2020年浙江专升本《高等数学》模拟试卷五(附答案)

25.一圆锥形蓄水池,高 10m,上截面半径 5m. 现盛满水,以水泵将水抽尽,问做功多少?(水的密
度 1000kg / m3, 重力加速度 g 10m / s 2 ， 3.14 )
26.设函数 f (x) 在 0,1上连续，在 (0,1) 内可导,且 f (0) 0, f (1) 1 ，证明：
两边求导： f (x) 2 f (x) 2xf (x)
f (x) 1 ，两边积分： f (x) 2x
ln f x 1 ln x c 1 ln cx ， f (x) c
2
2
x
又 f (1) 1 c ，故 f (x) 1 x
14. 【答案】 xf (x2 )
【知识点】积分上限函数求导
2020 年浙江专升本《高等数学》考前 10 套密押预测卷（五）
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分
注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸
规定的位置上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
对方程 2x y 0 e y y ，再对 x 求导：
2
y
ey(
y) 2
ey
y
，代入
x
，
y
及
y(0)
0 得：
y(0)
d2y dx2
|x0 1
.
10. 【答案】2 个根
【知识点】利用单调性求方程根的个数问题
【 解 析 】 k 4,
f (x) 4x ln 4 x 4 ln x k ， 则 f (x) 4 (ln3 x 1 x) ， x
【知识点】利用定积分的定义求极限
【解析】 lim ln n (1 1)(1 2)...(1 n)
n
nn
n
lim
n
1 n
ln
1
1 n
ln
1
2 n
...
ln
1
n n
1ln(1 x)dx
2
ln xdx
0
1
4.【答案】（D）
【知识点】利用数项级数的审敛法则判断级数敛散性
【解析】四个选项分别判断
lim(1)(2)...((n 1)) x0
(1)n1(n 1)!
7. 【答案】 e3
【知识点】求极限
x
【解析】
lim
x
(x
x2 1)( x
2)
x
lim
x
1 x 1
x
x
x
2
7
lim
x
1
1 x
1
x
1
2 x x
1 e1e2
e3
8. 【答案】 y 1 x 1 24
0
4
.
三、计算题：本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60
分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.
16.计算 lim x ln(1 x) . x0 1 cos x
2
ln
1
ax
3
17.已知
f
(x)
6
x
sin
x
,x0 , x 0 ，求：a 取何值， x 0 是 f (x) 的可去间断点.
16.【答案】2
【知识点】求极限
lim
【解析】 x0
x ln(1 x) 1 cos x
lim x0
xx x2
2
2
17.【答案】
【知识点】连续定义的综合应用
........（7 分）
【解析】（方法一）泰勒展开： x 0, ln(1 ax3）~ ax3，e ax 1 ax (ax)2 o(x 2) 2!
(2)求直线 L1 与 L2 的距离。
4
四、综合题：本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分.
24. 过点(0,1)作曲线 L： y ln x 的切线，切点为 A；L 与 x 轴相交于 B，区域 D 由曲线 L
与直线 AB 围成，求： （1）区域 D 的面积；
（2）区域 D 绕 x 轴一周的旋转体体积.
A.
n1
sin
1 n
B.
n1 tan
1 n
n 1
C. n1 n(n 2)
n2
D.
3n
n1
5.微分方程 y y 2y e2x x 的特解是（ ）
A. ax b
B. ae2x
C. axe2x
D. axe2x bx c
1
非选择题部分
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
eax
x2
ax
1
,
x0
x
sin
x 4
18.计算 arccos xdx .
19.已知 f (x) x f (t)dt 1 ，求 f (x) . 0
20.
已知 lim ln(1 x0
x) (ax bx2) x2
2
，求 a, b 的值.
3
x n1
21.
求幂级数数
n1
n3n
的和函数.
【解析】
x
tf
(x2
t 2 )dt
x2 t2 u
1
0 f (u)du 1
x2
f (u)du
0
2 x2
20
9
d
所以，
x
tf
(x2
t 2 )dt
(1
x2 f (u)du)' xf ( x2)
dx 0
20
15.【答案】 ln 1 2
【知识点】计算弧长（拓展知识）
【解析】 ds d dx 2 dy 2
左极限 lim f (x) lim ln(1 ax3） lim ax3
x0
x0 x sin x x0 x sin x
0
0
lim x0
3ax2 1 cos
x
lim
x0
3ax2 x2
6a
2
右极限 lim f (x) lim eax x2 ax 1
x0
x0
x
sin
x 4
lim
1
ax
A.
sin
1 n
~
1 n
，调和级数发散.
B.
tan
1 n
~
1
，p 级数且 p=1/2<1，发散.
n
n 1
C.
lim
n
n(n 2) 1
1 ，由正项级数的比较法知原级数与发散的调和级数
n1
1 n
敛散一样，故
n
发散.
D.
n2
对
3n
n1
采用正项级数的比值判别法， lim un1 u n
n
lim
二、填空题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
6. 已知 f (x) (e x 1)(e 2x 2)...(enx n) ，则 f (0) =
.
7.
极限
lim
x
(
x
x2 1)( x
2)
x
.
8. y x2 的斜渐近线方程是
.
2x 1
9.
由
y
y(x)
由方程
x2
y
1
ey
确定，则
C. 跳跃间断点
D. 第二类间断点
A. 奇函数
B. 偶函数 C. 单调函数 D. 有界函数
3. lim ln n (1 1)(1 2)...(1 n) 等于（
）
n
nn
n
2
A. ln xdx 1
1
B. ln xdx 0
C. 2 ln(1 x)dx 1
2
D. ln xdx 0
4.下列选项收敛的是（ ）
lim (ex 1)(e2x 2)...(enx n) f (0)
x0
x0
lim (ex 1)(e2x 2)...(enx n) 0
x0
x
lim (ex 1) lim(e2x 2)...(enx n) 1 lim(e2x 2)...(enx n)
x x0
x0
x0
(1 2)(1 3)...(1 n)
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
一、选择题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. f (x) (x 1) | x3 1|, x 1 是 f (x) 的（ ）

A. 连续点 B.可去间断点
2.设 f (x) 3 sin x 是（ ）
x
e0xx
的特解，
y*
0不是特征根
bx
c
；
故微分方程 y y-2y e2x x 的特解是 y* axe2x bx c
二、填空题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
6.【答案】 (1)n1(n 1)!
【知识点】导数的定义
【解析】 f (0) lim f (x) f (0) x0 x 0
22.
设
f
(x)
1 x2 cos x
4
,x0
x
，记 F (x) f (t)dt .求：
,x0
1
(1) F (x) 的表达式；
（2） F (x) 在 x 0 处的可导性.
23.
异面直线 L1 :
x 1 0
y 1
z 1
， L2
:x 6
y 3
z
2
求:
0
(1)若平面 通过 L1 且平行 L2 ，求平面 的方程；
a2x2 2
o(
x
2
)
x2
ax
1
x0
x
x 4
10
x2 a2x2 o(x2 )
lim x0
2 x2
4 2a2
4
........（5 分）
1
ex x3
dx
2 1
1
ex
x
d
1 x
t1 x
1
2te tdt
1
1
1
2 tdet tet et 2
e
1
12
13. 【答案】 f (x) 1 x
【知识点】积分上限函数求表达式
【解析】
1
f (xt)dt
xt u
1
x f (u)du 2 f (x)
0
x0
所以， x f udu 2xf (x) 。 0
n
(n 1)2 3n1
/
(
n2 3n
)
1 1 因此收敛. 3
5.【答案】（D）
6
【知识点】二阶线性微分方程的特解
【解析】齐次微分方程对应的特征方程 r 2 r 2 0 ，两个根是-1 和 2 利用解的叠加原理，
分别计算：
y
y-2 y
e2x
的特解，
y*
2是特征根升一次
axe2
x
；
同理，
y
y-2 y
令f (x) 0得驻点x 1 ，且有： x (0,1) ， f (x) 0 ； x (1, ) ， f (x) 0 ；
故 x 1 处左减右增，取极小值（也可以用二阶导数判断）。
又
f
(1) 4 k
0
，且
lim
x0
f (x)
, lim x
f (x)
由零点定理可得在区间 0,1 ， 1， 各至少存在一个零点。
1
12.
求定积分
2 1
ex x3
dx
.
13.已知 x 0 ，且 1 f (xt)dt 2 f (x), f (1) 1 ，求 f (x) 的表达式______________. 0
14. 已知 f (x) 连续，则 d x tf (x2 t 2 )dt
dx 0
.
15.曲线 y x tan tdt 在 x [0, ] 部分的曲线弧长 s 是
s 4
0
dx2 dy 2
4 d x 0
1
dy dy
2
4 0
1 y2 dx
/4 0
1 (tan x)2 dx
4 sec xdx ln | sec x tan x | 4
0
0
ln(1 2)
三、计算题：本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.
d2y dx2
x0
.
10. 已知 k 4, 则 f (x) 4x ln 4 x 4 ln x k 根个数为
.
11. 已知 y f (x) 有二阶导数，且 f (x) 0, f (x) 0, y与dy 分别对应 f (x)在x0 处的增
量和微分，若 x 0 ，则 0 与 y及dy 三者的大小关系是_____________.
【知识点】求渐近线
【解析】
lim
x
x2
2x
1
/
x
1 2
a
lim x2 1 x lim x 1 b
x 2x 1 2
x 2(2x 1) 4
故斜渐近线为 y ax b 1 x 1 24
9.
【答案】
d2y dx2
|x0
1
【知识点】隐函数求导
【解析】方程 x2 y 1 e y 知， x 0 对应 y 0 对 x 求导数： 2x y 0 e y y ，代入(0,0)的 y(0) 0 ；
(1)存在 (0,1) ，使得 f ( ) 1 ; (2) 存在1 2 , 且1,2 (0,1) ，使 f (1) f (2 ) 1 成立.
5
2020 年浙江专升本《高等数学》考前 10 套密押预测卷（五）参 考答案与解析
一、选择题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.【答案】（A）
【知识点】间断点的类别
【解析】 lim f x lim(x 1) x 3 1 0 f 0 ，因此为连续点不间断。
x1
x1
2.【答案】（D）
【知识点】函数的性质
【解析】 f (x) 3 sin x ，非奇偶，不单调， f (x) [2, 4] 为有界函数。 3.【答案】（A）
综上所述函数 f x 在 0, 上有且仅有两个零点。
8
11.【答案】 y dy 0
【知识点】导数与微分（二者区别）
【解析】 设f (x) ex ，由指数函数图像可以快速得到结论。注意： dy 是 y 的近似，以直
代曲部分。
12. 【答案】 e 2
【知识点】定积分的计算
【解析】
2 1