椭圆中的斜率和与定点问题

椭圆中的斜率和与定点问题
由于椭圆是良好的轴对称和中心对称图象，在命题时经常讲与椭圆相交的直线也进行对称处理，由此产生一些定点定值问题。

例如在处理2018年全国一卷理科第19题时发现并不能一眼看出所给的点F 和点M 的关系，但深入研究，美妙自在其中。

本文以2018年理科19题和2017年理科卷20题为背景，进一步研究椭圆中的一些一般化结论。

【例1】设椭圆2
212
x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，
点M 的坐标为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =.
由已知可得，点A
的坐标为
或(1,. 所以AM
的方程为y x =
或y =.
（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线MB MA ,的斜率之和为12
1222
MA MB y y k k x x +=+
--. 由11y kx k =-，22y kx k =-得
12121223()4(2)(2)
MA MB kx x k x x k
k k x x -+++=
--.
将(1)y k x =-代入2
212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=.
所以22121222422
,2121
k k x x x x k k -+==++.
则33312122
44128423()4021
k k k k k
kx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MB MA ,的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.
一般化结论探究
【探究】设椭圆方程为)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，过点))(0,(a t t M >做直线l 交椭
圆于B A ,两点，设点A 关于x 轴对称的点为A '，探究直线B A '是否过定点？ 【分析】设),(),,(2211y x B y x A '，直线B A '的方程为m kx y +=
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
m kx y b y a x 122
22，消去y 得0)(2)(22222222=-+++b m a x kma x b k a
所以2
2222221222221)
(,2b
k a b m a x x b k a kma x x +-=+-=+ （*） 由于直线A M MB ',关于x 轴对称，则0=+'MB A M k k 即
02211=-+-t
x y
t x y ， 代入直线方程化简得02))((22121=-+-+mt x x tk m x kx
将（*）式代入得0)(2)(2)(22222222=+----b k a mt tk m kma b m ka 整理得02=+mt ka ，即2a
mt k -
= 所以直线B A '的方程为m x a mt
y +-=2，恒过定点)
0,(2t a
【思考】上述的定点问题本质是两直线斜率和为产生的。

过椭圆上定点的两直线交椭圆于A,B 两点，斜率之和为其他常数（不为零），则直线AB 过定点么？
【例3】已知椭圆C ：22
221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，
，31P ⎛- ⎝⎭
，41P ⎛ ⎝⎭
中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．
【解析】（1）根据椭圆对称性，椭圆必过3P 、4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过
1P ，所以过234P P P ，，
三点. 将(
)23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得2221
1
31
41b a
b ⎧=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，
22112
1A A P A P B y y k k m m m
----+=
+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，， 联立22
440
y kx b
x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()
222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，2122
44
14b x x k -⋅=+
则2
2
121211P A P B
y y k k x x --+=+()()212121
12x kx b x x kx b x x x +-++-=22222
88881444
14kb k kb kb
k b k --++=-+
()()()
811411k b b b -=
=-+-，
又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =--,所以l 过定点()21-，． 一般化结论
设椭圆方程为)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，斜率不为0的直线与椭圆相交于B A ,两
点，M 为椭圆的左顶点，若λ=+MB MA k k ，证明直线AB 过定点。

【解析】设),(),,(2211y x B y x A ，直线方程为t my x +=，代入椭圆方程得
02)(222222222=-+++b a t b y mtb y a m b
所以2
2
222221222221)
(,2a
m b a t b y y a m b mtb y y +-=+-=+ （*） 设),(),,(2211y x B y x A ，由于)0,(a M -，则
λ=+++a
x y a x y 22
11， 即
λ=+++++++++)
)(()
()(211221a t my a t my a t my y a t my y
所以])())(([))((22212122121a t y y a t m y y m y y a t y my +++++=+++λ 将（*）代入得
)()()2)(1)(())(2(2222222222a m b a t mtb m a t b a t b m m ++=--++--λλλ
化简得λλ222a ta mb +=- 即直线方程为t y b a a x +++-
=2
22λ
λ
所以直线l 恒过点)2,(2
a
b a λ-. 更一般化结论
过椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 上一点),(00y x P 作两条射线PB PA ,分别交椭圆于
B A ,两点，若λ=+PB
PA k k ，则直线AB 过定点)2,2(20
200
0λ
λa x b y y x ---。

【思考】在椭圆结论一般化的过程中大家会发现运算量越来越大，有没有其他办法？这里给出【例3】的另外解法——平移坐标系齐次化处理，这一方法在处理斜率之和，斜率之积时有很明显的优势，高考能不能用？
【例3】已知椭圆C ：22
221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，
41P ⎛ ⎝⎭
中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． 【另解】（1）略
（2）将坐标原点平移至2P ，在新的坐标系下设),(),,(2211y x B y x A ，直线
1:=+ny mx AB 且直线不经过2P ，此时椭圆方程为1)1(4
22
=++y x
即08422=++y y x
将直线1=+ny mx 代入椭圆方程，得0)(8422=+++ny mx y y x
即018))(84(2=+⋅++x
y
m x y n
因为1-=+PB PA k k ，所以1848-=+-n m ，即221n
m += 所以直线1:=+ny mx AB 经过点)2,2(- 所以在原坐标系中，直线AB 恒过)1,2(-.。