2012级高等数学上 期中考试卷2022

《 微积分（上） 》试卷A第 1 页 共 6 页
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华南理工大学期末考试

《 微积分（上） 》试卷A
（试卷号：2012期中 时间120分钟，总分100）
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；
2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)；
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共 五 大题，满分100分， 考试时间120分钟
。
题 号 一 二 三 四 五 总分
得 分
评卷人
一、填空题（每小题3分，15分）

1．已知函数fx在区间,上单调递增，则29fx的单调递增区间为[0,)

2．函数fx的定义域是,ab，则函数2bafxfx的定义域为,2baa
3．当0x时，2cosxxxee与nx是同阶无穷小，则n 5
4．设00002limxxxxffxaxx，则0fx2a
5. 设arctanfxx，则该函数在0,1上满足拉格朗日微分中值定理的41
二、计算下列各题（每小题5分，共25分）
6、求极限22212lim12nnnnnn

解 222222211121212121221nnnnnnnnnnnnnnnnn
又22111limlim2212nnnnnnnnn 3分
由夹逼准则222121lim122nnnnnn 2分

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___ ________ 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内
不
答
题
)

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密
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封

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线
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7、求极限202limsinxxxeex
解 22000022limlimlimlim1sin22xxxxxxxxxxxxeeeeeeeexxx 2+2+1分
8、设2sin2yyx，求22,dydydxdx
解 方程两边对x求导，视yyx，有2cos2yyy
即2cos2yy，解得22cosyy 2分
上面的方程两边对x再求导，视,yyxyyx，有

2
sin2cos0yyyy
，即2sin2cosyyyy 2分

因此34sin2cosyyy 1分
9、设2arccotxye，求0,xdydy
解 2222222222112111xxxxxxxedydeedxdxeee 4分

00xdy

1分

10、设xyxe，求ny
解 1xxxyexexe

1112xxxyexexe


2
12113xxxyexexe


3分

从而11nnxynxe
证明如下：当1n时，已经验证公式成立。
设nk时，11kkxykxe 2分

则1(1)111111kkkxxxyekxekxe，得证公式成立。
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三、 解答下列各题（每小题7分，共35分）
11、求心形线1cosr在2点处的切线和法线方程

解 cos1coscos,sin1cossinxryr
在2点处0,1xy， 2分

sincossin1cos,sinsin1coscosdxdydd

在2处有1,1dxdydd，从 而1dydx 3分
因此 切线方程为110yx，即1yx；
法线方程为110yx，即1yx 2分

12、设21sin,00,0xxfxxx，求导函数fx，并讨论fx在0x处的连续性

解 当0x时，2001sin010limlimsin00xxxxfxxx 2分
当0x时，22111112sincos2sincosfxxxxxxxxx

从而0,0112sincos,0xfxxxxx 2分
由于0011limlim2sincosxxfxxxx不存在，所以fx在0x处不连续 3分
13、设yyx是方程23ln1sinxyxyx确定的隐函数，求3limnnyn
解 当0x时，方程化为ln10y，从而对应00y
方程两边对x求导，视yyx，有23223cos1xyxyxyxxy
代入0x，0y，得0cos01y 4分
从而0303limlim33033nxyxynyynx 3分
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14、用泰勒公式求极限20sin1limln1xxexxxxx
解 由泰勒公式


223311ln1,1,sin2!3!x
xxoxexxoxxxxox
3分

从而223322001111sin12!3!limlimln1xxxxxoxxxoxxxexxxxxxxox




2333

33
01111131126lim2663xxxxxoxxxxox






4分

15、求函数21fxxx的极值

解 3333,1,10,01,1xxxxxxfxxxxxxx，222213,131,1013,0131,1xxxxfxxxxx
令2130x，得驻点12331,0,0,133xx 3分
列表
x
,1 31,3 3,03 30,3 3,13 
1,

y

- + - + - +
y
单调减 单调增 单调减 单调增 单调减 单调增

从而函数有极大值333123133339yy

极大值0110yyy 4分
四、 证明题（每小题6分，共12分）
16、证明不等式：当0x时，1ln1ln2xxxx

证 设1ln1lnln1ln11ln22xfxxxxxxxxx
则fx在0x时连续、可导，且lnln1ln2fxxx
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令lnln1ln20fxxx，得1x 3分
又111,11012fxfxx，从而函数有极小值且为最小值10f
故当0x时10fxf，即1ln1ln2xxxx 3分
17、设函数fx在0,内可微，且lim0xfxfx。试证lim0xfx
证 由于lim0xfxfx，从而对所有0，对12，存在0X，当
xX
时1fxfx， 2分
对,xxFxfxeGxe，在,Xx上用柯西中值定理，则存在,Xx，使得


FxFXFGxGXG





即xXxXfxefXeffee，

也即1XxXxfxfXeffe 2分
又由于lim0Xxxe，对210,02XXfX，当1xX时2Xxe，
从而当1xX时2122fxfX，从而lim0xfx 2分
五、应用题（本题13分）
18、研究函数2arctanyxx的性态（包括单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线等），
画出简图，并根据b的具体取值范围讨论方程2arctanxxb的根的情况。
解 函数定义域为,、为奇函数，非周期函数

22221111xyxx，令2
2
101xyx





得驻点1x；



22

22
22

2121411xxxxxyxx




，令0y得0x

列表 5分
x
,1 1 1,0 0 0,1 1 
1,

y

+ 0 - - - 0 +

y

- - - 0 + + +
y
单调增、凸 极大 单调减、凸 单调减、凹 极小 单调增、凹