2012级高等数学上 期中考试卷2022

,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

《 微积分（上） 》试卷A

（试卷号：2012期中 时间120分钟，总分100）

1. 考前请将密封线内填写清楚；

所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)； ．考试形式：闭卷；

．已知函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，则()

29f x +的单调递增区间为[0,)+∞ ．函数()f x 的定义域是[],a b ，则函数()2b a f x f x -⎛⎫-+

⎪⎝⎭的定义域为,2b a a +⎡⎤

⎢⎥⎣

⎦ ．当0x →时，2

cos x x x e

e -与n x 是同阶无穷小，则n = 5

．设()0000

2lim x x x x f f x a x x →+⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，则()0f x '=2a 设()arctan f x x =，则该函数在[]0,1上满足拉格朗日微分中值定理的ξ=5分，共25分） 、求极限2221

2lim 12n n n n n n →∞⎛⎫

+++

⎪+++⎝

⎭

()

()

()()

222222211121212121221n n n n n n n n n n n n n n n n n ++++++++=≤+++≤=+++++++

又()

()

()

()

22111

lim

lim

2

212n n n n n n n n n →∞

→∞

++==

++ 3分 222

121

lim 122

n n n n n n →∞⎛⎫+++

= ⎪+++⎝

⎭ 2分

7、求极限2

02

lim sin x x x e e x -→+-

解 22000022lim

lim lim lim 1sin 22x x x x x x x x

x x x x e e e e e e e e x x x ----→→→→+-+--+==== 2+2+1分 8、设2sin 2y y x -=，求

22,dy d y

dx dx

解 方程两边对x 求导，视()y y x =，有2cos 2y y y ''-⋅= 即()2cos 2y y '-⋅=，解得2

2cos y y

'=

- 2分

上面的方程两边对x 再求导，视()(),y y x y y x ''==，有

()()2

sin 2cos 0y y y y '''⋅+-⋅=，即()

2

sin 2cos y y y y

'⋅''=-

- 2分 因此()

3

4sin 2cos y

y y ''=-

- 1分

9、设()2

arccot x y e =，求0

,x dy dy

=

解 ()

()()

()2

2

2

2

2

2

22

2

21

12111x x

x x x

x

xe dy d e e d x dx e

e e =-

=-

=-+++ 4分

00x dy == 1分

10、设x

y xe -=，求()n y

解 ()1x

x x y e

xe x e ---'=-=-

()()()()1112x x x y e x e x e ---''=-+--=--

()()()()()2

12113x x x

y e x e x e ---'''⎡⎤=--+--=--⎣⎦

3分 从而()

()

()1

1n n x y

n x e --=--

证明如下：当1n =时，已经验证公式成立。 设n k =时，()

()()1

1k k x y k x e --=-- 2分

则()

()

()()()

()1

(1)1

11111k k k x x

x

y

e k x e k x e -+-+---⎡⎤=--+--=-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得证公式成立。

三、 解答下列各题（每小题7分，共35分） 11、求心形线1cos r θ=+在2

π

θ=

点处的切线和法线方程

解 ()()cos 1cos cos ,sin 1cos sin x r y r θθθθθθ==+==+ 在2

π

θ=

点处0,1x y ==， 2分

()()sin cos sin 1cos ,sin sin 1cos cos dx dy d d θθθθθθθθθθ

=--+=-++ 在2πθ=处有1,1dx dy d d θθ=-=-，从 而1dy dx

= 3分

因此 切线方程为()110y x -=⋅-，即1y x =+；

法线方程为()110y x -=-⋅-，即1y x =- 2分

12、设()2

1sin ,00,0x x f x x

x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩，求导函数()f x '，并讨论()f x '在0x =处的连续性 解 当0x =时，()2001

sin 0

10lim lim sin 00x x x x f x x x →→-'===- 2分

当0x ≠时，()2

2111112sin cos 2sin cos f x x x x x x x x x

-'=+⋅=-

从而()0,0

11

2sin cos ,0x f x x x x x =⎧⎪

'=⎨-≠⎪⎩

2分 由于()0

11lim lim 2sin

cos x x f x x x x →→⎛⎫

'=- ⎪⎝⎭

不存在，所以()f x '在0x =处不连续 3分 13、设()y y x =是方程()

23ln 1sin x y x y x ++=+确定的隐函数，求3lim n n y n →∞

⎛⎫

⋅

⎪⎝⎭

解 当0x =时，方程化为()ln 10y +=，从而对应()00y = 方程两边对x 求导，视()y y x =，有

232

23cos 1

x y x y x y x x y '

+'=++++ 代入0x =，0y =，得()0cos01y '== 4分 从而()()()0

303lim lim 33033n x y x y n y y n x →∞

→-⎛⎫'⋅=⋅==

⎪⎝⎭

3分