数学北师大版必修4教学教案-1.3-弧度制-(5)-含答案

《弧度制》教学设计
一：教材分析：
本节课的教学内容是北师大版数学必修四第一章：三角函数
§1.3弧度制，本节课是新概念引入课，也是学习三角函数的基础，因此本节课在三角函数的学习中起到至关重要的作用，本节课主要借助生活情境体会学习弧度制的必要性，借助问题串及小组探究形式，让学生体会类比，以旧知为基础学习新知的迁移转化等重要数学思想的应用。

二：学情分析：从学生知识水平看（1）在学习本节前，学生已经学习了角的概念的推广，认识角分为正角，负角，零角，因此在本节课的教学中在引进弧度数之后，明确了角可以用一个实数来表示，从而顺利得到任何一个角都可以和一个实数一一对应。

（2）初中学生已经学习了用角度制表示一个角，角度制下扇形的弧长与面积公式，因此在本节课教学可以借助这些已有的知识，通过观察，分析，类比，归纳，帮助学生理解弧度制的概念，角度制与弧度制的转化，弧度制下扇形的弧长公式与面积公式；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力，思考的能力，探究的能力，计算的能力，数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供问题串及合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组探讨，合作交流，部分投影展示等活动培养学生的自主学习，合作学习及数学表达能力。

三：设计思想：
《弧度制》是角的的一种新的表示，是角问题的延续与拓展。

本节课我的设计理念是：从生活实际出发，以问题串为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放，民主，和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与及积极性，让学生经历“自主，探究，合作”的过程中，体验从生活中感受数学，并通过分析，类比，归纳，探究，展示，交流等一系列思维活动，在教师的适当引导，组织下主动的建构数学知识的过程。

同时渗透“类比”“转化与化归”等重要数学思想方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”
四：教学目标：
（1）知识与能力：
a:理解1弧度的角、弧度制的定义，体会弧度是一种度量角的单位
b:掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数，
c：体会弧度制定义的合理性，并能初步运用弧度制表示弧长公式，解决相关问题。

d：理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系
e：熟练运用弧度制下扇形的相关公式。

（2）过程与方法：通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，在学习过程中探究角度制与弧度制之间的互化，理解弧度的作用和适用性(3)情感.态度.价值观：通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习3：教学重点
弧度制概念的理解，正确地进行角度与弧度的换算.
4：教学难点
弧度制的建立与应用
五：教学准备：
1：投影仪
2.多媒体课件
六：教学过程：
（一）检查预习任务：阅读课本第9页至12页
（二）创设情境引入新课：
【教师提问】：在我们班谁最高？他有多高？他的身高可以用什么单位度量？（学生齐声回答）
[教师提问]：除了常见的米，厘米等单位还能用尺或寸度量吗？（学生齐声回答）
[教师引导启发]：同一事物可以用不同的量来度量，如身高可以用米，厘米来度量也可以用尺或寸来度量，体重可以用千克度量也可以用磅来度量（设计意图是问题来源于实际生活，可以激发学生的兴趣，使学生顺畅的得到新知）上节课我们学习了任意角的概念，这节将学习度量角的一个重要的量。

[教师提问]：在初中几何里，我们学过角的度量，是利用什么制度来度量角的呢？1度的角是怎样定义的呢?将1度的角放在不同半径的
圆中1度角的大小会发生改变吗？1度的角与圆的半径有关系吗？（学生齐声回答）那么角还有没有新的度量方法呢？
（教师顺势引导点明我们这节课要学习的内容，从而引出概念，这样以旧引新，符合学生的认知规律），本节课我们学习角的新的度量方法——弧度制。

[教师提问]：什么叫弧度制？什么叫1弧度的角？前面我们介绍了任意角，本节课我们分两种情况进行讨论（1）0°—360°（2）任意角
（三）新知探究
1：投影仪投射课本第9页（学生观看并阅读）理清两个问题
在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应.
当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等.
2：阅读并观察表格
通过表格阅读：
[教师提问]：通过对课本的阅读，回答（1）在半径不同的同心圆中，通过度量和计算，同样的圆心角对应的弧长与半径一样吗？（被教师点名的学生回答：“不一样”）（2）那从表格观察什么值是一样的呢？（被教师点名的学生回答：同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数）
教师顺势引导的出：我们称这个常数为该角的弧度数，把利用弧度数表示角的制度叫弧度。

[教师提问]：那在弧度制下1弧度的角如何定义呢？（教师提示1弧度的角就是弧度数为1的角)
[学生答,教师完善]：长度等于半径长的弧所对的圆心角就是1弧度的角，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1rad.
[教师提问]：长度等于半径长的弧所对的圆心角就是1弧度的角,那等
于2r 的弧所对的圆心角是几弧度？3r 呢？4r 呢？那前面已经将角
推广到任意角，有正负之分，弧度数有正负之分吗？
结论：（1）一定大小的圆心角与半径大小无关，意在说明弧度制定义
的合理性。

（2）意在理解弧度制的概念
（3）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零的弧度制
为0。

（4）让学生自己得出圆心角弧度数的绝对值等于弧长比半径即
r l
=α
设计意图：教师通过问题串的形式引导学生得出弧度制及1弧度的角的定义，r l
=α，为探究角度制与弧度制的互化做出铺垫。

（3）探究一、〈角度制与弧度制的互化〉
课件展示，小组合作
1、(一）角度化成弧度 （二）弧度化成角度
360°的圆的弧长=2πR
360°= rad 2πrad= 360° 180°= rad πrad = °
1°= rad 1rad = °
1°≈ rad 1rad ≈ ° 结论：01745.01801≈=︒rad π '18573.571801︒︒︒
=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad （上述公式均学生小组讨论完成）
六、特殊角的度数与弧度数的对应表
）
（设计意图有两个方面：一是熟悉角度制与弧度制的换算，二是强化特殊角的度数与弧度数的对应关系，为以后的学习打下基础）3：弧度数与实数之间有什么样的对应关系？
设计意图：使学生明白角的概念推广后，在弧度制下，角的集合和实数集之间建立了一一对应的关系：即每个角都有唯一的一个实数与它对应。

[探究活动后教师总结提高]：从今天弧度制的学习，我们发现弧度制与角度制的不同在于弧度制是用一个数来表示角，不同的角，对应不同的弧度数。

因此这种度量方法有效的把角的弧度单位与长度单位统一起来，确立了角的弧度数与十进制实数间的对应关系，比60进制的角度制更显简洁与方便。

（四）典例讲解，课堂训练
(幻灯片题组)
例1：将下列各角度与弧度互化．
（1）45° （2）35π（教师与同学共同完成，教师板书）
同类型训练
（1） -210 （2）67°30′ （3）- -94
π （4）－3 【检查方式】：学生做题后投影仪展示对比几名学生的做题情况，
指出存在问题，强调注意事项及规范学生书写。

【设计意图】：通过弧度与角度的互化，掌握换算公式。

【题目小结】（由学生做题感悟后总结角度制与弧度制互化应该乘以
几？）
(4) 探究任务二、（扇形弧长公式与面积公式应用）
探究方式：小组合作
已知r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.
小组合作：以l
r α=，角度制之下扇形弧长，面积公式为基础，探讨出弧度制之下的新的公式： 设计意图：对弧度制概念的应用及数学类比思想的体现。

通过合作交
L r α=⋅12
S lr =212S r α=⋅
流培养学生借用旧知解决新知的迁移能力和合作意识和创新能力例2、（幻灯片题组）
若在一个圆中，若2弧度的圆心角所对的弧长是4cｍ，求这个圆的半径及此圆心角所在的扇形面积？
变式1：若将例2中的2弧度改为45°呢？
变式2：若一扇形的圆心角为45°，半径4ｍ，扇形的弧长以及扇形的面积？
【设计意图】：熟练运用扇形弧长公式及面积公式
【题目小结】在弧度制中求扇形面积时圆心角必须是？答：弧度数。

七：课堂小结
1、教师引导，由学生思考，说说通过本节课的学习，你有哪些收
获？对你有什么启示？
2、教师总结：
⑴弧度制及1弧度的角的定义以及弧度制与角度制的互化。

⑵弧度制下的扇形相关公式。

⑶弧度制在角与实数之间建立了一一对应关系。

八：作业布置（课本第12页1，2, 8）
九：思考题：用弧度制表示象限角，轴线角，同终边的角，扇形面积的最值问题(课件布置)
（1）尝试用弧度制表示象限角，轴线角及同终边的角。

(2) 扇形面积的最值问题：
已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，
才能使扇形的面积最大，最大面积是多少？
十：板书设计
十一：教学反思
本节课的设计思想是：通过现场情境以问题串的形式逐步引出本节课题并结合投影仪，ppt等多媒体手段辅助学生小组的探究活动，类比引入弧度制这个概念，通过小组的合作学习由特殊到一般、由易到难，逐步突破弧度制的概念一难点并让学生通过在合作中完成角度制与弧度制的转化及利用初中所学角度制中的扇形弧长，面积公式顺畅
得出弧度制下扇形的相关公式。

本节课多次采用了问题串和合作式的学习方式，这既是“课改”新教学理念，也是实施新课程的创新教学行为，通过学生自主学习方式，再加以教师的引导有利于问题的解决和教学目标的实现，有利于培养学生合作意识和合作技能，有利于学生之间的交流与沟通，有利于培养学生的迁移能力和创新精神，本节课师生互动良好，完成度较高，但也存在一些不足，由于弧度制是学生刚接触的新概念，课堂推进起来并没有教师想象的那么快，不过鉴于所教学生的实际学情，教学中还要注重分层推进，稳扎稳教的教学模式，既照顾到优秀学生，不断提高他们的分析问题解决问题的能力，发展他们的迁移能力及创新意识，又能照顾到普通学生，夯实基础，为后续学习打下坚实的知识“地基”。