江苏省淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009学年度高三期末调查测试卷

淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009学年度高三期末调查测
试卷
数学试题
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1.已知集合A={x|x=2n —l ，n ∈Z}，B={x |x 2一4x<0}，则A ∩B= . 2.在复平面内，复数z=
1i
i
+(i 是虚数单位)对应的点位于第 象限· 3.若命题“∃x ∈R ，x 2+a x +1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是 . 4.已知向量
a =(sinx,cosx)，
b =(1，一2)，且a ⊥b ，则tan2x= .
5.如果实数x ，y 满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
，则z=x+2y 最小值为 .
6.若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在22,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的最大值为 . 7.已知一个棱长为6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm 的钢球，则球心到盒底的距离为 cm.
8.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T 为 .
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本斌卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位；置作答一律无效．
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. T ←1 I ←3
While I<50
T ←T +I
I ←I +2
End While Print T A B D E 第10题 第8题 第9题
9.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝1200，AB ＝AC ＝2，D 为BC 边上的点，且0AD BC =，
2CE EB =，则AD AE = .
10.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 . 11.已知函数f(x)= ()2f π'sinx+cosx ，则()4
f π
= .
12.如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的 小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机 落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 .
13.已知数列｛a n ｝共有m 项，记｛a n ｝的所有项和为s(1)，第二项及以后
所有项和为s(2)，第三项及以后所有项和为s(3)，…，第n 项及以后所有项和为s(n)，若s(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n<m 时，a n = .
14.设函数12,0
()(1),0
x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值
范围为 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分)
(1)从x ,y 中各取一个数，求x+y ≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为113y x =
+与11
22
y x =+，试利 用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.
16.(本小题满分14分)
如图，四边形ABCD 为矩形，BC 上平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证：AE ⊥BE ；
(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点． 求证：MN ∥平面DAE ．
A
B C
D
E
F
M
第16题
N
17.(本小题满分14分)
在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：
y=x ≥0). (1)求sin()6
π
α+
的值；
(2)若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标．
18.(本小题满分16分)
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 且与AF 垂直的光线经
椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF 平行.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设入射光线与右准线的交点为B ，过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线3x 一y+3=0相切，求椭圆的方程.
19.(本题满分16分)
已知函数f(x)=a lnx+x 2(a 为实常数).
(1)若a =－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在x ∈[1，e]，使得f(x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围. 20.(本小题满分16分)
已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,
2, 3.
n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩
(1)若0＜n a ≤6，求证：0＜1n a +≤6;
(2)若a ，k ∈N ﹡，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； (3)若3
21
m
a =- (m ∈N ﹡)，试求数列{}n a 的前4m+2项的和42m s +.
淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009学年度高三期
末调查数学附加题
21.【选做题】在A 、B 、c 、D 四道题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4一l ：几何证明选讲
在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ．若AC=1
2
AB ， 求证：BN=2AM ．
B.选修4—2：矩阵与变换 设a ,b ∈R ，若矩阵A=01a b ⎡⎤
⎢
⎥-⎣⎦
把直线l ：2x+y 一7=0变换为另一直线l '：9x+y 一91=0,试 求a ,b 的值.
C.选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为22,
14,
x t y t =+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数)．以Ox 为极轴建立
极坐标系，圆C
的极坐标方程为)4
π
ρθ=+
.
(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系.
注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本斌卷共2页，包含选做题(第21题中A 、B 、C 、D 四小题)、必做题(第22题、第23题)两部分．本试卷满分40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位；置作答一律无效．
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
第21－A 题
D ．选修4—5：不等式选讲
设x,y,z 为正数，证明：2(x 3+y 3+z 3)≥x 2(y+z)+ y 2(x+z)+ z 2(x+y).
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BC 的中点，点E 在D 1C 1上，且D 1E=
1
4
D 1C 1, 试求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值.
23.(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?
(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花． ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
②记花圃中红色鲜花区域的块数为S ，求拿的分布列及其数学期望E(S).
B
C
D
F
A 1
B 1
C 1 E
D 1
图一 图二
淮安市2008～2009学年度高三年级第二次调研考试 淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009学年度高三期
末调查答案及评分标准
必做题部分
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70 分。

1．{}13, 2．一 3．)2,(--∞ ∪),2(∞+ 4．3
4-
5．5 6．43
7．10
8．625 9．1 10．2
213-=y
x 11．0 12．81
77 13．12--n 14．[)3,4 二、 解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。

15．（1）从x,y 各取一个数组成数对(x ,y )，共有25对，……………………………………………2分
其中满足10≥+y x 的有)5,8(),4,8(),3,8(),2,8(),5,7(),4,7(),3,7(),5,6(),4,6(，共9对……………5分 故所求概率为259=P ，所以使10≥+y x 的概率为25
9
．………………………………………… 7分 （2）用131
+=
x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为 37
)5311()4310()33()22()134(222221=-+-+-+-+-=S ．………………………………
……10分
用2
1
21+=
x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为 2
1
)529()44()327()22()11(222222=-+-+-+-+-=S ．…………………………………
……12分
1
2S S < ，故用直线2
1
21+=
x y 拟合程度更
好．………………………………………………14分
16．（1）证明：因为ABE BC 平面⊥，ABE AE 平面⊂， 所以BC AE ⊥，………………………………………………2分 又ACE BF 平面⊥，ACE AE 平面⊂，
所以BF AE ⊥， ……………………………………………4分
又
BF BC B
=，所以
BCE AE 平面⊥………………………………………………………………………6分
又
BCE
BE 平面⊂，所以
BE AE ⊥． ………………………………………………………………8分
（2）取DE 的中点P ，连接PN PA ,，因为点N 为线段CE 的中点． 所
以
PN
||DC ，且
DC PN 2
1
=
， ……………………………………………………………………………10分 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ||DC ，且DC AM 2
1
=， 所以PN ||
AM ，且AM PN =，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ||AP …………
12分
而
⊂AP 平面D A E ，⊄MN 平面D A E ，所以MN
∥平面
D A
E ． ………………………………14分
17
．
(1)
由
射
线
l
的方程为y =，可得
3
1
cos ,322sin ==
αα， ………………………2分
故
sin()
6
π
α+
＝
1132⨯=. ………………………………………………………4分 (2)设()()
()0,022,,0,>>b a b b Q a P .
在
POQ ∆中因为
()16822
2=+-=b b a PQ ， …………………………………………………………6分
即
ab
ab ab ab b a 426291622=-≥-+=，所以
ab
≤
4 …………………………………………8分
∆∴=≤POQ S ．当且仅当b a 3=，即3
3
2,32=
=b a 取得等号. ……………………10分
所以P O Q ∆面积最大时，点,P Q 的坐标分别为
()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛364,332,0,32Q P ．……………………14分
18．⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为
︒45， …………………2分
即
︒
=∠45FAO ，所以b c =，所以椭圆的离心率
为
． ………………………………………………6分
⑵由⑴知,=b c a ，可得()()0,,2,A c B c c -，又A F A B ⊥，所以过,,A B F 三点的圆的圆心坐标为
,22c c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，半
径
1102r FB =
=， …………………………………………………………………………8分 因为过
,,A B F
三点的圆恰好与直线
330
x y -+=相
切，…………………………………………10分
所以圆心到直线330x y -+=的距离等于半径r ，
即=，得
1c =， …………14分
所
以12b a =，所以椭圆的方程为
2
212
x y +=． ………………………………………………………16分 19．（1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2
-=，当),1(+∞∈x ，0)
1(2)(2>-=
'x
x x f ， 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函
数．…………………………………………………………………4分
（2）)0(2)(2>+=
'x x
a
x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+． 若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上
是
增
函
数
，
此
时
=m i n
)]([x f 1)1(=f ． ……………………………………………………………6分 若222-<<-a e ，当2a
x -=
时，0)(='x f ；当2
1a
x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f
是减函数； 当
e x a ≤<-2时，0)(>'x
f ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2
(a
f - 2
)2ln(2a
a a --=
． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)
(x f 在],1[e 上是减函数，此时
==)()]([min e f x f 2e a +．………………………………………………………8分
综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f
的最小值为
2
)2ln(2a
a a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ．……………………………………………………………………………………10分
（3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．
∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ， 因
而
x
x x
x a ln 22--≥
（],1[e x ∈）…………………………………………………………………………12分
令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2
)
ln ()
ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，………………………………14分
当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，
从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，
故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． …………………………………16分
20．（1）当]3,0(∈n a 时，则∈=+n n a a 21]6,0(，当]6,3(∈n a 时，则]3,0(31∈-=+n n a a , 故]6,0(1∈+n a ，所以当60≤<n a 时，总有601≤<+n a ． ……………………………………4分
（2）①当1=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的∈=t t k ,3N*．
同理可得，当2=a 或4时，满足题意的∈=t t k ,3N*．
当3=a 或6时，满足题意的∈=t t k ,2N*．
②当5=a 时，1,4,2432===a a a ，故满足题意的k 不存在． ③当7≥a 时，由（1）知，满足题意的k 不存在． 综上得：当421，，
a =时，满足题意的∈=t t k ,3N*； 当63，a =时，满足题意的
∈=t t k ,2N*． ………………………………………10分 （3）由m ∈N *，可得112≥-m ，故31
23
≤-=
m
a , 当m k ≤<1时，32
23)12(22312232
1
111111
=⨯<-+⨯=-⨯≤-------m m m m m m m k a ． 故a a k k 1
2
-=且a a m
m 21=+．又31
2231
>-⨯=+m m
m a ， 所以a a a a m
m m m m =--⋅=-=-=++31
23
232312． 故4434)1(424++++--=m m m m a a S S
=4a a a a m m m )22()(1121+-+⋅++-+
=4a a a a m m m m 11123)12(423)221(-+-⨯--=⨯-+++ =1
212239)2
342(11
3
--⨯=⨯----+m m m m a ． (16)
分
附加试题
21．A 证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线,
所以
AC AM BC BM =．又已知1
2AC AB =， 所以2AB AM
BC BM
=…①…………………… 4分 又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦，
所以
B M B ⋅=⋅，
即
BA BN
BC BM
=……
② ………………………………8分 由①、②可知，2AM BN
BM BM
=，所以BN =2AM ． ………………………………10分
B 取l 上两点（0,7）和（3.5，0）， …………………………………………………………2分
则
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b b a 707010，
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.35.305.310a b a ， ………………………………………6分 由题意知)5.3,5.3(),7,0(-a b 在直线'l ：9x ＋y －91＝0上， ∴
7910
31.5 3.5910
b a -=⎧⎨
--=⎩ …………………………………………………………………………8分 解
得
3,13a b == …………………………………………………………………………10分
C （1）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为23y x =-； ………………………………4分
)4
(sin 22π
θρ+=,即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ
得
)cos sin (22θρθρρ+=，
消
去
参
数
θ
，得⊙
C
的直角坐标方程为：
22(1)(1)2x y -+-= ………………………8分
（2）圆心C 到直线l 的距离
d ==
<所以直线l 和⊙C 相交．…………10分 D
因
为
2220x y xy +≥≥ ………………………………………………………2分
所以
(
)()
()33x y +
=
…………………………………………………
4分 同
理
()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+ …………………………………………………8分
三式相加即可得()
()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++ 所
以
()
()()()332x y +
+
………………………………………
10分
22．设正方体棱长为1，以1,,DD 为单位正交基底，建立如图所示坐标系xyz D -，则
各
点
的
坐
标
分
别
为
()
1,1,11B ,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,41,0E ,
⎪⎭
⎫
⎝⎛0,1,21F ，………………………………………………2分 所以)1,1,1(1=DB ，)1,4
3
,21(-=， ……………………4分
1DB 为平面AC D 1的法向量，
87871
16
9
4131
143
1211,cos 111=++⨯⨯-⨯+⨯=
>=
<E DB .……8分 所以直线
EF
与平
面
AC
D 1所成角的正弦值为
87
87
.………………………………………………10分 23．（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248⨯⨯⨯=种．……………………
2分
（2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，
如图二，当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；
当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；
因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………………………………………4分
(由于只有A 、D ，B 、E 可能同色，故可按选用3色、4色、 5色分类计算，求出基本事件总数为3455
5
5
2420A A A ++=种） 它们是等可能的。

又因为A 、D 为红色时，共有43336⨯⨯=种；
B 、E 为红色时，共有43336⨯⨯=种；
因此，事件M 包含的基本事件有：36+36=72种． 所以，()P M =726
42035
=． ……………………………………………………………6分
②随机变量ξ的分布列为：
所以，()E ξ=60121353535
⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………10分
图二
A
D
B
E。