§3.3 定积分(学生)

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高三数学第一轮复习 定积分的定义与性质教案(学生)

高三数学第一轮复习  定积分的定义与性质教案(学生)

芯衣州星海市涌泉学校教案35定积分的定义与性质一、课前检测1.221(21)x x dx ++=⎰;2.由抛物线2y x =与直线2y x =-围成的平面图形的面积为.3.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200N ,变力F 做的功W 为J.二、知识梳理1.定积分的概念:设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义,将区间[,]a b 等分成n 分小区间,每个小区间长度为x ∆(x ∆=),在每个小区间上取一点,依次为12,,,,i n x x x x ,作和n S =.假设x ∆无限趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时,n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记为S =,其中称为被积函数,称为积分区间,称为积分下限,称为积分上限,解读:2.微积分根本定理:对于被积函数()f x ,假设()()F x f x '=,那么()b a f x dx ⎰=. 解读:3.定积分的运算性质:⑴()b a kf x dx ⎰=;⑵[()()]b a f x g x dx ±=⎰; ⑶()b a f x dx =⎰.()a c b << 解读:4.定积分的几何意义:在区间[,]a b 上曲线与x 轴所围成图形面积的(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积);⑴当()f x 在区间[,]a b 上大于0时,()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a xb a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积,这也是定积分的几何意义.⑵当()f x 在区间[,]a b 上小于0时,()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a xb a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积的.⑶当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时,()ba f x dx ⎰表示介于直线,()x a xb a b ==≠之间x 轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的.解读:5.定积分在物理中的应用:⑴匀变速运动的路程公式,作变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数()v t 在时间是是区间[,]a b 上的定积分,即s =.⑵变力做功公式,一物体在变力()F x (单位:N )的作用下作直线运动,假设物体沿着与F 一样的方向从x a =挪动到()x b a b =<(单位:m ),那么力F 所作的功为W =.解读:三、典型例题分析例1求定积分⑴21⎰(2x2-)dx ;⑵32⎰(+)2dx ;〔3〕30π⎰(sinx -sin2x)dx ;小结与拓展:变式训练:求定积分:222||x x dx --⎰;定积分的几何意义:例2求曲多边形的面积〔1〕如图,函数y =-x2+2x +1与y =1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),那么该闭合图形的面积是()A .1B.C.D .2〔2〕函数y =x2与y =kx(k >0)的图象所围成的阴影部分(如下列图)的面积为,那么k =________.变式训练:f(x)为偶函数且60⎰f(x)dx =8,那么66-⎰f(x)dx 等于()A .0B .4C .8D .16小结与拓展:定积分在物理中的应用例3一质点运动时速度与时间是是的关系为v(t)=t2-t +2,质点作直线运动,那么此物体在时间是是[1,2]内的位移为()A.B.C.D.变式训练:一辆汽车的速度—时间是是曲线如下列图,那么该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米. 小结与拓展:四、归纳与总结〔以学生为主,师生一一共同完成〕1.知识:2.思想与方法:3.易错点:4.教学反思〔缺乏并查漏〕:x 01o x y3。

定积分的几何应用例题与习题(学生用)电子教案

定积分的几何应用例题与习题(学生用)电子教案

定积分的几何应用例题与习题11cos ,(0),24L ππρθθθΓ=+≤≤=Γ、曲线的极坐标方程求该曲线在所对应的点处的切线的直角坐标方程,并求曲线、切线L 与x 轴所围图形的面积。

212122,1,1(1)2y ax y x S x S a a S S x ===<+、设直线与抛物线所围成的面积为它们与直线所围成的面积为并且试确定的值,使达到最小,并求出最小值;()求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

{}03(,)01,01:(0)(),()(0)xxoy D x y x y L x y t t S t D l S t dt x =≤≤≤≤+=≥≥⎰、设平面上有正方形及直线若表示正方形位于直线左下部分的面积试求4、0)x y ex x -=≥求由曲线与轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V332cos (0,)42sin 11)5x a ta t y a t a πππ⎧=⎪>≤≤⎨=⎪⎩5、求由曲线与直线y=x 及y 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得立体的全表面积。

(S=(6.0,(0)02(),()()()()(1)(2)lim()()()()2,lim 1()()x xt t e e y x x t t y x V t S t x t F t S t S t V t F t S t S t V t F t -→+∞→+∞+===>=====曲线与直线及围成一曲边梯形,该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为侧面积为,在处的底面积为求的值;计算极限22333(sin )(1cos )3,(2)5,(3)6x y a t t a t a V a V a ππππ--≤≤===7、求由摆线x=,y=的一拱(0t 2)与横轴所围成的平面图形的面积,及该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。

(1)A 22222223A x y x y x A x V ππ+≤≥==-8、设平面图形由及所确定,求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

高中数学同步教学 第4章 §3 定积分的简单应用

高中数学同步教学 第4章 §3 定积分的简单应用

0
0
=π(12x2-15x5)|01=π(12-15)=π×130=130π.
• 4.由曲线y=x2,直线x=1,x=2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为 体V,积为________.
则 V=2π(x2)2dx=2πx4dx=5πx5|12=315π.
1
1
互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形16 的面积 为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化 为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积 分求出面积.为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直 线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点==xx的,2,横坐标.
第四章 定积分
• 本章知识概述:本章的主要内容是定积分的概念,计算和简 单应用.
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问 题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以 及定积分概念形成过程中的思路.微积分基本定理为我们 处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求 简单图形的面积和求简单旋转体的体积.
1.平面图形的面积 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_=__a_,x_=__b_(_a_≠_b_)_,y_=__0_和__曲__线__y_=__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积. 2.简单几何体的体积
得 x1=0,x2=1. 故所求图形的面积为
S=1xdx-1x2dx
0
0

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念,掌握定积分的基本性质和计算方法。

2. 能够运用定积分解决实际问题,提高学生的数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力,提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法,引导学生理解定积分的本质。

2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则,包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等,让学生掌握定积分的计算技巧。

3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题,引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题,提高学生的数学应用能力。

三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法,讲解定积分的概念、性质和计算方法。

2. 利用例题,引导学生掌握定积分的计算技巧。

3. 结合实际问题,培养学生运用定积分解决实际问题的能力。

4. 组织讨论,让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。

五、教学过程1. 引入:通过复习初中数学中的积分概念,引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。

2. 讲解:讲解定积分的定义、性质和计算方法,让学生理解定积分的本质。

3. 练习:布置定积分的计算练习题,让学生巩固所学知识。

4. 应用:结合实际问题,讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用,让学生体会定积分的实用价值。

6. 作业:布置课后作业,巩固所学知识。

六、定积分的性质与计算法则1. 性质:定积分具有线性性质,即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。

定积分与积分区间有关,即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。

定积分与积分函数的单调性有关,即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增,则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$,其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
极限
当n→∞时,积分和的极限存在,则称函数f(x)在[a,b]上 可积,该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n,取每个小区间的任意一点ξi,对应的函数值 为f(ξi),则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用,如计算变力做功、液体静压力等,需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域,如计算收益、成本等经济量,为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展,定积分与计算机技术的结合将越来越紧密,如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点,从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性,从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下,通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数,可以采用数值计 算方法(如牛顿法、梯度下降法等)来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积,如求解 由直线和曲线围成的图形面积等

物理应用
介绍定积分在物理中的应用,如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用,如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。

§3.3定积分换元法

§3.3定积分换元法

π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8.已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ,求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ,
0
a
(2)∵ f ( x ) 为偶函数,即 f (− x ) = f ( x ) ,
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2

6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2

一元函数积分学

一元函数积分学
ห้องสมุดไป่ตู้
2
3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义 设f ( x )是区间 I内的函数,若存在函数 F ( x ), 3.1 使得对 ∀x ∈ I , 恒有F ' ( x ) = f ( x )或
dF ( x ) = f ( x )dx,则称 F ( x )是f ( x ) 在区间 I内的一个原函数。

(sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数.
15
3.2.1 换元换元法
1、第一类换元法 问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
解决方法 利用复合函数,设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
16
在一般情况下: 设 F ′( u) = f ( u), 则
∫ f (u)du = F (u) + C .
如果 u = ϕ ( x )(可导)
( F [ϕ ( x)])' = f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)

∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
x
x µ ≠ -1两种情况求。 a x + C (a 0, a ≠ 1); (4) a dx = ln a
x
2
(7)∫
1
1 − x2
dx = arcsin x + C ;
11
(8)∫ sin xdx = − cos x + C ;

定积分的计算1

定积分的计算1

421§4 定积分的计算由于定积分的计算基于求原函数(即不定积分)的计算,对应于不定积分的换元积分法和分部积分法,定积分也有相应的换元积分法和分部积分法,此时要注意积分上下限的处理。

4.1 定积分换元法证 由假设知上式两端的被积函数是连续的,因此,原函数存在。

设()x F 是()x f 的一个原函数,用Newton-Leibniz 公式,则()()()a F b F dx x f ba-=⎰。

另一方面,()[]()()[]()[]()()a F b F F F dt t t f -=-='⋅⎰αϕβϕϕϕβα。

比较以上两式得式(4.1)。

注 (1) (4.1) 式称为定积分的换元公式,故称为定积分的换元法; (2) 应用公式(4.1)时,换元要注意换积分限;换元后,不一定有αβ>,要注意上下限对应关系α→a ,β→b ;(3) 换元的公式(4.1)从右到左进行,即为凑微分方法;(4) 从结论(4.1)看到,在用换元积分法计算定积分时,一旦得到了用新变量表示的原函数后,立即用相应的积分限代入,并求其差值就可以了。

亦即不必作变量还原,再用原来积分限去计算定积分的值。

这就是定积分换元法与不定积分换元法的区别。

这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数,理应采用与原来相同的自变量;而定积分的计算结果是一个确定的数,它与计算过程422中所采用的变量符号无关。

(5) 如果定理的条件中对f 只假定可积,但要求ϕ严格单调,那么(4.1)式仍然正确。

例4.1计算定积分0-ò。

解 代换:u x tan =,则00=→=u x ;41π-=→-=u x ;]0,4[π-∈u 时,[]0,1-∈x ,满足定理条件,故-ò42:tan 1sec sec x u udu up-==ò⎰-=04sec πudu 0tan sec ln π-+=u u)12ln(|12|ln 0--=--=例4.2 计算定积分⎰-2)1(dx x f ,其中()001111<≥⎩⎨⎧=++x x x f xe x。

1. 定积分概念(上课)

1. 定积分概念(上课)
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
1.借助于几何直观图了解定积分的基本思想. 2.掌握定积分的概念,能用定积分定义求简单的 定积分.(重点) 3.理解掌握定积分的几何意义. (难点)
1.了解定积分的实际背景. 2.理解“以直代曲”“无限分割”的思想,初步掌握 求曲边梯形面积的“三步曲”——“分割、求和、近
用其中一点的速度代替这段时间内的平均值,其
速度误差就越小.
比如,将滑行时间5s平均分成10份.
用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估
计值s2:
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125( m )
: 汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s2
通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.
输入数
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击确定.
练一练:
求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图 形的面积的估计值,并写出估计误差.(把区间 [0,1] 5等分来估计)
解析 把区间 [0,1] 5等分,以每一个小区间
左右端点的函数值作为小矩形的高,得到不足
估计值
s1 和过剩估计值 S1 ,如下:
b b
n n
定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 x ba ( x ) ,在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1, 2,, n ,作和式:
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0(亦即 n ) 时, 上述和式 S n

最新定积分的几何应用例题与习题(学生用)

最新定积分的几何应用例题与习题(学生用)

定积分的几何应用例题与习题1曲线】的极坐标方程T=「COSR(0),求该曲线在所对应的点处的切线L的2 4直角坐标方程,并求曲线〕、切线L与x轴所围图形的面积。

2、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的面积为S n它们与直线x =1所围成的面积为务并且a <1(1)试确定a的值,使S ' S2达到最小,并求出最小值;(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

3、设xoy平面上有正方形D = {(x, y) 0兰x乞1,0兰y兰1}及直线L:x+y = t(t^O)x若S(t)表示正方形D位于直线I左下部分的面积,试求S(t)dt(x _0)4、求由曲线y =e»J sinx|(x Z0)与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积乂35、求由曲线^aC0S3t(a -0^n<-)与直线y=x及y轴所围成的图形[y=asi n3t 4 2绕x轴旋转所得立体的全表面积。

X _x6. 曲线y = e e—与直线x = 0, x =t(t • 0)及y = 0围成一曲边梯形,该曲边梯2形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x = t处的底面积为F(t)(1) 求的值;(2)计算极限limV(t) t-和F(t)泄2伽抄 (1)V(t) -::F(t)7、求由摆线x=a(t -sint),y= a(1-cost)的一拱(0辽t辽2二)与横轴所围成的平面图形的面积, 及该平面图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。

(1)A=3二a2 , (2)V x =5二2a3 , (3)V y =6二3a38、设平面图形A由x2y2 -2x及y-x所确定,求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。

兀2 2V 二2 39设函数f (x), g(x)可微,且f (x)二g(x), g (x)二f (x), f (0) = 0, g(x) = 0.求:1)F(x)二丄©;(2)作出函数曲线y二F(x)的图形;(3)计算由曲线y = F(x)及直线g(x)x=0,x二b(b 0)和y =1围成的面积•(1) F(x)=1—飞^.e +1(2) 当XA0时,F"(x)c0,曲线上凸;当xc0时,F"(x)>0,曲线下凹,所以(0,0)为拐点,且y二_1为其水平渐近线•b b 2(3) S= °(1-F(x))dx= °孑”dx = 2b I n2-ln( 2b 1).10. 已知曲线y=a.x,(a 0)与曲线y = In ■■、x在点(x0, y0)处有公共切线,求(1常数a及切点(x0, y0);(2)两曲线与x轴围成的平面图形的面积;(3)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V(1 a =1 ,切点(e2,1) RjsJe2—1(3)V x :e 6 2 2x11. 对于指数曲线y =e2(1)试在原点与x(x 0)之间找一点.-v x (0 ::: x :: 1),使这点左右两边有阴影部分的面积相等,并写出 v的表达式(2)求lim v -?x T十x xt xe" -2e2 2lim J xj •2_ xx(e2 -1)12、抛物线y=ax2・bx,c通过点(0,0),且当0_x_1时,y_0,它和直线x = 1及y=0所围的图形的面积是4,问这个图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为最小值时,a,b与c的9值应为多少?5a ,b = 2,c = 0313、过点P(1,0)作抛物线y x-2的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形(如图),求此图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。

定积分基本计算公式

定积分基本计算公式

例12
计算
1
∫1
1
2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1 x
2
解 原式 = ∫1
1 x cos x 2x dx dx + ∫1 2 2 1+ 1 x 1+ 1 x
(a ≤ x ≤ b)
Φ = Φ( x + x ) Φ( x )
=∫
x + x a
f ( t )dt ∫ f ( t )dt
a
x
Φ(x)
o
a
x
x + x b
x
= ∫a f ( t )dt + ∫x
=∫
x + x x
x
x + x
f ( t )dt ∫a f ( t )dt
y
x
f ( t )dt ,
0
π
2
π 2
π 原式 = 2sin x cos x x = 3 . 0 2 2 2 x 0 ≤ x ≤ 1 , 求 ∫0 f ( x )dx . 例5 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5

∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当 x = 1时, f ( x ) = 5 ,
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
上连续, 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续, 并且设 x 为
[a , b]上的一点,考察定积分 上的一点, x x ∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt
上任意变动, 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动,则对 定积分有一个对应值, 于每一个取定的 x 值,定积分有一个对应值,所 以它在[a , b ]上定义了一个函数, 上定义了一个函数,

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理
高考总复习·数学理科(RJ)
第三章 导数及其应用
高考总复习·数学理科(RJ)
第三章 导数及其应用
(2)设 f(x)=x22-,xx,∈x[∈0,(11],,2],则20f(x)dx 等于(
)
3
4
A.4
B.5
5
6
C.6
D.7
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第三章 导数及其应用
【解析】 =0-a-(-1-0)=1-a=2, ∴a=-1.
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第三章 导数及其应用
【答案】 4-ln 3
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第三章 导数及其应用
【思维升华】 (1)根据定积分的几何意义可计算定积 分;
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ①画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图象; ②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积 分的上、下限; ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; ④计算定积分,写出答案.
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
跟踪训练 3 一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单
位:m)作用下,沿与 F(x)成 30°方向作直线运动,则由 x=1 运
动到 x=2 时,F(x)做的功为( )
A. 3 J
23 B. 3 J
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第三章 导数及其应用
【解析】 01(2x+
1-x2)dx=102xdx+10
1
1-x2dx=x2 +
0
41π×12=1+π4 .
π 【答案】 1+ 4
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定积分复习

定积分复习
b x
( x) f (t )dt, x a, b.
点集 有关. i
J是一个确定的 定义3 设f是定义在[a,b]的一个函数, 实数. 若对任给的正数 ,总存在某一正数 ,
使得对
[a,b]的任何分割T,以及在其上任意选取的点集 i ,只
要 || T || ,就有
f ( )x
i 1 i
n
i
J ,
则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积;数J称为f在[a,b]
n
分别称为f关于分割T的上和与下和 (或称达布上和与达布 下和,统称达布和). 任给 , , 2,…n, 用 T 表示 i i i=1 相应于分法T的积分和, 积分和 T 是数集(多值). 显然有
T f x
i i=1
n
i

n i 1
s T f i xi S T
定积分

b
a
f ( x)dx
y o
a S
b
x
就是位于 x 轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即

b
a
f ( x)dx S
y=f (x)
几何意义:
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和. 在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面 积取负号.
M i sup
,n
为对[a,b]的任一分割.由f在
, n.
[a,b]上有界, 它在每个 i 上存在上、下确界:
xi
f ( x ); mi inf f ( x ), i 1, 2,
x
i

31定积分概念

31定积分概念
2 k 1 ∆Ak ≈ f (ξ k )∆x k = 1 + 2 ⋅ n n
27
( 3) 求和 : 得到面积 A的一个近似值 ⇒
A = ∑ ∆Ak ≈ ∑ f (ξ k )∆x k
k =1 k =1
n
n
k 1 = ∑ 1 + 2 ⋅ = n n k =1
第三章 一元函数积分学及其应用
定 积 分 的 应 用 反 常 积 分 定 积 分 的 计 算 不 定 积 分 本 定 理 微 积 分 基 本 公 式 与 基
G.F.B.Riemann(1826-1866)
条 件 与 性 质
定 积 分 的 概 念 、 存 在
第三章 一
元 函 数 积 分 学 及 其 应 用
λ = max { ∆ t k }
1≤ k ≤ n n
S = lim ∑ f (ξ k )∆t k .
λ →0
k =1
许多类似的实际问题: 许多类似的实际问题:“求一个整体量 ——To integrate ” ,最终在数学上都归 结为: 求一种特殊结构的和式的极限—— 结为 求一种特殊结构的和式的极限 此极限值就是所谓的定积分。 此极限值就是所谓的定积分。
Integration and its Applications in One Variable
1
本 章 内 容
定积分(Definite Integrals)概念性质 定积分 概念性质 微积分学基本定理(Newton-Leibniz) 微积分学基本定理 不定积分的概念及与定积分的关系 积分的计算——两大基本积分法 两大基本积分法 积分的计算 反常积分(Improper Integrals) 反常积分 定积分的应用(微元法研究函数整体性态 定积分的应用 微元法研究函数整体性态) 微元法研究函数整体性态

“定积分的概念”说课稿

“定积分的概念”说课稿

“定积分的概念”说课稿众所周知,高等数学是工科专业最重要的课程之一。

其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念、公式和结论,为其他数学课和专业课的学习打好基础,更重要的是通过学习数学可以培育人的理性思维品格和思辩能力,能启迪智慧,开发创造力。

下面,笔者将从教材、教法、设计理念以及教学设计四个方面,介绍“定积分的概念”这节课。

一、教材分析课程定位:高等数学在高职(专)院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。

通过本课程的学习,使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法,为学习后续课程,特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。

地位作用:本节课选自世纪数学教育信息化精品教材《高等数学》第五章第一节定积分的概念,是高等数学中最主要的经典理论,是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。

这节课上承导数、不定积分,下接定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。

教学内容:本节内容为定积分概念,主要包括三方面内容:两个引例――曲边梯形的面积和变速直线运动的路程;定积分的定义及几何意义;定积分的性质。

教学目标:知识目标――通过探求曲边梯形的面积,使学生了解“分割、近似、求和、取极限”的思想方法;能力目标――通过类比“割圆术”,引导学生萌发“以直代曲”的想法,逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力;情感目标――从实践中创设情境,渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观,培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神。

二、教学方法学情分析:学生参加过高考,具备一定初等数学基础知识,但学生学高等数学的基础不扎实。

教学方法:数学课程对于高职学生来说,往往难度很大,教学时力求从学生已有知识和实际学习情况出发引入新课,启发、诱导学生参与教学活动,提出问题、分析问题、解决问题,适当采用自学辅导法(阅读教材)、通过以上方法的运用,让学生掌握重点知识,突破难点,提高应用知识的能力。

§3.3定积分换元法11

§3.3定积分换元法11

8
x 令 =t 2
7 5 3 1 π 35 = 4 = π . 8 6 4 2 2 64
13. 例 13 . 设
x 2 t 2 f ( x )= e dt 1

, 求 ∫ x f ( x )dx .
0
x4
1
解 : f ( x )= ∫
1
x 2 t 2 e dt 1
, f ′( x ) = 2 xe

∫ a f ( x )dx = ∫ α f [(t )]′(t )dt 。
b
β
证:设 F ( x ) 是 f ( x ) 在 [a , b] 上的一个原函数,则 设 上的一个原函数,
上的一个原函数。 F [( t )] 是 f [( t )]′( t ) 在 [α ,β ] 上的一个原函数 。
由牛顿— 由牛顿—莱布尼兹公式得

b b udv =[uv ]a a a
b

vdu 。
例 8.计算定积分(1) ∫ 1 .计算定积分( )
2
π
1 2
(1+ x )arcsin x 1 x 2
dx 。
(2) ∫ e 2 x cos xdx
2
0
n 例 10.计算 I n = ∫ sin xdx ( n ∈ N + ) .
π 2
(1) ∫
π
2
0
6 4 2 16 sin xdx = 1 = . 7 5 3 35
7
π
2
5 3 1 π 5π (2) π cos xdx = 2∫ 0 cos xdx = 2 = 6 4 2 2 16 2

6
π
2Leabharlann 6(3) π∫π

定积分的计算方法

定积分的计算方法

则F[ (t )] 是 f [ (t )] (t )的一个原函数, 从而


f [ ( t )] ( t )dt F [ ( t )]

由此可得
F [ ( )] F [ ( )] F (b) F (a )

b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt


b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt


设F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
因为当 x ( t ) 时, 有 F ( x) F (t ) , 则有复合函数求导法 则, 有
d F [ ( t )] F [ ( t )] ( t ) f [ ( t )] ( t ) dt
§ 定积分的计算方法
一. 换元积分法 二. 分部积分法
由牛顿—莱布尼茨公式知: 计算定积分

b
a
f ( x )dx 的关键在
于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 从而不定积分的换元 积分法和分部积分法在求定积分时仍适用. 本节讨论在一定 条件下, 如何利用换元积分法和分部积分法计算定积分.
1 2
2
1
1 ln 2 2
注 如果不明确写出新的变量, 则定积分的上、下限就不需要 变更. 如

1 x 1 1 2 2 ln 1 x dx d( x 1) 2 0 1 x2 0 2 2 1 x
1
1
1
0
1 ln 2 2
例4
计算 I 0 sin3 x sin5 xdx

三角函数定积分的四种求解方法

三角函数定积分的四种求解方法

课程教育研究 Course Education Ressearch 2015年7月 下旬刊 考索·探微215· ·极端发展,越来越多的学生选择一些热门专业、就业形势较好的专业,而另外一些专业学生数逐渐萎缩,导致高校专业结构发展的不平衡。

三、完善大学生转专业制度的相应措施转专业的因素繁多复杂,成为许多高校的“心病”。

为了提高学生的兴趣和综合能力,减少不足和弊端,需要高校进行多方面教育体制改革。

1.端正专业学习态度,拓展知识面。

随着社会快速发展,对学生多学科综合知识有很高的要求;2.加强学生的专业观教育。

很多大学生特别是大一新生对专业的认识是相当模糊的,成为转专业的一个重要因素。

高校应多做宣传,让冷门专业的学生对所学专业有更深刻的认识,激发学生潜在的专业兴趣及学习热情。

3.高校建立辅修、双学位的培养模式。

有能力的学生可以根据兴趣爱好申请辅修专业,也可以根据实际情况选择第二专业学习。

该方式同样可以拓宽学生的专业视野,争取最大限度地挖掘学生的学习兴趣及专业潜能。

4.提升教学质量,激励学习热情。

高校应加强教师之间的交流,取长补短,相互促进,并定期组织教师进行执教能力方面的再教育,激励学生的学习热情。

5.增设交叉学科和边缘学科,增大选修课的跨学科范围,打通同类学科之间的课程,进行统一的基础课教育;6.制定合理的转专业制度。

首先在条件允许的情况下高校可将转专业比重提高;其次对于仍然达不到转专业申请条件但确实有特长的学生,可以特殊对待;第三加强对转专业工作的管理,每学年在规定的时间内完成学生转专业工作,便于转专业学生的教学安排和学籍变更管理;加强对转专业后学生学习新专业的指导和反馈,根据转专业学生的学习、就业等情况进一步完善转专业制度。

总之,大学生转专业是一项复杂的工作,学校应结合现有的教学资源,公平公开的开展转专业工作,最大限度地满足学生的兴趣和需要,最终全面实现自主选择专业制度。

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