人教A版高中数学选修一高二上学期期末考试(理)试题(扫描版).docx

高二数学（理）参考答案及评分标准
B B
C A A B
D D C A C D
13.x 2
－y 23＝1 14. 27
1 15 0＜a ＜1 16 25
17.解:(I)由频率分布表得3
1000.03
M ==, 所以100(333715)42m =-+++=,
420.42100n ==, 0.030.030.370.420.151N =++++=
频率分布表如下
------------------4分
(Ⅱ)由题意知,全区90分以上学生估计为
4215
0010260100
+⨯=１80人 -------6分 (III)设考试成绩在(]0,30内的3人分别为A 、B 、C;考试成绩在(]30,60内的3人分别为a 、b 、c, 从不超过60分的6人中,任意抽取2人的结果有:
(A,B),(A,C),(A ,a),(A,b),(A,c), (B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a), (C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c)共有15个 设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D. 则事件D 含有3个结果: (A,B),(A,C) ,(B,C) ∴31
()155P D =
=
---------------12分 18(Ⅰ)设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于8”， 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是
0.001 0.002
0.003
0.004
0.005 0.006 0.007 0.008
0.009 0.010
0.011
0.012
0.013 0.014 0.015 0.016 分数 频率/组30 60 90 120 150
（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，
数字之和大于或等于8的是（1、3、4），（2、3、4），共2种，
所以P(A)=
21
42
. ………………6分 (Ⅱ)设B 表示事件“至少一次抽到3”，
第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个 事件B 包含的结果有（1、3）（3、1）（2、3）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个 所以所求事件的概率为P(B)=
7
16
. …………………12分 19解：解法一：(1)∵BC ∥B 1C 1，
∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角， 即∠A 1BC ＝60°，
连接A 1C ，又AB ＝AC ，则A 1B ＝A 1C ∴△A 1BC 为等边三角形， 由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°⇒BC ＝2， ∴A 1B ＝2⇒1＋a 2＝2⇒a ＝1； (2)取A 1B 的中点E ，连接B 1E ，过E 作EF ⊥BC 1于F ，连接B 1F ，B 1E ⊥A 1B ，A 1C 1⊥B 1E ⇒B 1E ⊥平面A 1BC 1⇒B 1E ⊥BC 1.
又EF ⊥BC 1，所以BC 1⊥平面B 1EF ，即B 1F ⊥BC 1，
所以∠B 1FE 就是平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的平面角．
在△B 1EF 中，∠B 1EF ＝90°，B 1E ＝2
2，B 1F ＝1×23
，
∴sin ∠B 1FE ＝B 1E B 1F ＝3
2
⇒∠B 1FE ＝60°，
因此平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的大小为60°.
解法二：(1)建立如图坐标系，于是B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，A 1(0,0，a )(a ＞0)，
B 1
C 1→＝(－1,1,0)，A 1B →
＝(1,0，－a )， ∴B 1C 1→·A 1B →＝－1.
由于异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角60°，
所以B 1C 1→与A 1B →
的夹角为120°，
即|B 1C 1→|·|A 1B →
|cos120°＝－1⇒2·1＋a 2(－12
)＝－1⇒a ＝1.
(2)设向量n ＝(x ，y ，z )且n ⊥平面A 1BC 1
于是n ⊥A 1B →且n ⊥A 1C 1→，即n ·A 1B →＝0且n ·A 1C 1→
＝0，
于是A 1B →＝(1,0，－1)，A 1C 1→
＝(0,1,0)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x －z ＝0y ＝0，
不妨设n ＝(1,0,1)，
同理得m ＝(1,1,0)，使m ⊥平面BB 1C 1， 设m 与n 的夹角为θ，所以依m ·n ＝|m |·|n |·cos θ，
⇒2·2·cos θ＝1⇒cos θ＝1
2
⇒θ＝60°，
m ⊥平面BB 1C 1，n ⊥平面A 1BC 1，
因此平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的大小为60°.
20. 解析 (1)证明：因为DP ⊥平面ABCD ，所以DP ⊥AC .因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又因为BD ∩PD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD .因为DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE
.
(2)解：连接OE ，在△PBD 中，EO ∥PD ，所以EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .
设PD ＝t ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，E (0,0，t
2
)，P (0，－3，t )．
AB →
＝(－1，3，0)，AP →
＝(－1，－3，t )．
由(1)知，平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)，设平面PAB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·AB →＝0，n 2
·AP →＝0，
即⎩⎨
⎧
－x ＋3y ＝0，
－x －3y ＋tz ＝0.
令y ＝1，得n 2＝(3，1，23t )．因为二面角A －PB －D 的余弦值为15
5，所以|cos 〈n 1，n 2〉
|＝
34＋12
t
2
＝
15
5
，解得t ＝23或t ＝－23(舍去)，所以P (0，－3，23)． 设EC 与平面PAB 所成的角为θ.因为EC →
＝(－1,0，－3)，n 2＝(3，1,1)，所以sin θ＝|cos 〈EC →
，n 2〉|＝2325
＝155，所以EC 与平面PAB 所成角的正弦值为155.
21解析解析：(1)双曲线的方程可化为x 22
－y 2
＝1，则|F 1F 2|＝2 3.
∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＞|F 1F 2|＝2 3.
∴P 点的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点，长轴为4的椭圆．
设E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
由2a ＝4,2c ＝23得a ＝2，c ＝3，∴b 2＝1.
故所求方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)存在满足条件的D .
设满足条件的点D (m,0)，则0≤m ≤ 3. 设l 的方程为y ＝k (x －3)(k ≠0)，
代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝83k 2
1＋4k 2
.
∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－23)＝－23k
1＋4k 2
.
∵以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形， ∴(DA →＋DB →)⊥AB →. ∵DA →＋DB →
＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)
＝(83k 21＋4k 2－2m ，－23k 1＋4k 2)，AB →的方向向量为(1，k )，所以(DA →＋DB →)·AB →
＝0⇔83k 21＋4k 2
－2m ＋－23k 1＋4k 2
·k ＝0， 即m ＝33k 2
1＋4k 2＝33
4－3431＋4k 2
.
∵k 2＞0，∴0＜m ＜33
4
＜ 3.∴0＜m ＜ 3.
∴存在满足条件的点D . 22解析 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知c a ＝
2
2
，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2.又a 2
＝b 2
＋c 2
，因此b ＝2，故椭圆的标准方程为x 28＋y 2
4
＝1.由题意设等轴双曲线的标准
方程为x 2m 2－y 2
m
2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标
准方程为x 24－y 2
4
＝1.
(2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0
x 0－2
. 因为点P 在双曲线x 2
－y 2
＝4上，所以x 2
0－y 2
0＝4. 因此k 1k 2＝
y 0
x 0＋2·
y 0
x 0－2＝
y 20
x 20－4
＝1，即k 1k 2＝1.
(3)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)，将其代入椭圆方
程得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 2
1－8＝0，
所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1·x 2＝8k 2
1－8
2k 21＋1.
所以|AB |＝1＋k 2
1x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝1＋k
2
1
8k 2
12k 2
1＋12
－4×8k 2
1－82k 21＋1＝42k 2
1＋12k 21＋1
.
同理可得|CD |＝42k 22＋1
2k 22＋1
则1|AB |＋1|CD |＝142(2k 21＋1k 21＋1＋2k 2
2＋1k 22＋1
)， 又k 1k 2＝1，所以1
|AB |＋1
|CD |＝1
42(2k 21＋1k 21
＋1＋
2
k 2
1
＋1
1
k 21
＋1
) ＝28(2k 2
1＋1k 21＋1＋k 2
1＋2k 21＋1)＝328. 故
1
|AB |＋1|CD |＝32
8恒成立．。