(x l0 a o x)2g 12 a 1 或 (x l0 a o x)2g 1 12 a , (x l0 a ox)g 22a,或 (x l0 a ox)g 222a,
当1/2<a<1时，不等式的解集为：
(0, a 2 a )∪( a a 22a , 22a )∪(a 2a ,+∞)
例 4 :已 知 x 2p x q 0 的 两 根 为 3 ， 4 ， 则 不 等 式 x 2 p x q 0 的 解 集 是
解 ： 由 韦 达 定 理 xx1 1xx22qp 则 p1,q1,2
代入不x2等 p式 xq0 x2x12 0
4x3 不 等 式 的 解 集 为 ： 4 ， 3
一元二次方程根与系数的关系可以较 快得到p,q的值.
2
x
3
1 2
x
5
4
3 2
x
7 4
5x3或3x7 4 22 4
(4)(x3)x (4)2(74x)0 x1
解：x2 x 2 0
x 1
x 1 0 x2 x 2 0
x 1 x 2或x 1
xx 2 或 x 1
(5)、 x23x14 5
解：
10
x
2
0 3x
14
x 2 5
x 2
2 3
0 0
1 x 2
x 2 或x 1
由(1)得 x 3或 x 1 由(2)得 1 x 3
x
x (1,1) (2,3)
所以原不等式的解为 x ( 1 ,1 ) (2 ,3 )
解二： 原不等式转化为 (x2)(x1) 0 (x3)(x1)
由 积 商 同 号 得 ： ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) 0
x+5 － + + + + + x+3 － － + + + + x+2 － － － + + + x-1 － － － － + + x-4 － － － － － +
积 －+ － + － +
则不等式解为x∈(-∝,-5]∪[-3,-2]∪[1,4]
再用数轴标根法求解本题
解：则其根为-5,-3,-2,1,4
3.指对数不等式的底数中含有参数时， 要对底数分a>1和0＜a＜1这两种情 况进行讨论。
例1：解关于x不等式：ax2-(a2+1)x+a>0
分析：对不等式需要分三个层次进行讨论: 第一层次，a=0与a≠0; 第二层次，当a≠0，再分a>0与a＜0讨论; 第三层次，对解集的两端点的大小比较进行
讨论。
例2：解关于x的不等式:3x2-mx-m≤0
分析：对判别式△讨论。
解：∵ △=m2+12m=m(m+12)
∴ 当m<-12或m>0时， △>0，
不等式的解集为 [mm21m 2,mm21m 2]
6
6
当m=-12或m=0时,△=0, 不等式的解集为{x|x= m };
6
当-12 <m<0时,△ < 0,不等式的解集为Φ。
一元高次不等式的解法
首先对不等式的最高次化为正数，再将f(x) 分解 为 若干个一次因式的乘积。且将恒大于零的因式去掉。 令f(x)的根从小到大排列得x1,x2,....,xm 。
先将x1,x2,....,xm标在数轴上，在确定 各区间的正负后用曲线依次通过每一点。
再根据图形x确1 定x2 符x3 合... 不等式的x解m 集
x1 1x1 1 x2 2x3 x 3
x 1
x 1
__ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
x3
积
所以原不等式的解为 x (1,1) (2,3)
例 10： 若3xx22 2xx 12k对 一 切 实 数 x都 成 立 ， 求 x的 取 值 范 围 。
解： Qx2 x1恒大于0
3x2 2x2k(x2 x1)
(7)、 2x1x2
解： 4x24x 1x24x4
3x28x30
( ,1)(3.) 3
无理不等式：根号内含有未知数x的不等 式；
g(x)0 f(x) g(x)f(x)0
f (x) [g(x)]2
g(x)0 f(x)g(x)gf((xx)) 00或ff((xx)) [0g(x)]2
1. x22
解:
解 : 由题 m 2 意 4 2 m 可 3 m 2 知 8 m 1 ， 0 2
解不 等 6 m 式 2 ,即 m ， 6 , 得 2
练习 kx 22kx30的 解R集 ，k为 求 的 取 值
例 6.不 等 式 m x2m x10的 解 集 为 ，
求 ： m的 取 值 范 围 .
x
2
x 2 0
2
0
x
2
3x
5
14
x 2
x
3
(, 3 ) (2 ,)
(6 )|2 x 1 | x |x 3 | 1
解：101x2x3xx31 x
2
0
3
x
1 2
1 2 x x x 3 1
3 x 1 42
3
0
x
1 2
x 1
2 x 1 x x 3 1
2
x 3 4
⒉求根:即将不等式首先看成方程求出相应的根， 再利用不等式的性质进行求解.如一元二次不 等式和一元高次不等式的解法.
含有参数的不等式的讨论
1.不等式的两边同除以一个含有参数 的代数式时，根据不等式的基本性质， 要对这个代数式正负号进行讨论。
2.当不等式的解集的端点含有参数时， 要对两端点的大小比较进行讨论。
1m0,原不等1 式 0,此 可时 化x 矛 为 盾
2m0,由 题 意 m只 ，能 小 于 零 ，
二次函数图 x轴象 无和 任何交点， 0从
m 0 m 0
0
m2 4m 0
4m 0
综合 1,2,可以得 m的到 取值范 4， 0围
练习
2 m x 2 3 m x 5 0 的 解 集 为 R ， 求 m 的 取 值 范 围
x 2 0
x
2
4
x 2
x
6
x 2,6
2. x31x
x 3 0
解 : 10 1 x 0
x
3
(1
x)2
20
x 3 1 x
0 0
x x
3 1
3
17
2
x
3 17 2
或
x 3
x
1
3 17x1或 x1 2
x(3 17, ) 2
3. 3x5 x4
解:
3x 5 0
y ax2 bx c (a 0)的图象
y
y
y
x
x
x
ax2 bx c 0 (a 0）的解集
ax2 bx c 0 (a 0）
,x 1 x2, ,x1 x1, R
x1,x2
例2：解不等式 3x2+4x+5<0 解：由△＝b2－4ac=16－3×4×5= -44＜０
∴3x2+4x+5恒大于零,则原不等式解集为x∈R
｛ 例3：解不等式组 2x2+5x-3≤０ ⑴ 3x2+7x+4≥０ ⑵
解：对⑴首先令2x2+5x－3=0得x1=－3,x2= 1 2 则由表中知方程的解集为A1=｛x －3≤x≤1 2 ｝ 对⑵有3x2+7x+4=0的x1= 4 3 ，x2=－1 则方程的解集为a2=｛x x≥－1, x≤ 4 3 ｝ 由数轴知B=A1∩A2
m<1时，解集是{x|x< n 2 };
m 1
m=1且n<2时，x∈R m=1且n≥2时，x∈Φ。
一元二次不等式和对应的一元二次方程和函数的关系结构图
根 的 判 别 式 a>0 b24a c0b24a c0 b24a c0
ax2bxc0的 解 x x1或x x2
x1 x2
xx1 x2
方程无解
例3：解关于x的不等式:|(logax)2-1|>2a-1. 分析：对绝对值右边2a-1和底数a讨论。
解：若2a-1<0,即a<1/2，绝对值不等式恒成立， ∴不等式的解集为{x|x>0};
若2a-1=0,即a=1/2时，x>0且(logax)2≠1
∴不等式的解集为(0，1/2)∪(1/2，2)∪(2，+∞);
(1)、 2x32
解： 2 x 3 2 或 2 x 3 2
(,1)(5,) 22
(2)、 x23x810
解：1 0x23x810
x2 3x8 10 x2 3x-810
x 1或x 2 6 x 3
( 1 ,3 ) ( 6 , 2 )
(3)、 1 2 2x 3
解：
2x 3 0
当a>1时，不等式的解集为：
(0, a 2a )∪( a 2 a ,+∞)
9
例4：解关于x的不等式: x lo g a x x 2 a2
分析：两边取以a为底的对数，对a讨论
例5：解关于x的不等式 (a1)x(a2) 2
x2
分析：不等式化为[(a-3)x-(a-6)](x-2)>0,再讨论。
则如图所示
-5 -3 -2
1
4
则 y的解为x∈(-,-5]∪[-3,-2]∪[1,4]
对于一元高次不等式我们可以用数轴标根 法与列表法求解，
分式不等式的解法
1.移项,通分把不等式的左边化为0. 2.由积商同号,把分式不等式转化为整式不
等式. 3.若分母大于0可直接去分母.
f (x) 0(0)f (x)g(x)0(0) g(x) f(x)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0 g(x)