北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第1节 为什么要证明

例 4：观察下列关于自然数的等式： (1)32－4×12＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性．
解：(1)4,17 (2)第 n 个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝ 右边，∴第 n 个等式成立．
练习：下列问题你不能肯定的是( D )
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积的大小关系 B．三角形的内角和 C．八边形的外角和 D．三角形与矩形的面积关系
课程导入2：
代数式n2＋ n＋41的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4， 5试一试，你能否 由此得到结论：对于所有自然数n2＋ n＋41的值都是质数？与同伴进行交流.
2.在学习中，小明发现：当 n＝1,2,3 时，n2－6n 的值都是负数，于是小明猜想：当 n 为 任意正整数时，n2－6n 的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不正确．理由为：当 n＝6 时，n2－6n＝62－6×6＝0；当 n＞ 6 时，n2－6n＝n(n－6)＞0.
练习：观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …
请猜测，第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 100n(n－1)＋25 .
证明的必要性
1.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是不够的，
解：小明的猜想正确，理由：因为 n 为奇数，所以可设 n＝2k+1（k 为自然数）， 所以 n2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝（2k+1+1）（2k+1﹣1）＝（2k+2）×2k＝4k（k+1）， 因为 k 为自然数，所以 k，k+1 是相邻的自然数， 所以 k，k+1 中必有一个是偶数，一个是奇数，所以 k（k+1）必定是 2 的倍数， 所以 4k（k+1）必定是 8 的倍数，故当 n 为任意正奇数时， n2﹣1 的值一定是 8 的倍数．
例 3：在学习中，小明发现：①32﹣12＝9﹣1＝8＝1×8；②52﹣12＝25﹣1＝24＝3×8；③112 ﹣12＝121﹣1＝120＝15×8；④172﹣12＝289﹣1＝288＝36×8﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 于是小明猜想：当 n 为任意正奇数时，n2﹣1 的值一定是 8 的倍数，你认为小明的猜想正确 吗？请简要说明你的理由．
练习：假如用一根比地球赤道长 11 m 的铁丝将地球赤道 围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能站下一圈 1.75 m 的人吗？
解：如图，设地球半径为 R m，周长比地球赤道长 11 m 的圆的半径为 r m， 则 2πr－2πR＝11，r－R＝21π1 ≈1.751(m)＞1.75 m，所以铁丝与赤道之间 的间隙能站下一圈 1.75 m 的人．
3.一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的十位数字与个位数字对 调，将得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗？我们可验证一下：比 如23，把它的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数32，而23＋32＝55，因 此我们断定，这两个数的和能被11整除．问：上述说法正确吗？
解：上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下推理：原两位 数为10a＋b，得到的新两位数为10b＋a，(10a＋b)＋(10b＋a)＝11(a＋b)， 因为11(a＋b)是11的整数倍，所以这两个数的和能被11整除．
练习：当 n＝1，2，3，4，5 时，代数式 n2+n 的值都是偶数，于是小莹得出了当 n 取任何 正整数时，代数式 n2+n 的值都是偶数这一结论，你认为这一结论正确吗？若正确，请说明 理由；若不正确，请举反例． 解：正确．因为 n2+n＝n（n+1），即 n2+n 的值为任意两个连续自然数的积，所以 n2+n 的 值都是偶数．
4.观察下列各式：21×2＝21＋2；32×3＝32＋3；43×4＝43＋4；54×5＝54＋5；…
北师大版八年级数学（上）
第七章 平行线的证明
7.1 为什么要证明
课程导入1：
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！ (1)图1中两条线段a, b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先
观察，再设法检验你观察到的结论.
图1
必须进知行识有点根有据的证明．
2.没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏着错误． 3.对一个结论要肯定其是正确的，必须通过一步一步推理，论证才能下 结论．
课后练习：
1.下列推理正确的是( B )
A．弟弟今年 13 岁，哥哥比弟弟大 6 岁，到了明年，哥哥比弟弟只大 5 岁了， 因为弟弟明年比今年长大了 1 岁 B．如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c C．∠A 与∠B 相等，原因是它们看起来大小也差不多 D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角
图2
（2）观察图，(1)中间的圆圈大还是(2)中间的圆圈大？
观察得到的结论不一定正确，眼睛看到的并不一定可靠，眼睛有时会产生一些 错觉，不是永远可信的，必须进行有根有据的证．今天阴天，明天必然下雨 B．两张照片看起来特别像，则肯定所照的是同一个人 C．乐乐在演讲比赛中一定能得到一等奖 D．两点之间线段最短
解：当 n＝40 时，代数式 n2＋n＋41＝402＋40＋41＝412,412 不是质数，∴当 n 为正整数时，代数式 n2＋n＋41 的值不全都是质数．
没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏着错误． 只有通过推理证明的方法研究问题，才能揭示问题的本质．
例2：我们知道：2×2＝4，2＋2＝4.试问：对于任意数a与b，是否一定有结论 a×b＝a＋b? 解：3×2＝6，而3＋2＝5，因为6≠5，所以不是对于任意数a与b，都有结论 a×b＝a＋b.