大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
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Ax Bx Ay B y Az Bz
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
2.2 自然坐标系下的加速度
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因 此，自然坐标系中可将速度表示为：
ds v v dt
由加速度的定义有
d v d d v a v dt dt dt
1. 加速度 加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快
慢的物理量。
v (t )
z
r (t )
P1
v
P2
v (t )
v
v (t t )
r (t t )
o
v (t t )
y 平均加速度
x
Δv a Δt
平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。
位移的大小为
2 2 2 r x y z
z
路程是质点经过实际路径的长
度。路程是标量。
注意区分 Δ r 、r
Δr
Δr r ( A)
o x
A ΔS
B
r ( B) y
rA
o
rB
Δ
r
3. 速率和速度 速度是描述质点位置随时间变化快慢和方向的物理量。
平均速度
C A B
平行四边形法则 三角形法则
B A
C
B
C
C A B A (B)
B B A
A
B
或者A B C
B B A
C
C
矢量的标积（或称点积、点乘）
A B AB cos 为一标量
Δ r lim Δ t 0 Δ t
d r dt
r (t )
P2 P2 P2 PP P1 22 P2 P2 P 2 r (t 0 ) P 2
o
r (t t )
在三维直角坐标系中
r xi yj zk
dx dy dz v i j k dt dt dt
§1-2 位置矢量 位移 速度
1. 位置矢量
在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量， 叫做位臵矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原点 指向质点所在位置的有向线段。 z
r xi yj zk
2 2 2 r r x y z
cos x / r cos y / r cos z / r x 2 2 2 cos cos cos 1
将运动方程中的时间消去， 得到质点运动的轨迹方程。一般 情况轨迹方程是空间曲线。
f ( x, y, z) 0
z
P(x,y,z) k o y i j
f ( x, y, z) 0
x
2. 位移
位移 反映质点位置变化的物 理量，从初始位置指向末位置的 有向线段。 Δ r AB rB rA 在二维直角坐标系中
两端积分得到运动方程
d x (v at ) d t
x t x0 0 0
1 2 x x0 v0t at 2 2 2 消去时间，得到 v v0 2a( x x0 )
2. 切向加速度和法向加速度
在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都 在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更 好地理解加速度的物理意义。 2.1 自然坐标系 在运动轨道上任一点建立 正交坐标系 , 其一根坐标轴沿轨 et 道切线方向 , 正方向为运动的前 e O n 进方向；一根沿轨道法线方向， en 正方向指向轨道内凹的一侧。
t
t0
Adt B0 : t t 0时的位置矢量。
经典力学
力学研究的是物质的机械运动。力学是整个物 理学的基础。它的概念、方法和原理深刻地影 响和规范了其他物理学分支的建立和发展。 本篇主要研究质点动力学，刚体的转动， 机械振动和机械波。
第一章
质点的运动学
运动学是定量描述物体运动状态和过程的数 学理论，不追究运动和改变运动状态的原因。 本章主要内容：运动状态的描述， 运动表达式， 伽利略时间观。
B
可以得到：i i 1, j j 1, k k 1 i j 0, i k 0, j k 0
A
标积性质： A B B A ( A B) C C ( A B)
i
j
1
矢量的导数与积分
dAx dAy dAz dA d ( Ax i Ay j Az k ) i j k dt dt dt dt dt
d dA dB ( A B) dt dt dt d (cA) dA c (c为常数） dt dt
大小
a
2 ax
2 ay
2 az
加速度的方向 就是时间 t 趋近于零时，速度增量 的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。 加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。 加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
v a
v a
a
v
加速度与速度的夹角大于90，速率减小。 加速度与速度的夹角等于 90，速率不变。
rB
Δ
rA
o
r
思考题
质点的运动学方程为x=6+3t-5t 3(SI),判断正误:
质点作匀加速直线运动，加速度为正。
质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为正。 质点作变加速直线运动，加速度为负。
d vx d x ax 2 30t dt dt
2
例1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求 该质点的运动方程。 解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：
青年牛顿1666年6月22日至1667年3月25日两度回到乡间的老家1665年获学士学位1661年考入剑桥大学三一学院牛顿简介1667年牛顿返回剑桥大学当研究生次年获得硕士学位1669年发明了二项式定理1669年由于巴洛的推荐接受了卢卡斯数学讲座的职务全面丰收的时期16421672年进行了光谱色分析试验1672年由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员1680年前后提出万有引力理论1687年出版了自然哲学的数学原理牛顿简介牛顿第一定律
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v
近日点
v
v
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
ΔrLeabharlann dB 设 A, 有dB Adt ( Ax i Ay j Az k )dt dt 用不定积分则有：B Adt C ( Ax dt)i ( Ay dt) j ( Az dt)k C
B 或者用定积分： dB B0
平均速率
瞬时速率
Δr v Δt dr Δ r v lim Δ t 0 Δ t dt Δ s v Δt ds Δ s v lim Δ t 0 Δ t dt
平均速度的大小通常都小于同一运动过程中的平均 速率，但是瞬时速度的大小等于该时刻的瞬时速率。
§1-3 加速度
瞬时速度是矢量，直角坐标系中分量形式：
dr v dt
dx vx dt
大小:
dy dz vy vz dt dt 2 2 2 v v vx v y vz
方向: 当 t 0时位移 r 的极限方向，该位置
的切线方向，指向质点前进的一侧。
平均速度
瞬时速度
附录：矢量知识简介
矢量：有大小（包括单 位）和方向的量 A( A ) : A的大小 ˆ 表示：A AA
矢量在直角坐标系中的 表示： 设A与XYZ轴的夹角分别为，，
ˆ A : (单位矢量）A的方向
k
z
ˆ A
A
i
j
Y
X A Ax i Ay j Az k 式中：i , j , k 为XYZ轴方向的单位矢量
平均速率
Δr v Δt Δ S v Δt
z
Δr r ( A)
o
x
A ΔS
r ( B)
B y
平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均 速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。 例如质点沿闭合路径运动。
瞬时速度
当 t0时，P2点向P1点无限靠近。
r (t Δ t ) r (t ) v lim Δ t 0 Δt
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C A B
大小：C AB sin
方向：右手螺旋
C
B
矢积性质：A B B A A C ( A B) C A C B 可以得到：i j k , j k i , k i j . k i i 0, j j 0, k k 0
dv a dt
dv a dt
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
dv adt
v t v0 0
v v0 at
1 2 x x0 v0t at 2
v v0 at
根据速度的定义式：
dx v v0 at dt dx v0 at dt
r k o i j
P(x,y,z)
y
运动方程:在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一 定规律变化，位置或者它的坐标都为时间的函数。
r r t x x(t ) y y (t ) z z (t ) 例如： x x0 vt 1 2 x x0 v0t at 2
Ax A cos为矢量在X轴方向的分量（投影）cos Ay Az
Ax A Ay A cos 为矢量在Y轴方向的分量（投影）cos A A A cos为矢量在Z轴方向的分量（投影）cos Az
并且有： cos2 cos2 cos2 1
矢量相加（减）
空间 反映了物质的广延性，与物体的体积和 位置的变化联系在一起。 时间 反映物理事件的顺序性和持续性，与物 理事件的变化发展过程联系在一起。
牛顿： 空间和时间是不依赖于物 质的独立的客观存在，忽视与运动的 联系忽略客观性。 爱因斯坦： 相对论时空观，时间 与空间客观存在，与运动密不可分。
牛 顿
爱 因 斯 坦
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
2.2 自然坐标系下的加速度
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因 此，自然坐标系中可将速度表示为：
ds v v dt
由加速度的定义有
d v d d v a v dt dt dt
1. 加速度 加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快
慢的物理量。
v (t )
z
r (t )
P1
v
P2
v (t )
v
v (t t )
r (t t )
o
v (t t )
y 平均加速度
x
Δv a Δt
平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。
位移的大小为
2 2 2 r x y z
z
路程是质点经过实际路径的长
度。路程是标量。
注意区分 Δ r 、r
Δr
Δr r ( A)
o x
A ΔS
B
r ( B) y
rA
o
rB
Δ
r
3. 速率和速度 速度是描述质点位置随时间变化快慢和方向的物理量。
平均速度
C A B
平行四边形法则 三角形法则
B A
C
B
C
C A B A (B)
B B A
A
B
或者A B C
B B A
C
C
矢量的标积（或称点积、点乘）
A B AB cos 为一标量
Δ r lim Δ t 0 Δ t
d r dt
r (t )
P2 P2 P2 PP P1 22 P2 P2 P 2 r (t 0 ) P 2
o
r (t t )
在三维直角坐标系中
r xi yj zk
dx dy dz v i j k dt dt dt
§1-2 位置矢量 位移 速度
1. 位置矢量
在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量， 叫做位臵矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原点 指向质点所在位置的有向线段。 z
r xi yj zk
2 2 2 r r x y z
cos x / r cos y / r cos z / r x 2 2 2 cos cos cos 1
将运动方程中的时间消去， 得到质点运动的轨迹方程。一般 情况轨迹方程是空间曲线。
f ( x, y, z) 0
z
P(x,y,z) k o y i j
f ( x, y, z) 0
x
2. 位移
位移 反映质点位置变化的物 理量，从初始位置指向末位置的 有向线段。 Δ r AB rB rA 在二维直角坐标系中
两端积分得到运动方程
d x (v at ) d t
x t x0 0 0
1 2 x x0 v0t at 2 2 2 消去时间，得到 v v0 2a( x x0 )
2. 切向加速度和法向加速度
在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都 在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更 好地理解加速度的物理意义。 2.1 自然坐标系 在运动轨道上任一点建立 正交坐标系 , 其一根坐标轴沿轨 et 道切线方向 , 正方向为运动的前 e O n 进方向；一根沿轨道法线方向， en 正方向指向轨道内凹的一侧。
t
t0
Adt B0 : t t 0时的位置矢量。
经典力学
力学研究的是物质的机械运动。力学是整个物 理学的基础。它的概念、方法和原理深刻地影 响和规范了其他物理学分支的建立和发展。 本篇主要研究质点动力学，刚体的转动， 机械振动和机械波。
第一章
质点的运动学
运动学是定量描述物体运动状态和过程的数 学理论，不追究运动和改变运动状态的原因。 本章主要内容：运动状态的描述， 运动表达式， 伽利略时间观。
B
可以得到：i i 1, j j 1, k k 1 i j 0, i k 0, j k 0
A
标积性质： A B B A ( A B) C C ( A B)
i
j
1
矢量的导数与积分
dAx dAy dAz dA d ( Ax i Ay j Az k ) i j k dt dt dt dt dt
d dA dB ( A B) dt dt dt d (cA) dA c (c为常数） dt dt
大小
a
2 ax
2 ay
2 az
加速度的方向 就是时间 t 趋近于零时，速度增量 的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。 加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。 加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
v a
v a
a
v
加速度与速度的夹角大于90，速率减小。 加速度与速度的夹角等于 90，速率不变。
rB
Δ
rA
o
r
思考题
质点的运动学方程为x=6+3t-5t 3(SI),判断正误:
质点作匀加速直线运动，加速度为正。
质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为正。 质点作变加速直线运动，加速度为负。
d vx d x ax 2 30t dt dt
2
例1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求 该质点的运动方程。 解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：
青年牛顿1666年6月22日至1667年3月25日两度回到乡间的老家1665年获学士学位1661年考入剑桥大学三一学院牛顿简介1667年牛顿返回剑桥大学当研究生次年获得硕士学位1669年发明了二项式定理1669年由于巴洛的推荐接受了卢卡斯数学讲座的职务全面丰收的时期16421672年进行了光谱色分析试验1672年由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员1680年前后提出万有引力理论1687年出版了自然哲学的数学原理牛顿简介牛顿第一定律
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v
近日点
v
v
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
ΔrLeabharlann dB 设 A, 有dB Adt ( Ax i Ay j Az k )dt dt 用不定积分则有：B Adt C ( Ax dt)i ( Ay dt) j ( Az dt)k C
B 或者用定积分： dB B0
平均速率
瞬时速率
Δr v Δt dr Δ r v lim Δ t 0 Δ t dt Δ s v Δt ds Δ s v lim Δ t 0 Δ t dt
平均速度的大小通常都小于同一运动过程中的平均 速率，但是瞬时速度的大小等于该时刻的瞬时速率。
§1-3 加速度
瞬时速度是矢量，直角坐标系中分量形式：
dr v dt
dx vx dt
大小:
dy dz vy vz dt dt 2 2 2 v v vx v y vz
方向: 当 t 0时位移 r 的极限方向，该位置
的切线方向，指向质点前进的一侧。
平均速度
瞬时速度
附录：矢量知识简介
矢量：有大小（包括单 位）和方向的量 A( A ) : A的大小 ˆ 表示：A AA
矢量在直角坐标系中的 表示： 设A与XYZ轴的夹角分别为，，
ˆ A : (单位矢量）A的方向
k
z
ˆ A
A
i
j
Y
X A Ax i Ay j Az k 式中：i , j , k 为XYZ轴方向的单位矢量
平均速率
Δr v Δt Δ S v Δt
z
Δr r ( A)
o
x
A ΔS
r ( B)
B y
平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均 速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。 例如质点沿闭合路径运动。
瞬时速度
当 t0时，P2点向P1点无限靠近。
r (t Δ t ) r (t ) v lim Δ t 0 Δt
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C A B
大小：C AB sin
方向：右手螺旋
C
B
矢积性质：A B B A A C ( A B) C A C B 可以得到：i j k , j k i , k i j . k i i 0, j j 0, k k 0
dv a dt
dv a dt
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
dv adt
v t v0 0
v v0 at
1 2 x x0 v0t at 2
v v0 at
根据速度的定义式：
dx v v0 at dt dx v0 at dt
r k o i j
P(x,y,z)
y
运动方程:在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一 定规律变化，位置或者它的坐标都为时间的函数。
r r t x x(t ) y y (t ) z z (t ) 例如： x x0 vt 1 2 x x0 v0t at 2
Ax A cos为矢量在X轴方向的分量（投影）cos Ay Az
Ax A Ay A cos 为矢量在Y轴方向的分量（投影）cos A A A cos为矢量在Z轴方向的分量（投影）cos Az
并且有： cos2 cos2 cos2 1
矢量相加（减）
空间 反映了物质的广延性，与物体的体积和 位置的变化联系在一起。 时间 反映物理事件的顺序性和持续性，与物 理事件的变化发展过程联系在一起。
牛顿： 空间和时间是不依赖于物 质的独立的客观存在，忽视与运动的 联系忽略客观性。 爱因斯坦： 相对论时空观，时间 与空间客观存在，与运动密不可分。
牛 顿
爱 因 斯 坦