2021年中考数学 专题训练：全等三角形(含答案)

2021中考数学专题训练：全等三角形
一、选择题
1. 下列说法错误的是()
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．若两个三角形全等且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点
D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角
2. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．DF∥BE
3. 如图，小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF，他画图的步骤是：(1)画DE ＝AB；(2)在DE的同旁画∠HDE＝∠A，∠GED＝∠B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是()
A．ASA B．SAS
C．SSS D．AAS
4. 如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D.AD∥BC，AD=BC
6. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是()
A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DBC
C．AC＝DB
D．AB＝DC
7. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()
A．a＋c B．b＋c
C．a－b＋c D．a＋b－c
8. 如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，△AEC≌△DFB.如果AD=37 cm，BC=15 cm，那么AB的长为()
A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.13 cm
9. 如图，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则∠ABD等于()
A．∠EAC B．∠ADE C．∠BAD D．∠ACE
10. 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为 ()
A.40°
B.50°
C.55°
D.60°
二、填空题
11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.
12. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．
13. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAC＝65°，则∠ACD 的度数为________．
14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=20°，以点A 为圆心，小于AC 的长
为半径画弧与AB ，AC 分别交于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧相交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则∠ADB= °.
15. 如图所示，已知
AD ∥BC ，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD
＝CB ，AC 为公共边，则△ADC ≌△CBA ，理由是______，则∠DCA ＝∠BAC ，理
由
是
__________________
，
则
AB ∥DC
，
理
由
是
________________________________．
16. 如图，△ABC
的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，PE ⊥AC 交AC 的延长
线于点E.若△ABC 的周长为11，PE=2，S △BPC =2，则S △ABC = .
三、解答题
17. (2019•泸州)如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：
OB OC =．
18. 如图，在△
ABE 和△ACD 中，给出以下四个论断：
(1)AB＝AC；(2)AD＝AE；
(3)AM＝AN；(4)AD⊥DC，AE⊥BE.
请你以其中三个论断为题设，余下的一个论断为结论，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
19. 如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.
(1)求∠APB的度数．
(2)求证：点P在∠C的平分线上．
(3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.
20. 在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.
(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM；
(2)如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形；
(3)如图③，若AB＝23，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=nME，求n的值.
21. 如图，已知
AD 是△ABC 的中线，AM ⊥AB ，AM ＝AB ，AN ⊥AC ，AN ＝
AC.
求证：MN ＝2AD.
2021中考数学 专题训练：全等三角形-答案
一、选择题
1. 【答案】C [解析] 根据全等三角形的定义，C 明显错误．可举一反例，例如本试卷第14题的配图．
2. 【答案】B [解析] 在△ADF 和△CBE 中，由AD ＝BC ，∠D ＝∠B ，DF ＝BE ，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF ≌△CBE.故选B.
3. 【答案】A
4. 【答案】C
[解析] ①∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，
∴∠CFB ＝∠BEC ＝90°.
在Rt △BCF 和Rt △CBE 中，⎩⎨⎧CF ＝BE ，BC ＝CB ，
∴Rt △BCF ≌Rt △CBE(HL)．
②∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠AEB ＝90°.在△ABE 和△ACF 中，
⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，
∠A ＝∠A ，
BE ＝CF ，
∴△ABE ≌△ACF(AAS)． ③设BE 与CF 相交于点O. ∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，
∴∠OFB ＝∠OEC ＝90°.
∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，AE ＝AF. ∴BF ＝CE.
在△BOF 和△COE 中，⎩⎨⎧∠OFB ＝∠OEC ，∠BOF ＝∠COE ，BF ＝CE ，
∴△BOF ≌△COE(AAS)．
5. 【答案】C
[解析] A .∵△ABD ≌△CDB ，
∴△ABD 和△CDB 的面积相等，故本选项不符合题意; B .∵△ABD ≌△CDB ，
∴△ABD 和△CDB 的周长相等，故本选项不符合题意; C .∵△ABD ≌△CDB ，
∴∠A=∠C ，∠ABD=∠CDB.
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB ≠∠C+∠CBD ，故本选项符合题意; D .∵△ABD ≌△CDB ，
∴AD=BC ，∠ADB=∠CBD.
∴AD ∥BC ，故本选项不符合题意.故选C .
6. 【答案】C
[解析] A ．∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝BC ，符合“AAS”，
即能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项不符合题意；
B ．∠AB
C ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∠ACB ＝∠DBC ，符合“ASA”，即能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项不符合题意；
C ．∠ABC ＝∠DCB ，AC ＝DB ，BC ＝BC ，不符合全等三角形的判定条件，即不能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项符合题意；
D ．AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，符合“SAS”，即能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项不符合题意． 故选 C.
7. 【答案】D
[解析] ∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠AFB ＝90°，
∠A ＝∠C.又∵AB ＝CD ，∴△CED ≌△AFB.∴AF ＝CE ＝a ，DE ＝BF ＝b ，DF
＝DE －EF ＝b －c.∴AD ＝AF ＋DF ＝a ＋b －c.故选D.
8. 【答案】B
[解析] ∵△AEC ≌△DFB ，∴AC=DB.
∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD. ∵AD=37 cm ，BC=15 cm ， ∴AB==11(cm).
9. 【答案】D
[解析] ∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，
即∠BAD ＝∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，
∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴∠ABD ＝∠ACE.
10. 【答案】D
[解析] 因为△ABC ≌△ADE ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，
所以∠CAB=∠EAD=
180°-105°-25°=50°.所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60°.由图易得∠DFB=∠DAB=60°.
二、填空题
11. 【答案】AH ＝CB (符合要求即可) 【解析】∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 、E ，∴∠BEC ＝∠AEC ＝90°，在Rt △AEH 中，∠EAH ＝90°－∠AHE ，在Rt △HDC 中，∠ECB ＝90°－∠DHC ，∵∠AHE ＝∠DHC ，∴∠EAH ＝∠ECB ，∴根据AAS 添加AH ＝CB 或EH ＝EB ；根据ASA 添加AE ＝CE.可证△AEH ≌△CEB.故答案为：AH ＝CB 或EH ＝EB 或AE ＝CE 均可．
12. 【答案】答案不唯一，如
AB ＝DE
[解析] ∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF.
在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，
∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，
∴△ABC ≌△DEF(SAS)．
13. 【答案】25°
14. 【答案】125 [解析] 由题意可得AD 平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠
CAB=70°.
∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.
15. 【答案】两直线平行，内错角相等
SAS 全等三角形的对应角相等 内错角
相等，两直线平行
16. 【答案】7
[解析] 过点P 作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥AB 于点G ，连接AP .∵△
ABC 的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，∴PF=PG=PE=2.∵S △BPC =2，∴BC ·2=2，解得BC=2.∵△ABC 的周长为11，
∴AC+AB=11-2=9.
∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.
三、解答题
17. 【答案】
∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，
在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，
∴AOB DOC △≌△， ∴OB OC =．
18. 【答案】
解：若要组成真命题，则论断(4)必须作为条件．因此可组成以下三个真命题： 命题①：若(1)(2)(4)，则(3)；命题②：若(1)(3)(4)，则(2)；命题③：若(2)(3)(4)，则(1)．
下面以命题①为例进行证明：
∵AD ⊥DC ，AE ⊥BE ，∴∠D ＝∠E ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AE ＝AD ，
∴Rt △ABE ≌Rt △ACD(HL)． ∴∠BAE ＝∠CAD.
∴∠BAE －∠BAC ＝∠CAD －∠BAC ， 即∠EAN ＝∠DAM.
在△ADM 和△AEN 中，⎩⎨⎧∠DAM ＝∠EAN ，
AD ＝AE ，∠D ＝∠E ，
∴△ADM ≌△AEN(ASA)． ∴AM ＝AN.
19. 【答案】
解：(1)∵AE ，BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAP ＝12∠BAC ，∠ABP ＝1
2∠ABC.
∴∠BAP ＋∠ABP ＝12(∠BAC ＋∠ABC)＝1
2(180°－∠C)＝60°.∴∠APB ＝120°. (2)证明：如图，过点P 作PF ⊥AB ，PG ⊥AC ，PH ⊥BC ，垂足分别为F ，G ，H.
∵AE ，BD 分别平分∠BAC ，∠ABC ， ∴PF ＝PG ，PF ＝PH. ∴PH ＝PG .
又∵PG ⊥AC ，PH ⊥BC ， ∴点P 在∠C 的平分线上．
(3)证明：①∵∠C ＝60°，PG ⊥AC ，PH ⊥BC ， ∴∠GPH ＝120°. ∴∠GPE ＋∠EPH ＝120°.
又∵∠APB ＝∠DPE ＝∠DPG ＋∠GPE ＝120°， ∴∠EPH ＝∠DPG . 在△PGD 和△PHE 中， ⎩⎨⎧∠PGD ＝∠PHE ＝90°
，PG ＝PH ，
∠DPG ＝∠EPH ，
∴△PGD ≌△PHE.∴PD ＝PE.
②如图，在AB 上截取AM ＝AD.
在△ADP 和△AMP 中，
⎩⎨⎧AD ＝AM ，
∠DAP ＝∠MAP ，AP ＝AP ，
∴△ADP ≌△AMP.
∴∠APD ＝∠APM ＝60°.
∴∠EPB ＝∠MPB ＝60°.
在△EBP 和△MBP 中，
⎩⎨⎧∠EPB ＝∠MPB ，
BP ＝BP ，
∠EBP ＝∠MBP ，
∴△EBP ≌△MBP.
∴BE ＝BM.
∴AB ＝AM ＋BM ＝AD ＋BE.
20. 【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°，
∵M 是AD 的中点，
∴AM ＝DM ，
在△AME 和△DMF 中，
⎩⎨⎧∠A ＝∠FDB
AM ＝DM
∠AME ＝∠DMF
， ∴△AEM ≌△DFM (ASA)；
(2)证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于H ，
解图①
∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°，
∴四边形ABGH 是矩形，
∴GH ＝AB ＝2，
∵M 是AD 的中点，
∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，
∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°.
∵∠AME ＋∠AEM ＝90°，
∴∠AEM ＝∠GMH ，
在△AEM 和△HMG 中，
⎩⎨⎧AM ＝GH
∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG
，
∴△AEM ≌△HMG ，
∴ME ＝MG ，
∴∠EGM ＝45°，
由(1)得△AEM ≌△DFM ，
∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ，
FMG EMG ≌△△∴，
∴GE ＝GF ，
∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°，
∴△GEF 是等腰直角三角形．
(3)解：如解图②，过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，
解图②
∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°，
∴四边形ABGH 是矩形，
∴GH ＝AB ＝23，
∵MG ⊥EF ，
∴∠GME ＝90°，
∴∠AME ＋∠GMH ＝90°，
∵∠AME ＋∠AEM ＝90°，
∴∠AEM ＝∠GMH ，
又∵∠A ＝∠GHM ＝90°，
∴△AEM ∽△HMG ，
∴EM MG ＝AM GH ，
在Rt △GME 中，tan ∠MEG ＝MG EM ＝ 3.
∴n =3
21. 【答案】
证明：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE.
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD ＝CD.
在△BDE 和△CDA 中，
⎩⎨⎧BD ＝CD ，
∠BDE ＝∠CDA ，DE ＝DA ，
∴△BDE ≌△CDA(SAS)．
∴BE ＝AC ＝AN ，∠DBE ＝∠DCA.
∴AC ∥BE.∴∠ABE ＋∠BAC ＝180°.
∵∠BAM ＝∠CAN ＝90°，
∴∠MAN ＋∠BAC ＝180°.
∴∠ABE ＝∠MAN.
在△ABE 和△MAN 中，⎩⎨⎧AB ＝MA ，
∠ABE ＝∠MAN ，BE ＝AN ，
∴△ABE ≌△MAN(SAS)．
∴AE ＝MN.
∵AE ＝2AD ，∴MN ＝2AD.。