2020上海市中考二模数学试卷简答题第24题

2020上海市二模数学试卷
简答题第24题
黄浦区
24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =1
2
x 2+bx +c 经过点A (-4，0)和B (2，6)，其
顶点为D 。

(1)求此抛物线的表达式；(2)求△ABC 的面积；
(3)设C 为该抛物线上的一点，且位于第二象限，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，如果△OCH 与△ABD 相似，求点C 的坐标。

【答题参考】（1）y =1
2x 2+2x （2）12
（3）C(-10，30)，C（−
143
，149）徐汇区
24.如图，已知直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，矩形ACBE 的顶点B 在
第一象限的反比例函数m
y x
=
图像上，过点B 作BF OC ⊥，垂足为F ，设OF =t .（1）求∠ACO 的正切值；
（2）求点B 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）已知直线22y x =+与反比例函数m
y x
=
图像都经过第一象限的点D ，联结DE ，如
果DE x ⊥轴，求m 的值.
【答题参考】24、（1）
12
；（2）()42,t t -；（3）
48
25
杨浦区
24．（本题满分12分，每小题4分）
如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +4经过点A （-3，0）和点B （3，2），与y 轴相交于点C .（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P 是抛物线在第一象限内一点，联结AP ，如果点C 关于直线AP 的对称点D 恰好
落在x 轴上，求直线AP 的截距；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点E 是y 轴正半轴上一点，点F 是直线AP 上一点．
当△EAO 与△EAF 全等时，求点E 的纵坐标．
【答题参考】24．解：（1）
∵抛物线24y ax bx =++过点A （-3，0）和点B （3，2），
∴93409342
a b a b -+=⎧⎨
++=⎩………………………………（2分）
解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………………………（2分）
∴211
4
33
y x x =-++（2）∵点C 关于直线AP 的对称点D ，∴A D A C =………………………………（1分）
∵211
433y x x =-++与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A （-3，0），
∴5AC =，∴5AD =，∴点D （2，0）………………………………（1分）设直线AP 与y 轴交于点H ，则HC=HD ，设OH =a ，则HC=HD=4-a ，
在Rt HOD ∆中，222HD OH OD =+，∴2222a a =+（4-)，………………………………（1分）
O
x
y 1234
1
2345
-1-2-3
-1-2-3第24题图
∴32a =
，∴直线AP 的截距为3
2
………………………………（1分）（3）i）90EFA AOE AF EO AE EA
⎧∠=∠=⎪
=⎨⎪=⎩
当
时，132E 点…………………（2分）
ii）90EFA EOA EF EO EA EA ⎧∠=∠=⎪
=⎨⎪=⎩
当
时，26E 点的纵坐标为…………………（2分）
长宁区
24.（本题满分12分，每小题各4分）
如图7，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线n mx x y ++=2
经过点)2-2(，A ，对称轴是直线1=x ，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求BCD
∆的面积；
（3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，
5
1
=PQ BQ ，求点P 的坐标.
【答题参考】
解：（1）抛物线n mx x y ++=2
经过点)2,2(-A ，对称轴是直线1
=x 图7
-1
-2-3-4
1
234
-1-2-3-41234O
x
y
∴422
12
m n m ++=-⎧⎪
⎨-=⎪⎩，解得22m n =-⎧⎨
=-⎩（2分）
∴抛物线的解析式为2
22y x x =--，顶点B 的坐标是(1,3)
-（2分）
（2）抛物线2
22y x x =--与y 轴交于点）
，（2-0C 平移后的抛物线表达式为：2
23y x x =--，点D 的坐标是(3,0)
（2分）
过点B 做y BH ⊥轴，垂足为点H ∴=S S S BCD BCH COD BHOD S ∆∆∆--梯形1111
=
(13)31123=22222
⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯（3）∵直线OA 经过点00O （，）、)2,2(-A ，∴直线OA 的表达式为：y x =-设对称轴与直线OA 相交于点E ，则11E
（，-）∵(1,3)B -∴2
BE =过点P 作PF//BE ，交直线OA 于点F 设点）（22,2
--t t t P 1t >（），则）（t t F -,∴2
2
PF t t =--（1分）
∵PF//BE
∴
1
5
BE BQ PF PQ ==∴
221
25
t t =
--∴2
120t t --=∴3t =-（舍去）或4
t =（1分）∴)
6,4(P （1分）
静安区
24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分4分，第（2）②小题满分4分）
在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知抛物线c bx x y ++-=2
2
1（其中b 、c 是常数）经过点A （-2，-2）与点B （0，4），顶点为M ．
图9
1
1
O
x
y
（1）求该抛物线的表达式与点M 的坐标；
（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y 轴交于点C （点C 在点B 的下方），且△BCM 的面积为3．新抛物线的对称轴l 经过点A ，直线l 与x 轴交于点D ．
①求点A 随抛物线平移后的对应点坐标；②点E 、G 在新抛物线上，且关于直线l 对称，如果正方形DEFG 的顶点F 在第二象限内，求点F 的坐标．
【答题参考】
解：（1）将A （-2，-2）、B （0，4）代入
c bx x y ++-
=2
2
1得，2
1(2)22200 4.b c c ⎧-⨯--+=-⎪⎨⎪++=⎩
，····························································（2分）
解得⎩⎨
⎧==.
42c b ，
∴该抛物线的表达式为：422
12++-=x x y ；········································（1分）顶点M 的坐标是：（2，6）．··································································（1分）（2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A （-2，-2），
∴可设平移后的抛物线表达式为：k x y ++-=2)22
1
（．·····························（1分）∴C （0，-2+k ）．∴32)]2(4[2
1
221=⋅+--=⋅=
∆k BC S BCM ，············································（1分）解得k=3．∴3)22
1
2++-=x y （．······················································（1分）
即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线．
∴点A 对应点的坐标为（-6，-5）．·························································（1分）②设EG 与DF 的交点为H ．在正方形DEFG 中，EG ⊥DF ，EG =DF =2EH =2DH ．
∵点E 、G 是这条抛物线上的一对对称点，∴EG //x 轴．
∴DF ⊥x 轴，由此可设F （-2，2a ）．
∵点F 在第二象限内，∴a >0．∴EG =DF =2EH =2DH =2a ．
不妨设点E 在点G 的右侧，那么E （-2+a ，a ）．·······································（1分）将点E 代入3)221
2++-=x y （得：a a =+-
32
12
．···································（1分）解得171-=a ，172--=a （不合题意，舍去）．·······························（1分）∴F （-2，272-）．··········································································（1分）
普陀区
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知点A 在x 轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线243y ax ax =-+(0)a ≠经过点A ，其顶点为C ，直线1y =与y 轴交于点B ，与抛物线交于点D （在其对称轴右侧）
，联结BC 、CD ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；
（2）点P 是y 轴的负半轴上的一点，如果△PBC 与△BCD 相似，且相似比不为1，求点P 的坐标．
（3）将CBD ∠绕着点B 逆时针方向旋转，使射线BC 经过点A ，另一边与抛物线交于点E （点E 在对称轴的右侧），求点E 的坐标．
x
y
O 1
1
图9
【答题参考】
解：（1）∵点A 在x 轴的正半轴上，与原点的距离为3，
∴点A 的坐标是()3,0.·········································································（1分）由抛物线243y ax ax =-+经过点A ，
可得91230a a -+=.解得1a =.··························································（1分）∴抛物线的表达式是243y x x =-+.····················································（1分）配方，得2(2)1y x =--，∴顶点C 的坐标是(2,1)-.······························（1分）（2）∵点P 是y 轴下半轴上的一点，∴设点P 的坐标为(0,)y ，其中(1)y BP =--．
由点B (0,1)、点C (2,1)-，可得45CBP CBD ∠=∠=︒，BC =··········（1分）设点D 的坐标为(,1)m ，由点D 在抛物线243y x x =-+上，可得2431m m -+=，
解得2m =+
，2m =-（舍）.∴2BD =+···························（1分）
∵△PBC 与△CBD 相似，且相似比不为1，∴夹相等角的“两边对应成比例”只有一种情况：
即
BP BC
BC BD ＝，得，解得8BP =-·····················（1分）
∴点P 的坐标是(0,7-+.····························································（1分）
（3）∵直线1y =与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标是(0,1).∴AB =.
由A ()3,0、C (2,1)-，可得AC =.
得2210BC AC +=，210AB =.∴222BC AC AB +=.∴90ACB ∠=︒.∴1
tan 2
AC ABC BC ∠=
=.··················································（1分）过点E 作EH BD ⊥，垂足为点H ．∵CBD ABE ∠=∠，可得ABC EBH ∠=∠.∴1tan 2EBH ∠=
.∴12
EH BH =.设EH n =，得2BH n =，点E 的坐标为(2,1)n n +．
得2
1(2)4(2)3n n n +=-⨯+.
解得2n =，1
4
n =
（舍）.····································································（2分）∴点E 的坐标是()4,3.·········································································（1分）
虹口区
24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +3经过点A (-1,0)和点B （3,0），该抛物线对称轴上的点P 在x 轴上方，线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°至PC （点B 对应点C ），点C 恰好落在抛物线上.
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；（2）求点P 的坐标；
（3）点Q 在抛物线上，联结AC ，如果∠QAC =∠ABC ，求点Q 的坐标.
【答题参考】
（1）表达式：y =-2
+2+3，对称轴：直线=1（2）P （1，1）
（3）Q
−闵行区
24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
在平面直角坐标系xOy 中，我们把以抛物线2y x =上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．
如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为
3
2
，且与y 轴交于点C ．设点A 的横坐标为m （m ＞0），过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ．
（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m 的代数式表示∠ACB 的余切值；（3）如果∠OAC=135°，求m 的值．
【答题参考】
解：（1）由题得，A （m ，m 2），当m =1时，A （1，1），……………………………………………（1分）
∴这条“子抛物线”的解析式：23
(1)12
y x =-+．…………………（2分）
（2）由A （m ，m 2），且AB ⊥y 轴，可得AB =m ，OB =m 2．………………（1分）
∴“子抛物线”的解析式为223
()2
y x m m =-+．……………………（1分）
令x =0，252y m =，∴点C 的坐标（0，252m ），25
2OC m =，
∴23
2
BC m =．……………………………………………………………（1分）
在Rt △ABC 中，233
2cot 2
m
BC ACB m AB m ∠===．…………………（1分）（3）如图，过O 点作OD ⊥CA 的延长线于点D ，过点D 作y 轴的平行线分别
交BA 的延长线于点E ，交x 轴于点F ．……………………………（1分）∵∠OAC=135°，∴∠OAD=45°，又∵OD ⊥CA ，∴∠OAD=∠AOD=45°，∴AD=OD ，∴△AED ≌△DFO ，
∴AE=DF ，DE=OF ．……………………（1分）设AE=n ，那么DF=n ，BE=m +n=OF=ED ．又∵OB=EF ，
∴22m m n =+．…………………………（1分）又∵∠BCA=∠ADE ，
∴3
cot 2DE m n ADE m AE n +∠===．……（1分）解方程组2232m m n
m n m n
⎧=+⎪
⎨+=⎪
⎩，得12m =，213m =-（舍去）
∴m 的值为2．……………………………（1分）
A
B O C
x
y （第24题图）
宝山区
24.（本题满分12分，每小题满分各4分）
如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
230y ax ax a a =--<与x 轴交于
A B 、两点（点A 在点B 的左侧）
，经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.
（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示）（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为
5
4
，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶
点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.
【答题参考】
嘉定区
24．
（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知经过点)0,3(-A 的抛物线322-+=ax ax y 与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点.
（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标；
（2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；
（3）联结AC .如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线，
垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F.当FH EF 2=时，求点E 的坐标.
【答题参考】
解：（1）该抛物线的对称轴为直线1-=x ··························································1分
点B 的坐标为（1，0）.····································································1分
点C 的坐标为（0，-3）.···································································1分
点D 的坐标为（-1，-4）.··································································1分
（2）过点D 作AB DM ⊥，垂足为M ，易得：1=OM ，4=DM ，2=AM ，1=OB .
4422121=⨯⨯=⋅=
DM
AM
S ADM △，·······················································1分2
71432121=⨯+=⋅+=）（（梯形OM )DM OC S OCDM ，·····································1分2
3312121=⨯⨯=⋅=OC OB S OBC △，··························································1分所以923274=++
=++=OBC OCDM ADM ABCD S S S S △梯形△四边形··························1分（3）设直线AC 的表达式为b kx y +=，∵)0,3(-A ，)3,0(-C 在直线b kx y +=上，
图7
∴⎩⎨⎧-=+-=330b b k .解得⎩
⎨⎧-=-=31b k ，故直线AC 的表达式为3--=x y .························1分方法1.∵点F 在直线3--=x y 上，所以可设)3,(--x x F .
∵AB EH ⊥，点F 在线段EH 上，且HF EF 2=，可得)93,(--x x E .··························1分∵)93,(--x x E 在抛物线322-+=x x y 上，∴32932-+=--x x x .···························1分整理，得0652=++x x .解得21-=x ，32-=x (不符合题意，应舍去).
所以，2-=x .当2-=x 时，3-=y ，即点E 的坐标为（2-，3-）.··························1分浦东新区
24.（本题满分12分，其中每小题各4分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，对称轴是直线1x =．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线MN 平行于x 轴，与抛物线交于M 、N 两
点（点M 在点N 的左侧），且34MN AB =，点C 关于直线MN 的对称点为E ，求线段OE 的长；
（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联
结CP 、EP ，EP 交线段BC 于点F ，
当:1:2CPF CEF S S =△△时，求点P 的坐标．
【答题参考】
金山区
24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3,0）和()B 0,3，
其顶点为C ．
（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；
（2）我们把坐标为（n ，m ）的点叫做坐标为（m ，
n ）的点的反射点，已知点M 在这条抛物线上，它
的反射点在抛物线的对称轴上，求点M 的坐标；
（3）点P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果
∠POA=∠ACB ，求点P 的坐标．【答题参考】
24．（1）C （1,4）（2）（3,1），（13,1-）（3）113331322p ⎛--+ ⎝⎭
O x y
–5–4
–3
–2–1123456–5–4–3–2–1123456（第24题
松江区
24.（本题满分12分，每小题各4分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =-++与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA=OB ，又抛物线的顶点为M ，联结AB 、AM .
（1）求这条抛物线的表达式和点M 的坐标；
（2）求sin BAM ∠的值；
（3）如果Q 是线段OB 上一点，满足∠MAQ=45°，求点Q
的坐标.【答题参考】
解：（1）∵抛物线23y x bx =-++与y 轴交于B 点
令x=0得y=3,∴B (0,3)………………………………………………………………1分∵AO=BO,∴A (3,0)…………………………………………………………………1分把A (3,0)代入23y x bx =-++,得9330
b -++=解得b=2,∴这条抛物线的表达式y =-x 2+2x +3………………………………………1分顶点M (1,4)……………………………………………………………………………1分
（2）∵A (3,0)，B (0,3)M (1,4)，
∴22BM =,218AB =,220
AM =∴∠MBC =90°………………………………………………………………………2分∴sin =BM BAM AM ∠2分（3）∵OA=OB,∴∠OAB =45°
∵∠MAQ=45°,∴∠BAM=∠OAQ ………………………………………………1分由(2)得sin BAM ∠=,∴sin 10
OAQ ∠=∴1tan 3
OAQ ∠=……………………………………………………………………1分∴133OQ OQ OA ==,∴1OQ =…………………………………………………………1分∴Q (0,1)………………………………………………………………………………1分
(3)另解
∵OA=OB,∴∠OAB =45°
∵∠MAQ=45°,∴∠BAM=∠OAQ …………………………………………………1分由（2）可知1
tan 3BAM ∠=,∴1tan 3
OAQ ∠=……………………………………1分M A B
O x
y （第24题图）
∴133OQ OQ OA ==,∴1OQ =……………………………………………………………1分∴Q (0,1)………………………………………………………………………………1分青浦区
24．
（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y a x a x =-+的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3∠=CAO ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当:2:3CDF FDP S S = 时，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△PCD 沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，求OM
ON 的值．
【答题参考】
解：（1）∵二次函数2
43y ax ax =-+的图像与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0，3)∴OC =3····························································（1分）联结AC ，在Rt △AOC 中，tan ∠CA O=
OC OA =3∴OA =1······························（1分）将点A （1，0）代入243y ax ax =-+，得430a a -+=,························（1分）
图7备用图
B C
A x
y o
解得：1a =．
所以，这个二次函数的解析式为2
43y x x =-+．··································（1分）
（2）过点C 作CG ⊥DF ，过点P 作PQ ⊥DF ，垂足分别为点G 、Q ．
∵抛物线243y x x =-+的对称轴为直线2x =，∴2CG =．·····················（1分）∵23
CDF FDP CG PQ S S ∆∆==，∴3PQ =．··························································（1分）∴点P 的横坐标为5．········································································（1分）∴把5x =代入243y x x =-+，得8y =∴点P 的坐标为（5，8）··········（1分）
（3）过点P 作PH ⊥OM ，垂足分别为点H
∵点P 的坐标为（5，8）∴OH=5，PH=8．···················································（1分）∵将△PCD 沿直线MN 翻折，点P 恰好与点O 重合，
∴MN OP ⊥，∴∠ONM +∠NOP=90°．·······················································（1分）又∵∠POH +∠NOP=90°，
∴∠ONM =∠POH ．
·········································································（1分）∴8
5tan tan OM
PH
ONM POM ON OH ∠=∠===．·············································（1分）奉贤区
24．（本题满分12分，每小题满分4分）
如图7，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx =+经过点A (2，0)．直线122y x =
-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）将抛物线2y x bx =+向右平移，使平移后的抛物线
经过点B ，求平移后抛物线的表达式；
（3）将抛物线2y x bx =+向下平移，使平移后的抛物线交
y 轴于点D ，交线段BC 于点P 、Q ，（点P 在点Q 右侧），
平移后抛物线的顶点为M ，如果DP ∥x 轴，求∠MCP 的
正弦值．
【答题参考】
解：（1）由题意，抛物线2y x bx =+经过点A (2，0)，
得042b =+，解得2b =-······················································（2分）∴抛物线的表达式是22y x x =-.····························································（1分）它的顶点C 的坐标是（1，-1）.·······························································（1分）
（2）∵直线122
y x =-与x 轴交于点B ，∴点B 的坐标是(4，0).···················（1分）①将抛物线22y x x =-向右平移2个单位，使得点A 与点B 重合，
此时平移后的抛物线表达式是231（）y x =--.·······································（2分）
②将抛物线22y x x =-向右平移4个单位，使得点O 与点B 重合，
此时平移后的抛物线表达式是251（）y x =--.········································（1分）
（3）设向下平移后的抛物线表达式是：22y x x n =-+，得点D （0，n ）.
∵DP ∥x 轴，∴点D 、P 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，∴P （2，n ）.
∵点P 在直线BC 上，∴12212
n =⨯-=-.∴平移后的抛物线表达式是：222y x x =--.···········································（2分）∴新抛物线的顶点M 的坐标是（1，-2）.·················································（1分）∴MC //OB ，∴∠MCP =∠OBC ．
在Rt △OBC 中，sin OC OBC BC
Ð=，由题意得：OC =2，BC =
∴sin sin
5
MCP OBC Ð=Ð=
.······················································（1分）
即∠MCP 崇明区
24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）
已知抛物线y =ax 2+b x -4经过点A （-1,0），B （4,0），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC 、BC 、CD 、BD .
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当AOC BCD S S △△4=时，求点D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上的一点，点F 是抛物线上一点，当点A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E 的坐标。

【答题参考】
24.（1）234y x x =--对称轴32x =（2）()2,6-（3）()0,0，()1,0，()8,0，()2,0-
x
x。