2019年高考理数真题试卷(全国Ⅰ卷)(word版+答案+解析)

2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共60分）
1.已知集合M= {x|−4<x<2}，N= {x|x2−x−6<0}，则M ∩N=（）
A. {x|−4<x<3}
B. {x|−4<x<−2}
C. {x|−2<x<2}
D. {x|2<x<3}
2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）
A. (x+1)2+y2=1
B. (x−1)2+y2=1
C. x2+(y−1)2=1
D. x2+(y+1)2=1
3.己知a=log20.2，b= 20.2，c= 0.20.3,则（）
A. a<b<c
B. a<c<b
C. c<a<b
D. b<c<a
4.古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−1
2(√5−1
2
≈0.618，
称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是√5−1
2。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为
26cm，则其身高可能是（）
A. 165cm
B. 175cm
C. 185cm
D. 190cm
5.函数f(x)= sinx+x
cosx+x2
在[- π，π]。

的图像大致为（）
A. B.
C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。

在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A. 516
B. 1132
C. 2132
D. 11
16
7.已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=2| b ⃗⃗ |，且 (a ⃗−b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗ ，则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为（ ） A. π
6 B. π
3 C. 2π
3 D. 5π
6
8.下图是求 1
2+
1
2+12
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A. A= 1
2+A B. A=2+ 1
A
C. A= 1
1+2A
D. A=1+ 1
2A
9.记S n为等差数列{a n}的前n项和。

已知S4=0，a5=5，则（）
A. a n=2n-5
B. a n=3n-10
C. S n=2n2-8n
D. S n= 1
2
n2-2n
10.已知椭圆C的焦点为F1（-1,0），F2（1,0）。

过F2的直线与C交于A，B两点。

若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为（）
A. x2
2+y2=1 B. x2
3
+ y2
2
=1 C. x2
4
+ y2
3
=1 D. x2
5
+ y2
4
=1
11.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π
2
，π）单调递增
③f(x)在[-π，π]有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（）
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，∆ABC是边长为2的正三角形，E、F，分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（）
A. 8√6π
B. 4√6π
C. 2√6π
D. √6π
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

（共4题；共20分）
13.曲线y=3(x 2+x)e x 在点(0，0)处的切线方程为________.
14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和。

若a 1= 1
3 ， a 42=6 ， 则S 5=________
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。

根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是________ 16.已知双曲线C ：
x 2a
2−y 2
b 2=1
（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点。

若 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为________。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（共5题；共60分）
17.∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB-sinC)2=sin 2A-sinBsinC 。

（1）求A ；
（2）若 √2a +b =2c ,求sinC.
18.如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB=2， ∠ BAD=60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1 ， A 1D 的中点
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值。

19.已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为 3
2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P 。

（1）若|AF|+|BF|=4,求l 的方程： （2）若 AP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|。

20.已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。

证明： （1）f’(x)在区间(-1, π
2 )存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点。

21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。

试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。

对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。

一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。

当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只
时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。

为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。

甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。

（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2，…，7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，
c=P(X=1)。

假设α=0.5，β=0.8。

(i)证明：{P i+1−P i}（i=0,1,2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。

四、选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

（共2题；共20分）
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t2
1+t2
y=4t
1+t2
（t为参数）。

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0。

（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值。

23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1。

证明：
（1）1
a +1
b
+1
c
≤a2+b2+c2；
（2）(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24。

答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【答案】C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】∵x2−x−6<0,∴(x+2)(x−3)<0∴−2<x<3,∴N={x|−2<x<3}.
∵M= {x|−4<x<2}，利用交集的运算法则借助数轴得：M∩N={x|−2<x<2}
故答案为：C
【分析】由一元二次不等式求解集的方法求出集合N，再由交集的运算法则借助数轴得集合M∩N. 2.【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】设复数为z=a+bi(a∈R,b∈R），
∵z−i=a+bi−i=a+(b−1)i,∴|z−i|=√a2+(b−1)2,
∵|z−i|=1,∴√a2+(b−1)2=1,∵复数z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴√x2+(y−1)2=1,∴x2+(y−1)2=1
故答案为：C
【分析】利用复数的加减运算法则求出复数z−i,再利用复数z−i的实部和虚部表示复数z−i的模，再利用复数z−i的几何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。

3.【答案】B
【考点】指数函数单调性的应用，对数值大小的比较
【解析】【解答】因为函数y=log2x(x>0)中底数为2，又∵2>1，利用增函数的性质，∴log20.2< log21=0,∴a<0.
因为函数y=2x中底数为2，又∵2>1，利用增函数的性质，
∴1=20<20.2<21=2,∴b>1,∴b>a.
因为函数y=0.2x中底数为0.2，又∵0.2<1，利用减函数的性质，
∴0<0.2=0.21<0.20.3<0.20=1,∴0<c<1,∴a<c<b.
故答案为：B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a,b,c与特殊值的大小关系式，判断出a,b,c的大小关系。

4.【答案】B
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】因为头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−1
2(√5−1
2
≈0.618，成为黄金分割
比例），此外，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是√5−1
2
，所以设咽喉到肚脐的长度为x厘米，
肚脐到腰的长度为y厘米，依题意得：26
x =26+x
y+105
=√5−1
2
≈0.618,∴26
0.618
≈42，
所以身高为 26+x +y +105=26+42+26+420.618
≈178(厘米)， 所以最接近的身高是175厘米。

故答案为：B
【分析】利用黄金比例的概念结合对应边成比例求出某人满足要求最接近的身高。

5.【答案】 D 【考点】函数的图象
【解析】【解答】 ∵ 函数 f(x)=sinx+x
cosx+x 2,x ∈[−π,π]. ∴f(x)+f(−x)=0, 利用奇函数的定义，得出函数f(x)为奇函数， ∴排除A
∵f(π)=
π
π2−1
>0,
∴排除B ，C 故答案为：D
【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值排除错误的选项，从而选出正确的函数图象。

6.【答案】 A
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设该重卦恰有3个阳爻的事件为A ，
根据题意，所有重卦的种数有 26 种，满足该重卦恰有3个阳爻的情况有 C 63 种，利用古典概型求概率的
公式,该重卦恰有3个阳爻的概率为： P(A)=C 6
326
=5
16 。

故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，从而求出该重卦恰有3个阳爻的概率。

7.【答案】 B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 θ， ∵(a →−b →
)⊥b →
,∴(a →−b →
)·b →
=0
∵|a →
|=2|b →
|, ∴(a →−b →
)·b →
=a →·b →
−b →
2=|a →
|×|b →
|×cosθ−|b →
|2=2|b →
|2×cosθ−|b →
|2, ∴2|b →|2
×cosθ−|b →|2
=0, ∴2cosθ=1, ∴cosθ=1
2,
∴θ=60°或θ=300°,
∵θ为两向量的夹角，
∴0°<θ<180°, ∴θ=60°=π
3
.
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出 a
⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角。

8.【答案】 A 【考点】循环结构 【解析】【解答】
第一步: A=1
2
,k=1,k≤2成立，∴A=1
2+A
=1
2+1
2
.
第二步：A=1
2+1
2
,k=2,k≤2成立，∴A=1
2+A
=1
2+1
2+12
.
第三步：A=1
2+1
2+12
,k=3,k≤2不成立，∴退出循环体，∴A=1
2+A
=1
2+1
2
.
因为输出的A的值满足题意输得的结果，所以判断框里应该填A=1
2+A
.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出满足要求的结果，从而确定判断框里所填的选项。

9.【答案】A
【考点】等差数列
【解析】【解答】∵S4=0,a5=5,利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式得，
S4=4a1+4×3
2
d=4a1+6d,a5=a1+4d,
∴4a1+6d=0，①
∴a1+4d=5,②
①②联立求出: a1=−3,d=2,
∴a n=a1+(n−1)d=−3+(n−1)×2=2n−5
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。

10.【答案】B
【考点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】如图，
3m+m=4m=2a,∴m=a
2
,∴|AF1|=|AF2|=a,对角B用两次余弦定理，得：
cosB=9a2
4+
a2
4−4
2×
3a
2×
a
2
=
9a2
4+
a2
4−a
2
2×
3a
2×
3a
2
,
得: a2=3,b2=2,
所以双曲线的标准方程为：x2
3
+
y2
2
=1
故答案为：B
【分析】利用双曲线和三角形的图象的位置关系，结合双曲线的定义，对角B用两次余弦定理求出a,b的值，从而求出双曲线的标准方程。

11.【答案】C
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵函数f(x)=sin|x|+|sinx|，∴f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以函数f(x)为偶函数，①对，
∵f(x)=sin|x|+|sinx|={
−2sinx,x∈[−π,0]
2sinx,x∈[0,π],
∴根据分段函数f(x)的图象可知②③错，④对。

【分析】根据偶函数的定义结合分段函数的图象找出正确的选项。

12.【答案】D
【考点】球内接多面体
【解析】【解答】设PA=PB=PC=2x,则CE=√3−x2,
在ΔACP中，由中线定理得：
AC2+CP2=2(AE2+CE2),∴4+4x2=2[x2+(3−x2)],∴x2=1
2
,PC=√2,
∴PQ=√2−(2√3
3
)2=√
2
3
,
利用勾股定理，得：r2=OQ2+QC2=(√2
3−r)2+(2√3
3
)2,
求出 r =√32
, 所以 V =43
πr 3=43
π×32
×√3
2
=√6π
【分析】利用三棱锥P-ABC 的结构特征结合三棱锥与球O 的位置关系，再利用中线定理和勾股定理求出球O 的半径，再利用球的体积公式结合球的半径求出球O 的体积。

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】 y=3x 【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】设曲线y=3(x 2+x)e x 在点(0，0)处的切线方程为： y =kx, 因为曲线y=3(x 2+x)e x
，
∴y ′=3(x 2+3x +1)e x ,∴f(0)′=3, ∴k =3,
所以曲线在点(0，0)处的切线方程为：y =3x
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线y=3(x 2+x)e x 在点(0，0)处的切线方程。

14.【答案】
1213
【考点】等比数列 【解析】【解答】 ∵a 1=1
3,a 42
=a 6, 利用等比数列通项公式得，
(a 1q 3)2=a 1q 5, ∴a 12q 6
=a 1q 5，
∴a 1q =1, ① ∵a 1=1
3， ② ①②联立求出: q =3,
∴S 5=a 1(1−q 5)1−q =13(1−35
)1−3=
1213
【分析】利用等比数列通项公式和等比数列前n 项和公式结合已知条件 a 1=1
3， 求出等比数列的公比，从而利用等比数列的首项和公比求出等比数列的前5项的和。

15.【答案】 0.18
【考点】n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
【解析】【解答】因为甲以 4:1 获胜，所以只需看前五场，用√表示甲胜，用×表示甲败。

第一种情况是：主×主√客√客√主√，概率为： 0.4×0.62×0.52, 第二种情况是：主√主×客√客√主√，概率为： 0.4×0.62×0.52, 第三种情况是：主√主√客×客√主√，概率为： 0.63×0.52, 第四种情况是：主√主√客√客×主√，概率为： 0.63×0.52, 所以甲队以4：1获胜的概率是这四种情况的概率之和为：
0.4×0.62×0.52+ 0.4×0.62×0.52+ 0.63×0.52+ 0.63×0.52=0.18
【分析】根据实际问题的已知条件结合分类计数原理和分步计数原理求概率的方法，求出甲队以4：1获胜的概率。

16.【答案】 2
【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】由题作出草图，
可知 OB =OF 1=OF 2=c, 又 AB =AF 1, 则 AO ∥BF 2,AO ⊥BF 1, 易证得 ΔOAF 1≅ΔOCF 2,∠AF 1O =∠CF 2O =β,α=2β,α+β=900, 则 ∠BOF 2=60°,ΔBOF 2 为正三角形， ∴OB =c =2a,e =c
a =2
【分析】利用双曲线的标准方程求出焦点坐标和两条渐近线方程，再利用点斜式求出过F 1的直线的方程，再利用过F 1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，联立二者的方程求出交点坐标，再利用向量相等和向量垂直，用全等三角形的判断方法和结论，证出 ΔBOF 2 为正三角形，再利用正三角形的性质求出a,c 的关系式，再利用离心率公式变形求出双曲线的离心率。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.【答案】 （1）解：(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC,sin 2B +sin 2C −sin 2
A =sinBsinC,由正弦定理得： b 2+c −2a 2=bc,由余弦定理得：
cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
=12
,∴A =π3
或A =
5π3
,
在三角形中， 0<A <π,
∴A =π3
（2）解： ∵√2a +b =2c ， A=π
3由正弦定理得：√2sinA +sinB =√2sinA +sinAsinC +cosAsinC =2sinC,
代入A 得： √62
+sin （2π
3-C ）=2sinC 解得：sin （C-π
6）=√2
2
∴C-π6=π
4 ， C=π4+π
6
∴sinC=（π4+π6）=sin π4cos π6+=cos π4sin π6=√22
×√32
+√22
×1
2= √6+√24
【考点】正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和余弦定理求出角A 的余弦值。

（2）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和辅助角公式求出 sin （C-π
6），从而求出角C 的值，再利用两角和的正弦公式求出角C 的正弦值.
18.【答案】 （1）解：连结 B 1C,ME .因为M ，E 分别为 BB 1,BC 的中点，所以 ME ∥ B 1C ，且 ME =
1
2B 1
C .又因为N 为 A 1
D 的中点，所以 ND =1
2A 1D .
由题设知 A 1B 1∥=DC ，可得 B 1C ∥=A 1D ，故 ME ∥=ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形， MN ∥ED .又 MN ⊄ 平面 C 1DE ，所以MN ∥平面 C 1DE .
（2）解：建立空间直角坐标系，点N 在底面投影为点F ，
A 1(0,0,4),MA →
=(−2,0,2),
设平面 MA 1N 的法向量为 n →
=(x,y,z), 由 {
MN →·n →=0
MA →·n →
=0⇒{
−2x+2z=0
−32x+
√3
2
y=0, 取 x =1, 得其中一个法向量 n →
=(1,√3,1),
易知平面 AMA 1 的一个法向量为 m →
=(0,1,0),
∴cos〈n →,m →
〉=
√3√5
sin〈n →,m →
〉=
√2√5
=
√10
5
, 所以二面角 A −MA 1−N 的正弦值为 √10
5。

【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件，用中点作中位线证线线平行，再利用线线相等结合平行四边形的定义证出四边形MNDE 为平行四边形，再利用平行四边形的定义证出另一组线线
平行，从而用线线平行结合线面平行的判定定理证出线面平行。

（2）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的正弦值。

19.【答案】 （1）解：设直线 l 的方程为： y =3
2x +b,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).
{
y 2=3x y=3
2
x+b ,94
x 2
+3(b −1)x +b 2=0,x 1+x 2=
4(1−b)
3
, |AF|+|BF|=x 1+x 2+32=4(1−b)3+32=4,b =−7
8
,
∴l 的方程为： y =3
2x −7
8
（2）解： {
y =3
2x +b y 2=3x ， 1
2y 2−y +b =0,y 1+y 2=2,y 1y 2=2b, 由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得： y 1=−3y 2, 联立上式得 b =−3
2
,y 1=3,y 2=−1, ∴|AB|=√1+
1k 2|y 1+y 2
|=4√13
3
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为 3
2 的直线l 的方程，再利用直线l 与抛物线的交点为A ，B ，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b 的值，再利用斜率和b 的值求出直线 l 的方程。

（2）利用斜截式设出斜率为 3
2 的直线l 的方程，再利用直线l 与x 轴的交点为P ，联立二者方程求出交点P 的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b 的值和交点A,B 的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB 的值。

20.【答案】 （1）证明： f ′(x)=cosx −1
1+x ,f ′′(x)=−sinx +1
(1+x)2,x ∈(−1,π
2),
f ′′(0)=1>0,f ′′(π4)=−√2
2+1(1+π4)
2<0, ∴ 存在 x 0∈(0,π
4) 使 f ′′(x 0)=0.
所以f′(x)在区间（−1，π
2
)存在唯一极大值点。

（2）证明：f(π
2)=1−ln(1+π
2
)>0,f(e−1)=sin(e−1)−1<0,
∴存在x1∈(π
2
，e−1),f(x1)=0,
⒈当−1<x<0时，f′(x)=cosx−1
1+x
<0,f(x)递减，又f(0)=0,∴f(x)>0;
⒉当0<x<x1时，sinx>ln(1+x),∴f(x)>0;
⒊当x1<x<2π时，sinx<f(x1),ln(1+x)>f(x1),∴f(x)<0;
⒋当x>2π时，sinx≤1,ln(1+x)>lne=1,∴f(x)<0;
综上所述，f(x)有且仅有2个零点。

【考点】利用导数研究函数的极值，根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）对函数两次求导，用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而
证出f′(x)在区间（−1，π
2
)存在唯一极大值点。

（2）用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理证出f(x)有且仅有2个零点.
21.【答案】（1）解：P（X= -1）=(1−α)β,P(X=1)=(1−β)α,P(X=0)=(1−α)(1−β)+αβ,所以X的分布列为：
（2）（i）证明：a=0.4,b=0.5,c=0.1,则5p i=4p i−1+p i+1(i=1,2,3,⋯,7),p i
+1-
p i=4(p i−
p i−1),(i=1,2,3,⋯,7),p i+1−p i
p i−p i−1=4,利用等比数列的定义证出：数列{P
i+1
−P i}（i=0,1,2，…，7）为等比数
列。

（ii）p i
+1-
p i=4i(p1−p0)=p i·4i,p8=（p8−p7)+(p7−p6)+⋯(p1−p0)=(1+4+⋯+47)p1=
1,p1=1
1+4+⋯+47=1−4
1−48
=3
48−1
,
p4=(p4−p3)+(p3−p2)+(p2−p1)+p1=(1+4+⋯+43)p1=
1
257
,
表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为4时，认为甲药比乙药更有效的概率仅为1
257
(<0.01),而事实
上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药（0.8>0.5),故这种试验方案是合理的。

【考点】等比数列，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列。

(2)（i）利用实际问题的已知条件结合离散型随机变量的分布列，将实际问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列的定义证出：数列{P i+1−P i}（i=0,1,2，…，7）为等比数列;
(ii)由（i）证出的数列{P i+1−P i}（i=0,1,2，…，7）为等比数列求出等比数列{P i+1−P i}的通项公式，再利用累加法变形结合等比数列前n项和公式求出p4的值,再利用p4的值结合甲药比乙药更有效的概率
仅为1
257
(<0.01),得出乙药的治愈率大于甲药（0.8>0.5),故这种试验方案是合理的。

四、选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【答案】（1）因为−1<1−t2
1+t2≤1，且x2+(y
2
)2=(1−t2
1+t2
)2+4t2
(1+t2)2
=1，
所以C的直角坐标方程为x2+y2
4
=1(x≠−1). 所以直线l的直角坐标方程为2x+√3y+11=0
（2）由（1）可设曲线C的参数方程为{x=cosα,
y=2sinα（α为参数，
−π<α<π）.曲线C上的点到l的
距离为√3sinα+11|
√7=4cos(α−
π
3
)+11
√7
.
当α=−2π
3时，4cos(α−π
3
)+11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为√7.
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用参数方程转化为直角坐标方程的方法结合极坐标与直角坐标的互化公式求出曲线C和直线l的直角坐标方程。

（2）利用参数表示满足曲线C上的点的坐标，再利用点到直线的距离公式结合辅助角公式化简转化为三角型函数，再利用还原法将三角型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象求出三角型函数的最小值，从而求出曲线C上的点到直线l的距离的最小值。

23.【答案】（1）解：因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac，又abc=1，故有
a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+ca
abc =1
a
+1
b
+1
c
.
所以1
a +1
b
+1
c
≤a2+b2+c2.
（2）因为a, b, c为正数且abc=1，故有
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3√(a+b)3(b+c)3(a+c)3
3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)
=24.
所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【考点】一般形式的柯西不等式
【解析】【分析】（1）利用均值不等式求最值的方法结合已知条件变形证出不等式成立。

（2）利用均值不等式求最值的方法结合已知条件变形证出不等式成立。