专题25等腰三角形的轴对称性(1)-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【苏科版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题2.5等腰三角形的轴对称性（1）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江苏苏州市·七年级月考）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ） A ．12
B ．12或15
C ．15或18
D ．15
【答案】D
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．
【详解】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D ．
2．（2019·江苏苏州市·八年级月考）如图，在ABC 中，己知AB AC BD ==，218∠=︒，那么1∠的度数为（ ）
A ．72°
B ．66°
C ．60°
D ．54°
【答案】B 【分析】根据等腰三角的两底角相等，可得∠1与∠3，∠B 与∠C 的关系，根据三角形外角的性质，可得
一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：AB＝AC＝BD，
∴∠B＝∠C，∠1＝∠3．
设∠1＝x°＝∠BAD，
∠B＝∠C＝180°−2x，
由三角形外角的性质得∠1＝∠2＋∠C，
即x＝18°＋（180°−2x）
解得x＝66°，
则∠1＝66°．
故选：B．
3．（2021·江苏九年级专题练习）等腰三角形的一个外角是130°，则它的底角的度数为（）A．65°B．80°或50°C．50°D．65°或50°
【答案】D
【分析】分该外角是底角的外角还是顶角的外角两种情况解答即可．
【详解】解：①当该外角是底角的外角时，底角为：180°-130°=50°；
②当该外角是顶角的外角时，则底角为：130°×1
2
=65°
所以底角为65°或50°．
故选D．
4．（2019·苏州市吴江区青云中学八年级月考）已知等腰三角形的一个内角等于50︒，则该三角形的一个底角是（）
A．65︒B．50︒或60︒C．65︒或50︒D．50︒
【答案】C
【分析】分已知内角是底角和顶角两种情况讨论即可．
【详解】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是18050652．
故选：C ． 5．（2021·江苏无锡市·八年级期中）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，点E 、F 分别是AD 的三等分点，若ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积为（ ）cm 2．
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6
【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD CD =，AD BC ⊥，利用三角形面积公式得到 BEF CEF S S =△△，所以图中阴影部分的面积12ABC S =△． 【详解】解：∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，
∴BD CD =，AD BC ⊥，
∴BEF CEF S S =△△（同底等高的三角形面积相等），
∴图中阴影部分的面积11==12=622
ABD ABC S
S =⨯（cm 2）． 故选：D ．
6．（2020春•江苏省丹阳市期末）如果等腰三角形有两边长为5和8，那么该三角形的周长为（ ）
A ．18
B ．20
C ．21
D ．18或21 【分析】分5是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解析】①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、8，
能组成三角形，
周长＝5+5+8＝18，
②5是底边时，三角形的三边分别为5、8、8，
能够组成三角形，
周长＝5+8+8＝21，
综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21．
故选：D ．
7．（2020•江苏省徐州模拟）等腰三角形有一个角的度数是80°，则另两个角的度数可能是（ ）
A ．40°，40°
B ．20°，20°
C ．80°，20°
D ．30°，50°
【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解析】分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=180°−80°2
=50°； （2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°． 故选：C ．
8．（2019秋•江苏省无锡期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BA 的延长线上一点，且CD ＝AB ，若∠B ＝32°，则∠D 等（ ）
A ．48°
B ．58°
C ．64°
D ．74°
【分析】首先利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠DAC 的度数，然后利用等边对等角求得答案即可．
【解析】∵AB ＝AC ，∠B ＝32°，
∴∠DAC ＝2∠B ＝64°，
∵CD ＝AB ，
∴CA ＝CD ，
∴∠D ＝∠DAC ＝64°，
故选：C ．
9．（2020·江苏苏州市·八年级月考）如图，在ABC 中，AB AC =，AD AE =，30BAD ∠=︒，EDC ∠的度数是（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．20︒
D ．25︒
【答案】B 【分析】由题意易得B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，根据三角形内角和定理可得1502DAE C ∠=︒-∠，进而可得AED EDC C ∠=∠+∠，然后问题可求解．
【详解】解：∵AB AC =，AD AE =，
∴B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，
在ABC 中，由三角形内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
∵30BAD ∠=︒，
∴1502DAE C ∠=︒-∠，
∵AED EDC C ∠=∠+∠，180AED EDA DAE ∠+∠+∠=︒，
∴221502180EDC C C ∠+∠+︒-∠=︒，
∴15EDC ∠=︒，
故选B ．
10（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝70°，点P 是∠BAC 的平分线AP 和∠CBD 的平分线BP 的交点，射线CP 交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数为（ ）
A ．15°
B ．17.5°
C ．20°
D ．22.5°
【答案】A 【分析】由AB ＝AC ，根据等腰三角形的性质推出∠ABC ＝∠ACB ＝70°，由角平分线的定义推出∠APB ＝12∠ACB ＝35°，最后用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，AP 与BC 相交于点O ，
∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，
∴∠CAB ＝40°，
∵点P 是△ABC 内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB ＝12
∠ACB ＝35°，
∵AB＝AC，AP是∠BAC的平分线，∴AP⊥BC，OB＝OC，
∴CP＝BP，
∴∠APC＝∠APB＝35°，
∴∠BPC＝70°，
∵BP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBD＝1
2
∠CBD＝55°，
∴∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021·江苏苏州市·七年级月考）等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则它的周长为_______．【答案】16cm或14cm
【分析】根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，分两种情况：①当腰长为6cm时，②当腰长为4cm 时，解答出即可．
【详解】解：根据题意，
①当腰长为6cm时，等腰三角形的三边分别为6，6，4，符合三角形三边关系，
周长＝6+6+4＝16（cm）；
②当腰长为4时，等腰三角形的三边分别为4，4，6，符合三角形三边关系，
周长＝4+4+6＝14（cm）．
故答案为：16cm或14cm．
12．（2021·常熟市第一中学七年级月考）一个等腰三角形的周长是17cm，其中一边长是3cm，则它的底边长是_________cm．
【答案】3
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当长是3cm的边是底边时，
（17-3）÷2=7，
三边为3cm，7cm，7cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，
底边长是：17-3-3=11cm，而3+3＜11，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故答案为：3．
13．（2019·江苏苏州市·八年级月考）已知等腰三角形的一个角是95º，则它顶角的度数为_______ ．
【答案】95
【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】∵等腰三角形的一个角是95º，
∴95°角是这个等腰三角形的顶角，不可能是底角，
∴它顶角的度数为95º．
故答案是：95．
14．（2020·江苏苏州市·八年级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为_______
【答案】30°或60°
【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．
【详解】解：分两种情况：
①如图，
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠ABC=1
2
（180°-∠A）=60°；
②如图，
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC=1
2
（180°-∠BAC）=30°．
故答案为：30°或60°．
15．（2020春•江苏省海安市期末）△ABC中，AB＝BC，△ABC的中线AM将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为7或11．
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则AM＝CM＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
【解析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BM＝CM＝x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴有两种情况：
①当3x＝15，且x+y＝12，解得x＝5，y＝7，
此时AB＝BC＝10，AC＝7，能构成三角形，
∴AC＝7；
②当x+y＝15且3x＝12时，解得x＝4，y＝11，
此时AB＝BC＝8，AC＝11，能构成三角形，
∴AC＝11；
综上，AC的长为7或11．
16．（2019秋•江苏省无锡期末）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝120°，则∠ADC＝40°．
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝120°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
【解析】∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD=α2，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝120°−α2，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+120°−α
2
=180°，
解得：α＝40°．
∴∠ADC＝40°，
故答案为：40°．
17．（2020春•江苏省仪征市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC 于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是30°或70°．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝40°，根据角平分线的性质可得∠DBC＝20°，再分两种情况：∠EDC＝90°；∠DEC＝90°；进行讨论即可求解．
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝20°，
当∠EDC＝90°时，
∠BDE＝180°﹣20°﹣40°﹣90°＝30°；
当∠DEC＝90°时，
∠BDE＝90°﹣20°＝70°．
故∠BDE的度数是30°或70°．
故答案为：30°或70°．
18．（2021·江苏南京市·九年级三模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成．两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝84°．则∠CDE是_________ °．
【答案】68
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝84°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O ＋∠OED ＝3∠ODC ＝∠BDE ＝84°，
∴∠ODC ＝28°，
∵∠CDE ＋∠ODC ＝180°−∠BDE ＝96°，
∴∠CDE ＝96°−∠ODC ＝68°．
故答案为：68．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019·常熟市外国语初级中学八年级月考）如图，在ABC 中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠的度数．
【答案】1807
A ︒∠= 【分析】由题意易得,,A ADE BED EBD C BDC ABC ∠=∠∠=∠∠=∠=∠，由三角形外角可得2,3DE
B A BD
C A AB
D A ∠=∠∠=∠+∠=∠，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵AB AC =，BC BD ED EA ===，
∴,,A ADE BED EBD C BDC ABC ∠=∠∠=∠∠=∠=∠，
由三角形外角的性质得：2,3ABD DEB A BDC A ABD A ∠=∠=∠∠=∠+∠=∠，
∴3ABC C A ∠=∠=∠，
∴在ABC 中，由三角形内角和可得：180ABC C A ∠+∠+∠=︒，即7180A ∠=︒， ∴1807A ︒∠=． 20．（2021·盐城市初级中学八年级期末）如图，在ABC 中，,,26AB AC AD BC BAD =⊥∠=︒，且AD AE =，求AED ∠的度数．
【答案】77°
【分析】由条件可先求得∠DAE ，再根据等腰三角形的性质可求得∠AED ．
【详解】.解：,AB AC AD BC =⊥
ABC ∴为等腰三角形，且AD 为底边上的高
AD ∴为BAC ∠的平分线（三线合一）
26,DAC BAD ∴∠=∠=︒
,AD AE =
,ADE AED ∴∠=∠
71780262
AED ︒-︒∴∠==︒ 21．（2021·江苏常州市·八年级期末）如图，ABC 中，AD 是边BC 上的高，CF 是边AB 上的中线，DC ＝BF ，点E 是CF 的中点．
（1）求证：DE CF ⊥；
（2）求证：2B BCF ∠∠＝．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接DF ，根据直角三角形的性质得到DF ＝12
AB ＝BF ，进而证明DC ＝DF ，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到2FDB DFC ∠∠＝，根据等腰三角形的性质证明结论． 【详解】解：（1）连接DF ，
∵AD 是边BC 上的高，
∴90ADB ∠︒＝
， ∵点F 是AB 的中点，
∴DF ＝12
AB ＝BF ， ∵DC ＝BF ，
∴DC ＝DF ，
∵点E 是CF 的中点．
∴DE CF ⊥；
（2）∵DC ＝DF ，
∴DFC DCF ∠∠＝，
∴2FDB DFC DCF DFC ∠∠∠∠＝＋＝，
∵DF ＝BF ，
∴FDB B ∠∠＝，
∴2B BCF ∠∠＝．
22．（2020·苏州新草桥中学八年级月考）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，DE 垂直平分AB ．
（1）如果6cm AC =，8cm BC =，试求ACD △的周长；
（2）如果:4:7CAD BAD ∠∠=，求B 的度数．
【答案】（1）14cm ；（2）∠B =35°．
【分析】（1）由AB的垂直平分线DE交AB、BC于E、D，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长=AC+BC；（2）由∠CAD：∠BAD=4：7，可设∠CAD=4x，∠BAD=7x，继而可得方程4x+7x+7x=90°，解此方程即可求得答案．
【详解】解：（1）∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BD+CD=AC+BC=14（cm）；
（2）∵∠CAD：∠BAD=4：7，
∴设∠CAD=4x，∠BAD=7x，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=7x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°，
∴4x+7x+7x=90°，
解得：x=5°，
∴∠B=35°．
23．（2019秋•江苏省东海县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”
或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．
（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案．
（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED ＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【解析】（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA=12（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
24．（2020·苏州市吴江区青云中学八年级月考）如图（1），ABC 中，CD 、BE 分别是高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点．
（1）求证：MN DE ⊥；
（2）若A α∠=，求DME ∠的度数（用含α的式子表示）．
（3）如图（2），若将锐角ABC 变为钝角ABC ，直接写出DME ∠与BAC ∠的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DME =180°-2α；（3）∠DME =2∠BAC -180°．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知DM =ME ，再根据N 为DE 的中点，利用垂直平分线的判定定理即可证明；
（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等可得∠ABC +∠ACB =180°-∠A 和∠BMD +∠CME ，然后根据平角等于180°表示出∠DME ，整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME +∠CMD ，然后根据平角等于180°表示出∠DME ，整理即可得解．
【详解】解：（1）如图（1）∵CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 是BC 的中点， ∴11,22
DM BC ME BC ==， ∴DM =ME
又∵N 为DE 中点，
∴DN =NE ，
∴MN ⊥DE ；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=ME=BM=MC，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A=180°-2α；
（3）∠DME=2∠BAC-180°，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
由（2）得DM=ME=BM=MC，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°-∠BAC）=360°-2∠BAC，∴∠DME=180°-（360°-2∠BAC）=2∠BAC-180°．。