北师大版高中数学必修五第三章达标测试卷.docx

第三章达标测试卷
（100分，45分钟）
一、选择题（每题6分共48分）
1.设a ＜b ＜0,下列不等式一定成立的是（ ） A.a 2＜ab ＜b 2 B.b 2＜ab ＜a 2 C.a 2＜b 2＜ab D.ab ＜b 2＜a 2
2.关于x 的不等式ax 2
+bx －2＞0的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,∪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,31,则ab 等于（ ） A.24 B.6 C.14 D. －14 3.〈南充市第一次高考适应性考试〉不等式
3
2
+-x x ≤2的解集是（ ） A.{x |x ＜－8或x ＞－3} B.{x |x ≤－8或x ＞－3} C.{x |－3≤x ≤2} D.{x |－3＜x ≤2} 4.已知函数y =f (x )的图象如图1，则不等式⎪⎭
⎫
⎝⎛-+112x x f ＞0的解集为
（ ） A.（－∞,1） B.( －2,1)
C.( －∞, －2)
D.( －∞, －2)∪(1,+∞) 图1 5.设x ,y ∈R ,a ＞1,b ＞1，若a x
=b y
=3,a +b =23,则
y
x 1
1+的最大值为（ ） A.2 B.
23 C.1 D. 2
1 6.若不等式x 2
+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦
⎤ ⎝⎛
21,0成立，则a 的最小值为（ ）
A.0
B. －2
C. －
2
5
D. －3 7.如图2，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运， 据市场分析每辆客车的运营总利润y （单位：万元）与营运 年数x (x ∈N )为二次函数关系.若使营运的年平均利润最大， 则每辆客车应营运（ ）
A.3年
B.4年
C.5年
D.6年 图2
8.设x ,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--，
，00,02,063y x y x y x 若目标函数z =ax +by (a ＞0, b ＞0)的最大值为12，
则a 2+b
3
的最小值为（ ）
A.
625 B. 38 C. 3
11
D.4 二、填空题（每题5分共15分）
9.〈许昌五校上学期第三次联考〉已知实数x ,y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤≥+-,0,30,
02y x y x 则目标函数z =2x
－y 的最大值是 .
10.已知二次函数f (x )=ax 2
+2x +c (x ∈R )的值域为［0,+∞),则
a
c c a 1
1++
+的最小值为 .
11.〈安徽高考〉设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.
①若ab ＞c 2
,则C ＜
3π;②若a +b ＞2c ,则C ＜3π;③若a 3+b 3=c 3
,则C ＜2
π;④若(a +b)c ＜2ab ,则C ＞2π;⑤若(a 2+b 2)c 2＜2a 2b 2
,则C ＞3
π.
三、解答题（12~13每题12分，14题13分，共37分）
12.已知x ＞0,y ＞0且2x +8y －xy =0,求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值.
13.医院用甲、乙两种原料给手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
14.设a ＞0,b ＞0,对任意的实数x ＞1,有ax +
1
-x x
＞b 成立，试比较a +1和b 的大小. 参考答案及点拨 一、1.B 点拨：∵a ＜b ＜0,∴a 2－ab =a (a －b )＞0,ab －b 2=b (a －b )＞0.∴a 2＞ab ,ab ＞b 2
. ∴a 2＞ab ＞b 2
.故选B.
2.A 点拨：由题意知－21，31是方程ax 2
+bx －2=0的根，故有,.23
12131
21⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=⨯--=+-a a b ∴a =12,b =2.∴ab =24. 3.B 点拨：原不等式可化为32+-x x －2≤0，即3
8
+--x x ≤0，即(x +3)(x +8)≥0且x ≠－3, 解得：x ≤－8或x ＞－3.
4.B 点拨：由函数y ＝f (x )的图象知：要使⎪⎭
⎫
⎝⎛-+112x x f ＞0, 则需
112-+x x ＜1,即1
2
-+x x ＜0,利用穿根法得－2＜x ＜1.（如答图1） 答图1 ∴原不等式的解集为（－2，1）.
5.C 点拨：∵a x =b y
=3,∴x =log a 3,y =log b 3.
∴
y x 11+=3log 13log 1b a +=3lg lg 3lg lg b a +=3
lg )lg(b a ⋅. ∵23=a +b ≥2ab ,即ab ≤3（当且仅当a =b 时，取“＝”），
由⎩⎨⎧==+b a b a ,32得⎪⎩⎪⎨⎧==.
3,3b a
∴当a =b =3时，ab 有最大值3.∴
y
x 1
1+的最大值为1. 6.C 点拨：∵不等式x 2
+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦
⎤ ⎝⎛2
1,0成立，
∴对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0,ax ≥－x 2
－1,即a ≥x x 12+-成立.
令g (x )= x x 12+-=⎪⎭⎫
⎝
⎛+-x x 1.
易知g (x )= ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-x x 1在⎥⎦
⎤
⎝⎛21,0内为增函数. ∴当x =
21时，g (x )max =－2
5. ∴a 的取值范围是a ≥－25.即a 的最小值是－2
5
.故选C.
7.C 点拨：由图象知抛物线顶点坐标为（6，11），且过点（4，7）.设y =a (x －6)2
+11,将点
（4，7）的坐标代入，得7=a (4－6)2
+11,∴a =－1.
∴y =－(x －6)2+11=－x 2
+12x －25. ∴
x y =－x －x 25+12=12－⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+x x 25.
∵x
x 25+
≥10（当且仅当x x 25
=,即x =5时，取“=”）,
∴当x =5时，x
y
有最大值2.故选C.
8.A 点拨：不等式组表示的平面区域如答图2当直线ax +by =z (a ＞0,b ＞0)过直线x －y +2=0与直线3x －6=0的交点（4，6）时，目标函数z =ax +by (a ＞0,b ＞取得最大值12，即4a +6b =12,即2a +3b =6, 而
b a 32+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 32632b a +⋅
=613+⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a a b ≥
613+2=6
25,故选A. 答图2
二、9.6 点拨：平面区域如答图3，平移直线2x －y =0,当直线过点A (3,0)时，目标函数的值最大，最大值为
6.
答图3
10.4 点拨：依题意f (x )的最小值为0，所以a ＞0且⎪⎭⎫ ⎝⎛-
a f 1=a 1－a
2
+c =0.即a ＞0且ac =1, 所以c ＞0.故c a 1++a
c 1+=ac c c a a +++22=a 2+c 2
+a +c ≥2ac +2ac ＝4，当且仅当a =c =1时，
等号成立.
11.①②③ 点拨：对于①,∵ab ＞c 2
,∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥ab ab ab 22-=2
1
(当且仅当a =b 时取“=”).
又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛30π，.∴①正确.
对于②，∵a +b ＞2c ＞0,∴c 2
＜4
2
）
（b a +.
∴cos C =ab c b a 22
22-+＞ab b a b a 24)(22
2
+-+=ab
ab b a 221)(432
2-+≥ab ab 2=21 (当且仅当a =b
时取“=”).
又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛30π，.∴②正确.
对于③，∵a 3
+b 3
=c 3
,∴(a 2
+b 2) 3
－(c 2) 3
=(a 2
+b 2) 3
－(a 3
+b 3) 2
=3a 4b 2
+3a 2b 4
－2a 3b 3
=a 2b 2
(3a 2
+3b 2
－2ab )≥4a 3b 3
＞0（当且仅当a =b 时取“=”）.
∴(a 2+b 2) 3＞(c 2) 3,即a 2+b 2＞c 2
.
∴cos C =ab c b a 2222-+＞0,C ＜2
π
,∴③正确.
对于④，∵(a +b )c ＜2ab ,
∴c 2
＜()
2
2
24b a b a +≤ab (当且仅当a =b 时取“=”). ∴cos C ＝ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥ab ab 2=2
1＞0(当且仅当a =b 时取“=”),C ＜2π
.故
④不正确. 对于⑤，∵(a 2+b 2)·c 2＜2a 2b 2
,
∴c 2
＜2
22
22b a b a +≤ab b a 2222=ab (当且仅当a =b 时取“=”).
∴cos C =ab c b a 2222-+＞ab ab b a 222-+≥ab
ab ab 22-=21
(当且仅当a =b 时取“=”).
又∵C ∈(0,π),∴C ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛30π，.故⑤不正确. ∴正确命题为：①, ②,③. 三、12.解：（1）由2x +8y －xy =0,得x 8+y 2=1,又x ＞0,y ＞0，则1=x 8+y 2
≥xy
y x 8282=⋅,得xy ≥64.
当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,28,12
8y
x y
x ,即⎩⎨⎧==4,16y x 时等号成立.
此时()min xy =64. (2)由2x +8y －xy =0,得
x 8+y
2
=1, 则x +y =⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+y x 28 (x +y)=10+y x 2+x y 8≥10+2x y
y x 82⋅=18. 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,82,128x y y
x y
x 即⎩⎨⎧==6,12y x 时等号成立.
此时()min y x +=18.
13.解：设甲、乙两种原料各用10x g 、10y g ，
所需费用为z 元，由题意，知z =3x +2y ,线性约
束条件为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,
0,0,40410,3575y x y x y x
画出可行域如答图4中阴影部分. 答图4
作直线l 0:3x +2y =0,则易知当l 0平移至l 位置时，z 有最小值，此时l 过点A .由
⎩⎨
⎧=+=+40
410,3575y x y x 得A ⎪⎭⎫
⎝⎛3,514. ∴应用甲、乙原料分别为
5
14
×10=28(g),3×10=30(g)时，费用最省. 温馨提示：本题设“甲、乙原料分别用10x g 、10y g ”比设“甲、乙原料分别用x g ，y g ”运算方便. 14.解：设f (x )=ax +
1-x x ,则f (x )=ax +1+11-x =(a +1)+a (x －1)+ 1
1-x ,∵x ＞1,∴x －1＞0.∴f (x )≥(a +1)+2a =(a +1)2
.当且仅当a (x －1)=
11
-x (x ＞1),即x =a
1
1+时，上式取“＝”，又f (x )＞b 恒成立，∴b ＜(a +1)2
.又∵a ＞0,b ＞0,∴a +1＞b .。