吉林省长春市2021届高三质量检测试题四理含解析 (数学)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝
A.{6}
B.{1，6}
C.{2，3}
D.{1，4，5，6}
2.在复平面内，复数6＋5i与－3＋4i对应向量OA与OB，则向量AB对应的复数是
A.－1＋9i
B.9＋i
C.－9－i
D.9－i
3.在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏。

在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如下：
从表中可以得出正确的结论为
A.表中m的值为8
B.估计观看比赛不低于5场的人数是860人
C.估计观看比赛场数的众数为8
D.估计观看比赛不高于3场的人数是280人
4.如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝－log3x的一个是
A.①
B.②
C.③
D.④
5.右面程序框图，输出的结果为S＝132，则判断框中应填
A.i ≥10？
B.i ≥11？
C.i ≤11？
D.i ≤12？
6.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝94，a 4＋a 5＝18，则其前5项的积为 A.64 B.81 C.192 D.243
7.已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为 A.553 B.556 C.423 D.426
8.学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为 A.718 B.730 C.915 D.13 9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，S n ≤S 7，则数列{a n }的通项公式可能是
A.a n ＝16－3n
B.a n ＝15－2n
C.a n ＝2n －14
D.a n ＝2n －15
10.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min 。

已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度H(m)关于时间t(min)的函数关系式为H ＝65－55cos
15
πt(0≤t ≤30)，若甲、乙两人的座舱之间有7个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为
3m D.55m
11.已知F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点，若直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，且∠AFB ＝60°，则椭圆离心率的取值范围是
A.(0，32)
B.(32，1)
C.(0，12)
D.(12
，1) 12.已知定义域为R 的函数f(x)满足f(x)＋xf'(x)>1(f'(x)为函数f(x)的导函数)，则不等式(1＋
x)f(1－x2)>f(1－x)＋x的解集为
A.(0，1)
B.(0，1]
C.(0，＋∞)
D.(0，1)∪(1，＋∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.
12
x dx=
⎰。

14.已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，其一条渐近线的方程为x－3y＝0，且过点(23，3)，则该双曲线的方程为。

15.在直三棱柱ABC－A1B1C1中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，AB⊥AC，∠ACB＝30°，四边形ACC1A1为正方形，M为A1B的中点，则直线C1M与直线AB所成角的余弦值为。

16.某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角α和β(β>a)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h＝；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差εn近似满足εn～
N(0，2
n
)，为使误差ε在(－0.5，0.5)的概率不小于0.9973，至少要测量次。

参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9973。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)
在①acosB－1
2
b＝c；②a2－b2＝c(b＋c)这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的
横线上并作答。

问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。

(I)求角A；
(II)若sinB＝3sinC，a13ABC的周长。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18.(本小题满分12分)
在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中，规定：每人最多投三次，在A处每投中一球得3分，
在B 处每投中一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。

某同学在A 处投中的概率为0。

25，在B 处投中的概率为b ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投。

用ξ表示该同学投篮比赛结束后所得的总分，其分布列为
(I)求b 的值；
(II)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)。

19.(本小题满分12分)
如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，CD ⊥AB 。

(I)指出四面体各面中与平面ACD 垂直的面，并加以证明；
(II)若AB ＝BC ＝1，二面角C －AD －B 的大小为α，当CD 长度变化时，求α的取值范围。

20.(本小题满分12分)
已知函数、f(x)＝(x －1)lnx 。

(I)求函数f(x)的最小值；
(II)若对任意的x>0，有f(ax ＋1)<2xe 2x －2x 恒成立，求实数a 的取值范围。

21.(本小题满分12分)
过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作不平行于x 轴的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于C 点，直线CF 交抛物线于D ，E 两点。

(I)求k AB ·k CE 的值； (II)证明：|CE|·|DF|＝|CD|·|FE|。

(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为x cos 1y sin θθ
=+⎧⎨=⎩(θ为参数)。

若以原点O 为极点，
以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ＋4
π)＝1。

(I)求出曲线C 的极坐标方程；
(II)若射线θ＝θ1(不包括端点)与曲线C 和直线l 分别交于A ，B 两点，当θ1＝(4π，3π)时，求|OA|·|OB|的取值范围。

23.(本小题满分10分)选修4－5不等式选讲
已知函数f(x)＝m －|x ＋2|，m ∈R ，且f(x －2)≥0的解集为[－3，3]。

(I)求m 的值；
(II)若a ，b ，c 是正实数，且a ＋2b ＋3c ＝m ，证明：11123a b c
++≥3。

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序言
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