2024年九年级数学下册第二章二次函数单元测试北师大版

二次函数

(时间：100分钟满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是(C )

A．直线x ＝12B．直线x ＝－12

C．y 轴D．直线x ＝22．将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为(D )

A．y ＝(x ＋1)2＋4B．y ＝(x ＋1)2＋2

C．y ＝(x －1)2＋4D．y ＝(x －1)2＋2

3．(2023·河南)二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图所示，则一次函数y ＝x ＋b 的图象一

定不经过(D )

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

第3题图第6题图第7题图第10题图

4．(2023·大连)已知抛物线y ＝x 2

－2x －1，则当0≤x ≤3时，函数的最大值为(D )

A．－2B．－1C．0D．2

5．将抛物线y ＝(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到

的抛物线的表达式为(B )

A．y ＝x 2－8x ＋22B．y ＝x 2＋4x ＋2

C．y ＝x 2＋4x ＋10D．y ＝x 2－8x ＋14

6．如图，二次函数y ＝a (x ＋2)2＋k 的图象与x 轴交于A ，B (－1，0)两点，则下列说法

正确的是(D )

A．a ＜0B．点A 的坐标为(－4，0)

C．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D．图象的对称轴为直线x ＝－2

7．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14

x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为(C )

A．3m B．26m C．9m D．43m

8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象与一次函数y ＝2ax ＋b 在同一平面直角坐标系中的

图象可能是(A )

9．已知直线y ＝kx ＋2经过第一、二、三象限，则直线y ＝kx ＋2与抛物线y ＝x 2－2x ＋3的交点个数为(C )

A．0个B．1个C．2个D．1个或2个

10．(2023·营口)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－3，0)和点B (1，

0)，与y 轴交于点C .下列说法：①abc <0；②抛物线的对称轴为直线x ＝－1；③当－3<x <0

时，ax 2＋bx ＋c >0；④当x >1时，y 随x 的增大而增大；⑤am 2＋bm ≤a －b (m 为任意实数)，其中正确的个数是(C )

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．二次函数y ＝－3x 2－2的最大值为__－2__．

12．在函数y ＝(x －1)2

中，当x ＞1时，y 随x 的增大而__增大__．(填“增大”或“减小”)

13．(2023·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m 处达到最高，高度为3m，

水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为__94

_m__.14．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是__(－2，0)__．

15．(2023·武汉)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，c ＜0)经过(1，1)，(m ，0)，

(n ，0)三点，且n ≥3.下列四个结论：①b ＜0；②4ac －b 2＜4a ；③当n ＝3时，若点(2，t )

在该抛物线上，则t ＞1；④若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝x 有两个相等的实数根，

则0＜m ≤13

.其中正确的是__②③④__(填写序号).三、解答题(共75分)

16．(8分)已知二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：x …－1012

34...y (10521)

25…

(1)求该二次函数的表达式；

(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？

解：(1)y ＝(x －2)2＋1

(2)当x ＝2时，y 有最小值117．(9分)如图，已知经过原点的抛物线y ＝2x 2＋mx 与x 轴交于另一点A (2，0).

(1)求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；

(2)求直线AM 的表达式．

解：(1)∵抛物线y ＝2x 2＋mx 与x 轴交于点A (2，0)，∴2×22＋2m ＝0，∴m ＝－4，∴y ＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，∴顶点M 的坐标为(1，－2)

(2)设直线AM 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵图象过A (2，0)，M (1，－2)，k ＋b ＝0，＋b ＝－2，

＝2，＝－4，

∴直线AM 的表达式为y ＝2x －418．(9分)已知二次函数y ＝2(x －1)(x －m －3)(m 为常数).

(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；

(2)当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？

解：(1)当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝

－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点

(2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6.∴当2m＋6>0，即m>－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方

19．(9分)(2023·兰州)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m.

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．

解：(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对称轴为直线x＝1，设y关于x

的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c

＝10，

a＋3b＋c＝7，

－

b

2a

＝1，

＝－1，

＝2，

＝10，

∴y关于x的函数表达

式为y＝－x2＋2x＋10(2)在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝－x2＋2x＋10，解得x＝11＋1或x＝－11＋1(舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(11＋1)米

20．(9分)(2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120－3x)米，根据题意得：S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x＝－3(x－20)2＋1200，∵－3<0，∴当x＝20时，S取最大值1200，∴120－3x＝120－3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米时，花园面积最大为1200平方米(2)设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2－m＝(2400－m)株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m＋15(2400－m)≤50000，解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹