北师大版数学八年级上《平行线的证明 》习题含答案

八年级上册第7章《平行线的证明》
专题演练
1．（1）如图1，AC平分∠DAB，AB∥CD，求证：∠1＝∠2；
（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E、F满足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB＝25°，∠CDE＝80°，求∠ABE的度数；
（3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，如图3，则∠MGN＝．
2．如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D．（1）求证：GH∥MN；
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG＝∠GAC，若∠AKB＝∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
3．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使∠BAC
＝∠DAE，∠ACB＝∠CFE
（1）求证：∠BAF＝∠CAD；
（2）求证：AD∥BE；
（3）若BF平分∠ABC，请写出∠AFB与∠CAF的数量关系．（不需证明）
4．如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE，
∴∠CGF＝90°，
∵∠1＝∠D，
∴AF∥，
∴∠4＝＝90°（），
又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，
∴∠C＝，
∴AB∥CD．
5．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之
间的数量关系，并说明理由．
②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F，得到图2，
形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM＝∠ABN，∠CDM ＝∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．
6．已知：∠BDG+∠EFG＝180°，∠B＝∠DEF．
（1）如图1，求证：DE∥BC．
（2）如图2，当∠A＝∠EFG＝90°时，请直接写出与∠C互余的角．
7．如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．已知∠EMB＝112°，∠PNC＝34°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN＝1：3，求∠PQD的度数．
8．已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C．
（1）求证AB∥CD；
（2）若∠A＝30°，求∠D的度数．
9．完成下面的证明：
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°．
证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠CED（）
又∵∠BFD＝∠CED（已知），
∴∠A＝∠BFD（）
∴DF∥AE（）
∴∠EGF+∠AEG＝180°（）
10．如图，若∠ADE＝∠ABC，BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
参考答案1．解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠3，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）过F作作FQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥FQ，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝CDE＝＝40°，∵CD∥FQ，
∴∠DFQ＝∠CDF＝40°，
∵∠DFB＝25°，
∴∠BFQ＝15°，
∵AB∥FQ，
∴∠ABF＝∠QFB＝15°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝30°；
（3）过P作PK∥AB，则PK∥DG，
∴∠BPK＝∠ABP＝30°，
∵PQ平分∠BPG，
∴∠GPQ＝∠BPQ，
设∠GPQ＝∠BPQ＝x，
∴∠GPK＝2x+30°，
∵DG∥PK，
∴∠DGP＝∠GPK＝30°+2x，
∵GM平分∠DGP，
∴∠DGM＝∠PGM＝DGP＝15°+x，
∵PQ∥GN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∴∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝15°，
故答案为：15°．
2．解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，
∵∠ACD＝∠D，
∴AP∥BD，
∴∠NBD＝∠NPA，
∵∠GAC＝∠NBD，
∴∠GAC＝∠NPA，
∴GH∥MN；
（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，
∵∠E+∠EAQ+∠AQE＝180°，∠EQA+∠AQD＝180°，∴∠AQD＝∠E+∠EAQ，
∵AC∥BD，
∴∠AQD＝∠BDQ，
∴∠BDQ＝∠E+∠EAQ，
∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，
∴∠GAC＝2∠EAQ，∠CDB＝2∠BDQ，
∴∠CDB＝2∠E+∠GAC，
∵∠AED＝∠GAC，∠ACD＝∠CDB，
∴∠ACD＝2∠GAC+∠GAC＝3∠GAC；
（3）设射线BF交GH于I，
∵GH∥MN，
∴∠AIB＝∠FBM，
∵BF平分∠MBD，
∴∠DBF＝∠FBM＝，
∴∠AIB＝∠DBF，
∵∠AIB+∠KAG＝∠AKB，∠AKB＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠DBF+∠KAG，
∵∠KAG＝∠GAC，∠GAC＝∠NBD，
∴∠GAC+＝∠ACD＝3∠GAC，
即∠GAC+∠GAC＝3∠GAC，
解得∠GAC＝．
故答案为．
3．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAF＝∠DAE+∠CAF，
∴∠BAF＝∠CAD；
（2）∵∠BAC＝∠DAF，∠ACB＝∠CFE＝∠AFD，∴∠B＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BE；
（3）如图2，∵AD∥BE，
∴∠E＝∠1＝∠2，
∵BF平分∠ABC，
∴∠3＝∠4，
∵∠AFB是△BEF的外角，
∴∠AFB＝∠4+∠E＝∠4+∠1，
∴∠AFB＝3+∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2＝180°，
即2∠AFB+∠CAF＝180°．
故答案为：2∠AFB+∠CAF＝180°．
4．证明：如图所示：
∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°，
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥ED，
∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），
又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，
∴∠C＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：已知，已知，ED，两直线平行，同位角相等；∠3，内错角相等，两直线平行．5．解：（1）①如图1，过E作EF∥AB，
∴∠FEB+∠EBA＝180°，
∵CD∥AB，EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠CDE+∠DEF＝180°，
∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，
②如图2，过点B作GB∥CD，
∴∠BFD＝∠GBF，
由（1）知∠GBE+∠E+∠D＝360°，
∴∠B+∠E+∠D+∠BFD＝360°；
（2）如图3，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∵∠ABM＝∠ABN，∠CDM＝∠CDN，
∴设∠MBN＝x，∠MDN＝y，则∠MDC＝2y，∠ABM＝2x，∠EBN＝3x，∠EDN＝3y，∴∠BMF＝2x，∠DMF＝2y，∠ABE＝6x，∠CDE＝6y，
∴∠BMD＝2（x+y），
过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣6x，∠DEG＝180°﹣∠CDE＝180°﹣6y，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝360°﹣（6x+6y）＝360°﹣3∠BMD，
∴3∠BMD+∠BED＝360°．
6．（1）证明：∵∠EFD+∠EFG＝180°，
∠BDG+∠EFG＝180°，
∴∠BDG＝∠EFD，
∴BD∥EF，
∴∠BDE+∠DEF＝180°，
又∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE+∠B＝180°，
∴DE∥BC；
（2）解：∵∠A＝∠EFG＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，∠B+∠C＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠B＝∠DEF，
∴与∠C互余的角有∠B，∠ADE，∠DEF．
7．（1）证明：∵∠EMB＝112°，
∴∠PMN＝112°，
∵NP平分∠EN，
∴∠CNE＝2∠CNP，
∵∠CNP＝34°，
∴∠CNE＝68°，
∴∠PMN+∠CNE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠APN＝∠PMN+∠PNM＝112°+34°＝146°，∵∠APQ：∠QPN＝1：3，
∴∠APQ＝36.5°，
∵AB∥CD，
∴∠PQD＝∠APQ，
∴∠PQD＝36.5°．
8．解：（1）∵∠1＝∠2，∠1＝∠FMN，
∴∠2＝∠FMN，
∴CF∥BE，
∴∠C＝∠BED．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠BED，
∴AB∥CD．
（2）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D．
又∵∠A＝30°，
∴∠D＝30°．
9．证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等）
又∵∠BFD＝∠CED（已知），
∴∠A＝∠BFD（等量代换）
∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）
∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
10．解：∠1与∠2相等．理由如下：
∵∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴∠1＝∠EBC，
∵BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，
∴BE∥MN，
∴∠EBC＝∠2，∴∠1＝∠2．。