七年级数学下册第9章《整式乘法与因式分解》考点总结和难题详解(含答案)

第9章《整式乘法与因式分解》考点+易错
知识梳理
重难点分类解析
考点1 运用整式乘法法则进行运算
【考点解读】要根据算式的特点确定运算顺序，并正确运用运算法则进行计算. 例1 下列式子中，与2
(21)(1)(2)x x x x +--+-的计算结果相同的是( ) A. 221x x -+ B. 223x x -- C. 23x x +- D. 2
3x - 分析:2
2
2
2
(21)(1)(2)(221)(2)21x x x x x x x x x x x +--+-=-+--+-=-+. 答案:A
【规律·技法】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关健. 例2 (1)填空:
()()a b a b -+= ; 22()()a b a ab b -++= ; 3223()()a b a a b ab b -+++= ;
(2)猜想:
1221()()n n n n a b a a b ab b -----++++=… (其中n 为正整数，且2n ≥) ;
(3)利用(2)猜想的结论计算:98732
222222-+-+-+….
分析:(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)中的规律可得结果;(3)原式变形后，利用(2)得出的规律计算即可得到结果. 解答:(1) 2
2
a b - 3
3
a b - 4
4
a b - (2)n
n a b -
(3)令98732
222222S =-+-+-+…，则
9873212222221S -=-+-+-+-…
98732[2(1)](2222221)3=--⨯-+-+-+-÷… 10(21)3=--÷
(10241)3341=-÷=，
所以342S =，
即98732
222222342-+-+-+=….
【规律·技法】本题考查了多项式乘以多项式的运算，弄清题中的规律是解本题的关键. 【反馈练习】
1.已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= .
点拨:先化简(1)(1)m n --，再将m n mn +=整体代入计算. 2.计算:(25)(32)b a b a a b ++-= .
点拨:先利用乘法分配律计算，再合并同类项. 考点2 乘法公式的应用
【考点解读】正确而熟练地掌握乘法公式，在记住公式的基础上强化对公式的具体运用，并在运用公式的过程中把握公式的特点.
例3 先化简，再求值: 2
(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--，其中5x ==，15
y =-
. 分析:本题主要考查了整式混合运算中的化简、求值问题，在解题时要注意先把原式进行化简，再把未知数的值代入求解.
解答:2
(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--
222224455x xy y x y x xy =+++--+
9xy =.
当5x ==，15y =-
时，原式1
995()95
xy ==⨯⨯-=-. 【规律·技法】本题考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是明确整式混合运算的
法则.
例4 已知2
50x x +-=，则代数式2
(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值为 .
分析:先利用乘法公式展开，再合并得到原式2
3x x =+-，然后利用整体代入的方法计算.
原式2
2
2
2134x x x x x =-+-++-
2
3x x =+-.
因为2
50x x +-=， 所以2
5x x +=，
所以原式532=-=. 答案:2 【规律·技法】本题考查的是整式的混合运算——化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 【反馈练习】
3.已知43x y =，求代数式2
2
(2)()()2x y x y x y y ---+-的值.
点拨:先化简，再将43x y =代入计算.
4.先化简，再求值:2
(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13
x =-.
点拨:先科用乘法公式化简，再将13
x =-代入计算.
考点3 因式分解及其应用
【考点解读】根据所给多项式的特点确定因式分解的步骤与方法，一般来说，先提公因式，再运用公式法(平方差公式和完全平方公式)，要注意最后必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止.
例5 分解因式: 2
2
(2)(2)y x x y +-+.
分析:原式利用完全平方公式或平方差公式化简，合并同类项即可得到结果. 解答:解法一: 2
2
(2)(2)y x x y +-+
2
2
2
2
44(44)y xy x x xy y =++-++ 22
3()x y =- 3()()x y x y =+-.
解法二: 2
2
(2)(2)y x x y +-+
[(2)(2)][(2)(2)]y x x y y x x y =++++-+
(33)()x y x y =+- 3()()x y x y =+-.
【规律·技法】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键. 例6 ()(4)a b a b ab --+分解因式的结果是 .
分析:本题无法提取公因式，也无法直接套用公式因式分解，所以考虑先化简整理后再分解因式.
()(4)a b a b ab --+ 2254a ab b ab =-++ 2244a ab b =-+ 2(2)a b =-
答案: 2
(2)a b -
【规律·技法】本题主要考查了多项式的乘法运算以及公式法分解因式，体现了这二者间的联系.
【反馈练习】
5. (2018·连云港)分解因式: 2
16x -= . 点拨:利用平方差公式进行因式分解即可.
6. (2018·成都)已知0.2x y +=，31x y +=，则代数式22
44x xy y ++的值为 . 点拨:先把原式因式分解，再将已知等式变形后代入计算求值. 7.如果2
2
1()x mx x n ++=+，且0m >，那么n 的值是 . 点拨:看清完全平方式三项的结构，注意0m >的条件，可知n 也大于0. 易错题辨析
易错点1 运算中符号出错
例1 (2018·无锡月考)计算: 2
3(4)x x x --+. 错误解答:原式3
2
6312x x x =---.
错因分析:在进行单项式与多项式乘法运算时，应将单项式与多项式的每一项分别相乘，同时应注意多项式的“项”包括它前面的符号，错解忽略了第二项前面的符号. 正确解答:原式3
2
6312x x x =-+-.
易错辨析:将多项式看作几个单项式的和直接参与运算. 易错点2 漏乘了多项式中的项“1”
例2计算: 13(1)3(2)22
x x x x +--.
错误解答:原式22
21964622
x x x x x =
-+=-+. 错因分析:单项式x 与多项式1
12
x +相乘时，漏乘了多项式中的项“1”.
正确解答:原式222
1964722
x x x x x x =+-+=-+.
易错点3 运算法则理解错误
易错辨析:单项式与多项式相乘的实质是乘法分配律的运用. 例3计算: (5)(7)x y x y +-. 错误解答:原式22
35x y =-.
错因分析:错解只把首项和首项相乘、尾项与尾项相乘，这是初学多项式乘法时最常见错误. 正确解答:原式2
2
2
2
7535235x xy xy y x xy y =-+-=--. 易错辨析:进行多项式乘法运算时不要漏乘. 易错点4 运算结果没有化到最简
例4计算: 2
2
2
(3)(3)3(1)x x x x x x x ++----. 错误解答:原式33232
33333x x x x x x x =++--++.
错因分析:本题在运用法则运算时并没有错，问题在于其结果没有合并同类项，不是最简形式.
正确解答:原式3323233333x x x x x x x =++--++3
6x x =-+. 易错辨析:去括号后，不要忘了合并同类项，将结果化为最简形式. 易错点5 乘法公式混淆导致计算错误 例5计算: 2
(25)x y -.
错误解答:错解一: 2
2
2
2
2
(25)(2)(5)425x y x y x y -=-=-.
错解二: 22222
(25)(2)225(5)2205x y x x y y x xy y -=-+=-+g g
. 错因分析:错解一将完全平方公式与平方差公式混淆;错解二忘记了系数要平方.
正确解答: 22222
(25)(2)225(5)42025x y x x y y x xy y -=-+=-+g g
. 易错辨析:正确使用乘法公式是解题的关键.2
2
2
()2a b a ab b ±=±+.计算中要注意字母、系数都要平方，同时注意符号不要出错.
易错点6 运用公式计算时，没有找准“a ”与“b ” 例6 计算: (23)(23)a b c a b c +---.
错误解答:(23)(23)a b c a b c +---
[(23)](23)a b c a b c =+--- 22(23)a b c =--
2224129a b bc c =-+-.
错因分析:错解在找平方差公式中的“a ”与“b ”时产生了错误.对于此类题型，只要将各括号内的符号相同项结合为一组，看作公式中的“a ”，再将符号相反项结合为一组，看作公式中的“b ”，就可避免出现上述错误. 正确解答: (23)(23)a b c a b c +--- [(3)2][(3)2]a c b a c b =-+-- 2
2
(3)(2)a c b =-- 222
694a ac c b =-+-.
易错辨析:两个因式中符号相同的视为“a ”，符号相反的视为“b ”. 易错点7 分解因式不彻底
例7 分解因式: 4
2
2
2
8(2)x y x y --
错误解答:原式4
2
2
2
8(2)x y x y --2
22
(4)x y =-4
2
2
4
816x x y y =-+.
错因分析:运用完全平方公式是正确的，但分解不彻底，2
2
4x y -还可分解为
(2)(2)x y x y +-.
正确解答:原式4
2
2
4
816x x y y =-+
222(4)x y =- 22(2)(2)x y x y =+-.
易错辨析:分解因式要分解到不能再分解为止.
反馈练习
1.下面因式分解正确的是( )
A. 2
21(2)1x x x x ++=++ B. 2
3
(4)4x x x x -=- C. ()ax bx a b x +=+ D. 2
2
2
2()m mn n m n -+=+ 点拨:因式分解的结果必须为几个因式积的形式. 2.下列运算中，正确的是( )
A. 222()a b a b +=+
B. 22
(2)(2)2a b a b a b +-=- C. 2
2
()()a b a b a b +--=- D. 2
2
()()a b a b a b -+--=- 点拨:利用平方差或完全平方公式运算即可.
3. (2018·常州月考)由完全平方公式可知2
2
2
32355(35)64+⨯⨯+=+=，运用这一方法计算: 22
4.32108.6420.67900.6790+⨯+= . 点拨:把4.3210看作“a ”，把0.6790看作“b ”，用完全平方公式运算. 4.计算:
(1) 23
4110()2x yz xy -g ； (2) 221
(2)32
ab ab ab -g ；
(3) 2
(21)(21)(21)t t t +-+-； (4) (21)(21)x y x y -+--.
点拨:注意公式的运用和计算的顺序. 5. (1)已知2
(23)4656x y x y --+-=-，求
235
x y
-的值
(2)已知230x -=，求代数式2
2
()(5)9x x x x x -+--的值.
点拨:把已知或结论中较为繁琐的式子先化简. 6.把下列各式分解因式:
(1) 32
2x x x -+； (2) 2
2
25()9m n n +-； (3) 2
(1)(1)a b a -+-； (4) 5
x x -
点拨:有公因式先提取公因式，再考虑使用乘法公式，注意是否分解彻底. 探究与应用
探究1 含字母系数的多项式中的存在问题
例1已知2
2
(3)(3)x nx x x m ++-+的展开式中不含2x 和3
x 的项，求,m n 的值.
点拨:先把原式展开，从中找出含2
x 和3
x 的项，再让它们的系数分别为0，从而得到关于,m n 的关系式，求解即可.
解答:原式4
3
2
(3)(33)(9)3x n x m n x mn x m =+-++-+-+.因为展开式中不含2x 和3x 的
项，所以30330n m n -=⎧⎨
+-=⎩，解得6
3
m n =⎧⎨=⎩.故,m n 的值分别是6，3.
规律·提示
先进行多项式的乘法运算得到展开式，展开式中不含哪一项，则该项的系数为0. 【举一反三】
1.已知多项式2
x x a ++与2x b +的乘积中含2
x 的项的系数为3，含x 的项的系数为2，求
a b +=的值.
探究2 多项式的乘法与图形面积之间的联系
例2 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性. (1)根据图①写出一个代数恒等式;
(2)恒等式2
2
(2)()23a b a b a ab b ++=++，也可以利用图②的面积解释，请用图②的面积说明: 2
2
(2)()23a b a b a ab b ++=++;
(3)已知正数,,a b c 和,,m n l 满足a m b n c l k +=+=+=，试构造边长为k 的正方形，利用面积来说明: 2al bm cn k ++<.
点拨:(1)利用面积法，各部分面积用代数式表示即可;(2)利用图②的两种面积表示方法即可说明;
(3)利用面积法构造正方形，使其边长为a m b n c l k +=+=+=(注意a b c ≠≠，
m n l ≠≠)，并且正方形里有长和宽分别是,a l a ；,b m ；,c n 的长方形，通过画成的图③
可发现，2
al bm cn k ++<.
解答:(1)答案不唯一，如:2
2
4()()ab a b a b =+--.
(2)因为图②的面积可表示为(2)()a b a b ++，也可表示为2
2
23a ab b ++，所以
22(2)()23a b a b a ab b ++=++.
(3)如图③，构造一个边长为k 的正方形，显然a m b n c l k +=+=+=.根据图形可知正方形内部3个长方形的面积和小于正方形的面积，即2
al bm cn k ++<.
规律·提示
要理解完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式时，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.
【举一反三】
2.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①可以得到2
2
(2)()32a b a b a ab b ++=++.请解答下列问题:
(1)写出图②中所表示的数学等式;
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，求
222a b c ++的值;
(3)小明同学用3张边长为a 的正方形纸片，4张边长为b 的正方形纸片，7张长和宽分别
为,a b 的长方形纸片拼出了一个大长方形，那么大长方形较长一边的边长为多少? (4)小明同学又用x 张边长为a 的正方形纸片，y 张边长为b 的正方形纸片，z 张长和宽分
别为,a b 的长方形纸片拼出了一个面积为(257)(1845)b a b ++的大长方形，那么
x y z ++= 。

探究3 巧用乘法公式化繁为简
例3 已知(2000)(1998)1999a a --=，那么2
2
(2000)(1998)a a -+-= 。

点拨:设2000a m -=，1998a n -=，将问题转化为已知1999mn =，求2
2
m n +的值.但此问题缺少条件，再根据隐含条件(2000)(1998)2m n a a -=---=就可以利用
222()2m n m n mn +=-+求解.
解答:设2000a m -=，1998a n -=，
则1999mn =，2m n -=，
则原式2
2
2
2
()22219994002m n m n mn =+=-+=+⨯=.
规律·提示
认真观察已知条件和所求结论之间的关系，已知两数之积与两数之差，求两数的平方和，巧妙地运用完全平方公式使计算简便.
【举一反三】
3.已知2
2
(2015)(2017)34x x -+-=，则2
(2016)x -的值是( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16 探究4 巧用拆项和添项分解因式 例4 把下列各式分解因式: (1) 32
34x x -+;
(2) 2
2
4443x x y y --+-.
点拨:(1)拆2
3x -或4均可，也可既拆项又添项;(2)将3-拆成1和4-，然后运用分组分解法分解.
解答:(1)解法一:原式322
44x x x =+-+ 2
(1)4(1)(1)x x x x =+-+-
2(1)(44)x x x =+-+
2(1)(2)x x =+-.
解法二:原式32133x x =+-+
2(1)(1)3(1)(1)x x x x x =+-+-+-
2(1)(44)x x x =+-+
2(1)(2)x x =+-.
解法三:原式322
4444x x x x x =+--++
2(1)4(1)4(1)x x x x x =+-+++
2(1)(44)x x x =+-+
2(1)(2)x x =+-.
(2)原式2244144x x y y =-+-+-
22(21)(2)x y =---
(212)(212)x y x y =-+---+
(23)(21)x y x y =+--+. 规律·提示
拆项和添项是技巧性较强的步骤，通过拆项、添项配成完全平方式或进行适当分组是常用的思路.在运用此方法时，要仔细观察多项式的结构特征和数量关系，分析出多项式与完全平方式的关系，正确地进行拆项、添项.
【举一反三】
4.分解因式:32332t t t +++.
探究5 利用因式分解把代数式恒等变形
例5 在ABC ∆中，AB c =，BC a =，AC b =且满足222166100a b c ab bc --++=，试说明:2a c b +=.
点拨:将方程的左边因式分解，由三角形的三边关系得出答案.
解答:因为222166100a b c ab bc --++=，
所以2222
6925100a ab b b c bc ++--+=，
所以22(3)(5)0a b c b +--=，
所以(35)(35)0a b c b a b c b ++-+-+=，
即(2)(8)0a c b a c b +--+=，
所以20a c b +-=或80a c b -+=，
所以2a c b +=或8a b c +=.
因为a b c +>，
所以8a b c +=不合题意，舍去， 所以2a c b +=.
规律·提示
在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与之恒等的代数式称为代数式的恒
等变形，它是研究代数式和方程的重要工具，而换元法、配方法、因式分解则是恒等变形的有力工具.
【举一反三】
5.试说明:对于任何整数x 和y ，543223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33.
参考答案
知识梳理
提公因式 公式 平方差 完全平方 提公因式 不能 再分解
重难点分类解析
【反馈练习】
1. 1
2. 2253b a +
3. 22(2)()()2x y x y x y y ---+-(43)y x y =--.
因为43x y =，
所以原式=0.
4. 2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----95x =-.
当13x =-时，原式19()583
=⨯--=-
5. (4)(4)x x +-
6. 0.36
7. 1
易错题辨析
反馈练习
1.C
2. D
3. 25
4. (1)23
4110()2
x yz xy -g 3535x y z =- (2)221(2)32ab ab ab -g 232213a b a b =- (3)2(21)(21)(21)t t t +-+-42t =+
(4)(21)(21)x y x y -+--22441x xy y =-+-
5. (1)由2(23)4656x y x y --+-=-，
得2(231)0x y --=，
所以2310x y --=， 所以235x y -15
= (2) 22()(5)9x x x x x -+--=(23)(23)x x +-
因为230x -=，
所以原式0=.
6. (1)322x x x -+2(1)x x =-
(2)2225()9m n n +-(58)(52)m n m n =++
(3)2
(1)(1)a b a -+-(1)(1)(1)a b b =-+-
(4) 51x -2(1)(1)(1)x x x x =++- 探究与应用
【举一反三】 1.32
a b += 2. (1)2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++
(2) 222a b c ++2()(222)45a b c ab ac bc =++-++=
(3) 由题意，得大长方形的面积为22374(34)()a ab b a b a b ++=++，
所以大长方形较长一边的边长为34a b +.
(4) 2016
3. D
4. 32332t t t +++2(2)(1)t t t =+++
5 543223453515412x x y x y x y xy y +--++(3)(2)(2)()()x y x y x y x y x y =+-++-. 当0y =时，原式533x =≠;
当0y ≠时，3x y +，2x y -，2x y +，x y +，x y -互不相同，而33不可能分解为2个以上不同因数的积，所以对于任何整数x 和y ，543223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33.。