因式分解法解一元二次方程典型例题

典型例题一

例 用因式分解法解下列方程：

(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．

解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0

y ＋1＝0或y ＋6＝0

∴y 1＝－1，y 2＝－6

(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0

(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0

∴t 1＝2

1，t 2＝3．

(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0

∴x 1＝0，x 2＝23

说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．

(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1

＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：

原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．

(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考

典型例题二

例 用因式分解法解下列方程

6223362+=+x x x

解：把方程左边因式分解为：

0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x

∴ 3

2,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

典型例题三

例 用因式分解法解下列方程。

1522+=y y

解: 移项得：01522=--y y

把方程左边因式分解

得：0)3)(52(=-+y y

∴052=+y 或03=-y ∴.3,2

521=-=y y 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

典型例题四

例 用因式分解法解下列方程

（1）021362=+-x x ；

（2）0)23(9)12(322=--+x x ；

分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.

解：（1）原方程可变形为

,0)2)(16(=--x x

016=-x 或02=-x ， ∴2,6

121==x x . （2）原方程可化为

0)633()332(22=--+x x ，

即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x ， ∴0)363)(6335(=-+-+x x ， ∴06335=-+x 或0363=-+x ， ∴321,5

13221+=-=x x . 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.

典型例题五

例 用因式分解法解方程：

（1）03652=--x x ；

（2）0)32(3)32(22=---x x ；

（3）0223)222(2=+---x x ；

（4）066)2332(2=++-x y .

分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为0=⋅B A 的形式，然后通过0=A 或0=B ，求出21,x x .

解：（1）0)4)(9(=+-x x ，

09=-x 或04=+x .

.4,921-==∴x x

（2）0)364)(32(=---x x ，

即 0)94)(32(=--x x .

∴032=-x 或094=-x ， ∴.4

9,2321==x x （3）[]

0)223()1(=--+x x ，

即 01=+x 或0)223(=--x . ∴223,121-=-=x x .

（4）0)23)(32(=--y y ，

即 032=-y 或023=-y ， ∴23,3221==y y .

说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.

典型例题六

例 用适当方法解下列方程： （1）0522=-x ； （2）)2

1()1(2252---=+x x x x ； （3）14)1(2)3(222+=-+-x x x ； （4）

010342=+-x x

（5）04732=+-x x （用配方法）

解：（1）移项，得

522=x ，

方程两边都除以2，得

2

52=x ，

解这个方程，得

2

5±=x ， 102

1±

=x ， 即 10211=

x ，.102

12-=x （2）展开，整理，得 .042=+x x

方程可变形为

0)14(=+x x

0=x 或014=+x ，

∴ .4

1,021-==x x （3）展开，整理，得

0151642=+-x x ，

方程可变形为

0)52)(32(=--x x

032=-x 或052=-x

∴ .2

5,2321==x x （4）∵ ,10,34,1=-==c b a

081014)34(422>=⨯⨯--=-ac b ，

∴ .2322

2234128)34(±=±=⨯±--=x ∴ 2321+=x , 2322-=x