高考数学总复习第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图
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(2)“三不变”平 与行 x轴性平不行变的线段长度不变 相对位置不变
[即时应用]
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如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一
个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，
O′C′＝2 cm，则原图形是
()
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
解析：如图，在原图形 OABC 中，应有 OD＝2O′D′
A′B′C′D′如图所示，因为 OE＝ 22－12＝1，
所以
O′E′＝12，E′F′＝
2 4.
所以直观图 A′B′C′D′的面积为
S′＝12×(1＋3)×
42＝
2 2.
答案：
2 2
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[由题悟法] 原图与直观图中的“三变”与“三不变”
(1)“三变”坐 与标 y轴轴平的行夹的角线改段变的长度改变减半 图形改变
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
返回
考点一 空间几何体的结构特征
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，
则这个几何体一定是
()
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．
侧视图完全相同时，它的俯视图可能是
()
解析：根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图 和侧视图完全相同时，俯视图为 B，故选 B. 答案：B
返回
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可
以是
()
解析：由俯视图是圆环可排除 A、B、C，进一步将已知三 视图还原为几何体，可得选项 D. 答案：D
1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将
木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫
头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
()
解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图
所示，由直观图可知其俯视图应选 A. 答案：A
考点三 空间几何体的直观图
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[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
(2018·杭州模拟)在等腰梯形 ABCD 中，上底 CD＝1，腰 AD＝
CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测
画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为________．
解 析 ： 画 出 等 腰 梯 形 ABCD 的 实 际 图 形 及 直 观 图
②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的
多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：B
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3．给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则 该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________．
2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同． 3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线
是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
[小题纠偏]
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1．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是
() A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B1＝1, AB＝2，B1C1＝32，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
位置，区分好实线和虚线的不同．
[即时应用]
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1．(2018·沈阳教学质量监测)“牟合方盖”是我国
古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构
造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的
四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好
似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，
图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和
单击输入您的封面副标题
[小题体验] 1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )
A． 5 C．3
B．2 2 D．2 3
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解析：在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为 AD， BC 的中点，该几何体的直观图如图中三 棱锥 D1-MNB1，故通过计算可得，D1B1 ＝2 2，D1M＝B1N＝ 5，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱 锥中最长棱的长为 3. 答案：C
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
返回
棱台
图形
底面 互相平行 且相等
多边形
互相_平__行_
侧棱
_平__行__且__相__等__
相交于一点 ， 延长线交于
但不一定相等
一__点__
侧面形状 _平__行__四__边__形__
_三__角__形__
_梯__形__
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
返回
球
图形
返回
[谨记通法] 解决与空间几何体结构特征有关问题的 3 个技巧 (1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想 象能力； (2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构 特征，依据条件构建几何模型； (3)通过反例对结构特征进行辨析．
考点二 空间几何体的三视图
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[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
母线பைடு நூலகம்
互相平行且相
延长线交
相交于 一点
等，垂直于底面
于 一点
轴截面
全等的 全等的 全等的_矩__形__
等腰三角形 等腰梯形
侧面展开图
_矩__形__
_扇__形__
_扇__环__
_圆___
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2．直观图 (1)画法：常用 斜二测画法 ． (2)规则：
①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′ 轴的夹角为 45°(或 135°) ，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面 垂直 ． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐标轴 ． 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ， 平行于 y 轴的线段长度在直观图中 变为原来的一半 ．
答案：C
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2．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连
线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面
与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不
相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝32，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 解析：根据棱台是由棱锥截成的，可知AA1BB1＝BB1CC1＝AA1CC1，故
A，B 不正确，C 正确；D 项中满足这个条件的是一个三棱柱，
不是三棱台，故 D 不正确． 答案：C
已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上
的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．
2．已知三视图，判断几何体的技巧 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图
还原为直观图．
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则． [提醒] 对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的
＝2×2 2＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm.
∴OC＝ OD2＋CD2＝ 4 22＋22＝6 cm，
∴OA＝OC，故四边形 OABC 是菱形． 答案：C
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“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(三十六)” (单击进入电子文档)
此课件下载后 可修改编辑
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2．(2018·杭州模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图
如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，
那么该三棱锥的侧视图可能为
()
解析：由正视图可看出长为 2 的侧棱垂直于底面，侧视图 为直角三角形，直角边长为 2，另一直角边为底边三角形 的高 3.故侧视图可能为 B. 答案：B
[由题悟法]
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1．已知几何体，识别三视图的技巧
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2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何
体，则它的俯视图是
()
解析：俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线， 故选 B. 答案：B
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3．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的个数是________． 解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般 的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行 四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误． 答案：1
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3．三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是
从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几何体画 出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求： 长对正 ， 高平齐 ， 宽相等 ． ②画法规则： 正侧 一样高， 正俯 一样长， 侧俯 一样宽； 看不到的线画 虚 线．
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解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的 各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则 三个侧面构成的三个平面的二面角都是直 二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于 侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1-ABC，四个面都是直角三角形． 答案：②③④
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2．(教材习题改编)如图，长方体 ABCD -A′B′C′D′被截 去 一 部 分 ， 其 中 EH ∥ A′D′ ， 则 剩 下 的 几 何 体 是 ________，截去的几何体是______．
答案：五棱柱 三棱柱
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必过易错关
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1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且 侧棱延长后必交于一点．
第七章
立体几何
第一 节
空间几何体的结构特征及 三视图与直观图
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
1．简单几何体
[即时应用]
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如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一
个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，
O′C′＝2 cm，则原图形是
()
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
解析：如图，在原图形 OABC 中，应有 OD＝2O′D′
A′B′C′D′如图所示，因为 OE＝ 22－12＝1，
所以
O′E′＝12，E′F′＝
2 4.
所以直观图 A′B′C′D′的面积为
S′＝12×(1＋3)×
42＝
2 2.
答案：
2 2
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[由题悟法] 原图与直观图中的“三变”与“三不变”
(1)“三变”坐 与标 y轴轴平的行夹的角线改段变的长度改变减半 图形改变
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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考点一 空间几何体的结构特征
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，
则这个几何体一定是
()
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．
侧视图完全相同时，它的俯视图可能是
()
解析：根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图 和侧视图完全相同时，俯视图为 B，故选 B. 答案：B
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2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可
以是
()
解析：由俯视图是圆环可排除 A、B、C，进一步将已知三 视图还原为几何体，可得选项 D. 答案：D
1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将
木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫
头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
()
解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图
所示，由直观图可知其俯视图应选 A. 答案：A
考点三 空间几何体的直观图
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重点保分型考点——师生共研
(2018·杭州模拟)在等腰梯形 ABCD 中，上底 CD＝1，腰 AD＝
CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测
画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为________．
解 析 ： 画 出 等 腰 梯 形 ABCD 的 实 际 图 形 及 直 观 图
②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的
多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：B
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3．给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则 该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________．
2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同． 3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线
是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
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1．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是
() A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B1＝1, AB＝2，B1C1＝32，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
位置，区分好实线和虚线的不同．
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1．(2018·沈阳教学质量监测)“牟合方盖”是我国
古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构
造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的
四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好
似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，
图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和
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[小题体验] 1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )
A． 5 C．3
B．2 2 D．2 3
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解析：在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为 AD， BC 的中点，该几何体的直观图如图中三 棱锥 D1-MNB1，故通过计算可得，D1B1 ＝2 2，D1M＝B1N＝ 5，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱 锥中最长棱的长为 3. 答案：C
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
返回
棱台
图形
底面 互相平行 且相等
多边形
互相_平__行_
侧棱
_平__行__且__相__等__
相交于一点 ， 延长线交于
但不一定相等
一__点__
侧面形状 _平__行__四__边__形__
_三__角__形__
_梯__形__
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
返回
球
图形
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[谨记通法] 解决与空间几何体结构特征有关问题的 3 个技巧 (1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想 象能力； (2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构 特征，依据条件构建几何模型； (3)通过反例对结构特征进行辨析．
考点二 空间几何体的三视图
返回
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
母线பைடு நூலகம்
互相平行且相
延长线交
相交于 一点
等，垂直于底面
于 一点
轴截面
全等的 全等的 全等的_矩__形__
等腰三角形 等腰梯形
侧面展开图
_矩__形__
_扇__形__
_扇__环__
_圆___
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2．直观图 (1)画法：常用 斜二测画法 ． (2)规则：
①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′ 轴的夹角为 45°(或 135°) ，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面 垂直 ． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐标轴 ． 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ， 平行于 y 轴的线段长度在直观图中 变为原来的一半 ．
答案：C
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2．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连
线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面
与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不
相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝32，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 解析：根据棱台是由棱锥截成的，可知AA1BB1＝BB1CC1＝AA1CC1，故
A，B 不正确，C 正确；D 项中满足这个条件的是一个三棱柱，
不是三棱台，故 D 不正确． 答案：C
已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上
的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．
2．已知三视图，判断几何体的技巧 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图
还原为直观图．
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则． [提醒] 对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的
＝2×2 2＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm.
∴OC＝ OD2＋CD2＝ 4 22＋22＝6 cm，
∴OA＝OC，故四边形 OABC 是菱形． 答案：C
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2．(2018·杭州模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图
如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，
那么该三棱锥的侧视图可能为
()
解析：由正视图可看出长为 2 的侧棱垂直于底面，侧视图 为直角三角形，直角边长为 2，另一直角边为底边三角形 的高 3.故侧视图可能为 B. 答案：B
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2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何
体，则它的俯视图是
()
解析：俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线， 故选 B. 答案：B
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3．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的个数是________． 解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般 的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行 四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误． 答案：1
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3．三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是
从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几何体画 出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求： 长对正 ， 高平齐 ， 宽相等 ． ②画法规则： 正侧 一样高， 正俯 一样长， 侧俯 一样宽； 看不到的线画 虚 线．
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解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的 各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则 三个侧面构成的三个平面的二面角都是直 二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于 侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1-ABC，四个面都是直角三角形． 答案：②③④
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2．(教材习题改编)如图，长方体 ABCD -A′B′C′D′被截 去 一 部 分 ， 其 中 EH ∥ A′D′ ， 则 剩 下 的 几 何 体 是 ________，截去的几何体是______．
答案：五棱柱 三棱柱
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1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且 侧棱延长后必交于一点．
第七章
立体几何
第一 节
空间几何体的结构特征及 三视图与直观图
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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1．简单几何体