2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解

专题4.4 导数的综合应用（真题测试）
一、单选题
1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12
-
B ．13
C ．1
2
D ．1
2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值
D ．点在曲线上
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2x
x f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使
得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的
取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则
实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2110,,1e e e ⎛
⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
D ．210,e e ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） A
B
C ．1e
D ．e
7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得
2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32
()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-
0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）
A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．33,2e 4⎡⎫
-
⎪⎢⎣
⎭ C ．33,2e 4⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)x
f x a a a =+>，若对任意实数1x >，
不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．221,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、多选题
9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =
C ．e 1x y x =+
D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅
10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +
D ．e 1a b >
11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()
()1e 11e y x
x y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．()ln 0x y ->
B ．122x y +<
C ．226x y +>
D ．()ln ln3x y +<
12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A ．有两个极值点
B ．有三个零点
C ．点是曲线的对称中心
D ．直线是曲线的切线
三、填空题
13．（2020·河南高三其他（理））函数()2
222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为
_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____. 14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =
与2
12
y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =
___________.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________
16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________． 四、解答题
17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．
18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.
21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．
22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数
的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
22
,,a ab a b
a b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩
()21
x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥()()2e 2e x x
f x a a x =+--()f x ()f x a 2()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3
()24f x a
≤-
-()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞1
1ln x x x
-<
<1c >(0,1)x ∈1(1)x
c x c +->2
()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828
e =()g x ()
f x ()
g x [0,1]
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
(1)0f ()f x (0,1)a
专题4.4 导数的综合应用（真题测试）
一、单选题
1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12
-
B ．13
C ．1
2
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
因为()2
21111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则
()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则
函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得1
2
a =
.故选：C. 2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值 D ．点在曲线上
【答案】A 【解析】 【详解】
若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，，因为是的极值点，是的极值，所以
，即，解得：，因为点在曲线上，所以
，即
，解得：，所以，，所以，因为
，所以不是的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，
故选A ．3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2
x
x f x a x =-+，若有且仅有两个正整
2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =()2f x ax b ='+1()f x 3()f x ()()10
{
13f f '==20
3
a b a b c +=⎧⎨++=⎩2{3b a c a =-=+()2,8()y f x =()42238a a a +⨯-++=5a =10b =-8c =()25108f x x x =-+()()()2
1511018230f -=⨯--⨯-+=≠1-()f x
数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
将()0f x <转化为2(2)e
x
x a x +<
，再分别求导分析2
()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，
的斜率，分析临界情况即可 【详解】
由()0f x <且0x >，得2(2)e
x
x a x +<
，设2
()e x x g x =，()(2)h x a x =+， 2
2()e
x
x x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，
(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)9
3(2)5e g =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以391
5e 3e
a ≤<． 故选：C
4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的
取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C 【解析】 【详解】
试题分析：当时，，函数
和，不满足题意，舍去；当时，
，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，
32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2
()31f x x =-+()f x 0a >2()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a =(,0)x ∈-∞()0f x '>2(0,)x a ∈()0f x '<2
(,)x a
∈+∞()0f x '>(0)0f >(,0)x ∈-∞0a <2
(,)x a
∈-∞
；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，
且，只需，即，则，选C ．
5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x
f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则
实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2110,,1e e e ⎛
⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
D ．210,e e ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
令()0f x =得2
0e e x x
x x
a a ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，利用导数研究()e x x g x =的图像，由函数()f x 有三个零点可知，若令1e e x
x
t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则可知方程2
0t at a +-=的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内，另一根21e t =或2
0t =或()2,0t ∈-∞上，分类
讨论即可求解. 【详解】
由2
2e e 0x
x
x ax a +-=得2
0e e
x x
x x
a a ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，令()e x x g x =， 由()10e x
x
g x -'=
=，得1x ＝，因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()00g =，当0x >时，()0e x x g x =
>，则()e
x x
g x =的图像如图所示： 即函数()g x 的最大值为()1
1e
g =，
令1e e x
x t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则()2
0h t t at a =+-=，由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内，另一根2
1e t =或2
0t =或()2,0t ∈-∞上，
当21e t =时，21e e
a =-，则另一根11
1e t =-，不满足题意，
当2
0t =时，a ＝0，则另一根10t =，不满足题意，
()0f x '<2
(,0)x a ∈()0f x '>(0,)x ∈+∞()0f x '<(0)0f >()f x 0x 00x >2
()0f a
>24a >2a <-
当()2,0t ∈-∞时，由二次函数()2
0h t t at a =+-=的图像可知2200011
0e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪
⎝⎭
⎩， 解得21
0e e
a <<
-， 则实数a 的取值范围是210,e e ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
，
故选：D.
6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） A
B
C ．1e
D ．e
【答案】D 【解析】 【分析】
将不等式化为ln()e ln()e x ax x ax +≥+，构造()e x f x x =+有()(ln())f x f ax ≥，利用函数的单调性及参变分离法
有e x
a x ≤在0x >上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.
【详解】
∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，
∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．
令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)x f x x x =+>为增函数，
∴ln()x ax ≥，即e x
a x
≤．
令e ()=x g x x ，则2
(1)e ()x x g x x '
-=，
当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增； 所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==． ∴实数a 的最大值为e ． 故选：D
7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得
0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）
A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．33,2e 4⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
C ．33,2e 4⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
设()()21x
g x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函
数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()3
12g a e
-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.
【详解】
设()()21x
g x e x =-，()1y a x =-，
由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12
x >-时，
()0g x '>.
所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
.
又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得3
12a e
≤<，故选D.
8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)x
f x a a a =+>，若对任意实数1x >，
不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．221,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
将所求不等式变形为()
()ln 1ln e
ln e
ln 1x x a
x a x -+++≥+-，构造函数()e x
g x x =+，可知该函数在R 上为增函数，
由此可得出()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，利用导数求出()()ln 1h x x x =--的最大值，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当1x >时，由()()ln 1f x x ≥-可得()ln e
ln 1ln 1x a
a x +++≥-， 即()()
()ln 1ln e
ln 1ln 1e
ln 1x x a
x a x x x -+++≥-+-=+-，
构造函数()e x
g x x =+，其中x ∈R ，则()e 10x g x '=+>，
所以，函数()g x 在R 上为增函数， 由()
()ln 1ln e
ln e
ln 1x x a
x a x -+++≥+-可得()()ln ln 1g x a g x +≥-⎡⎤⎣⎦，
所以，()ln ln 1x a x +≥-，即()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >， 令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111
x
h x x x -'=
-=--. 当12x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当2x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 所以，()()max ln 22a h x h ≥==-，2
1e a ∴≥. 故选：D.二、多选题
9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =
C ．e 1x y x =+
D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅
【答案】CD 【解析】 【分析】
根据导数的运算求得导函数y '，代入微分方程检验即可． 【详解】
选项A ，e x y =，则e x y '=，e e e e 0x x x x xy y xy x x '+-=+-=≠，不是解；
选项B ，e x y x =，e e x x y x '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy x x x x '+-=+--=，是方程的解；
选项C ，e 1x y x =+，e e x x y x '=+，22e e 1e e 10x x x x xy y xy x x x x x x '+-=+++--=+≠，不是方程的解； 选项D ，e (R)x y c x c =⋅∈⋅，e e x x y c cx '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy cx cx cx cx '+-=+--=，是方程的解． 故选：CD ．
10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b + D ．e 1a b >
【答案】BCD 【解析】 【分析】
A.由e e e a b a b ++=得到
11
1e e
a b +=判断；BC.由e e e 2e e a b a b a b ++==2b 判断；D. 由111e e a b +=，得到e e e 1e 11e 1e 1
b b b a
b b b b b -+-=-=--，令()e e 1,0b b f b b b =-+>，用导数法判断. 【详解】 由e e e a b a b ++=得
11
1e e
a b +=，又e 0,e 0a b >>，所以e 1,e 1a b >>，所以0,0a b >>，所以0ab >，选项A 错
误；因为e e e 2e e a b a b a b ++==2b ，即e e e 4a b a b ++=，所以ln41a b +>，选项B C ,正确，
因为111e e a b +=，所以e e e 1
b a
b =-，所以e e e 1e 11e 1e 1b b b a b
b
b b b -+-=-=--.令()e e 1,0b b f b b b =-+>，则()e 0b f b b '=>，所以f b 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00f b f >=，即e e 10b b b -+>，又e 10b ->，
所以e 10a b ->，即e 1a b >，选项D 正确. 故选：BCD
11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()
()1e 11e y x
x y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．()ln 0x y ->
B ．122x y +<
C ．226x y +>
D ．()ln ln3x y +<
【答案】AC 【解析】 【分析】
构造函数()e x
f x x
=，利用导数判断函数的单调性，得出1x y >+，结合不等式以及指、对数函数的性质逐
一判断即可. 【详解】
令()e x f x x
=，则()()2e 1e e x
x x x x f x x x --'==
， 所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增； 由(
)
()1e 11e y
x
x y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 1
11
x y x y y +-=++，
∵1y >，∴11012
y <
<+， ∴1e e 1012x y x y +<-
<+，即()()1
012
f x f y <-+<， ∴1x y >+，即1->x y ，∴()ln 0x y ->，A 正确；
由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误； 由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．
由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln3x y y +>+>， 所以D 错误，
故选：AC ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A ．有两个极值点
B ．有三个零点
C ．点是曲线的对称中心
D ．直线是曲线的切线
【答案】AC 【解析】 【分析】
利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义
3
()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =()f x
判断D. 【详解】
由题，，令得或
令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A 正确；
因，，， 所以，函数
在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B 错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心， 将
的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C 正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D 错误.
故选：
AC.三、填空题
13．（2020·河南高三其他（理））函数()2
2
22ln x f x x e x ax =
--，若0a =
，则()f x 在[]1,2的最小值为
_______；当0x >时，()1f
x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.
【答案】e (],1-∞ 【解析】
当0a =时，∵()2
22ln x f x x e
x =-，∴()22
22
22x x f x xe x x
e x
'=+⋅-
. 当1
x >时，()0f x '>恒成立，
()2
31f x x '=-()0f
x '>x >x <()0f x '<x <()f x ((,-∞)+∞x =(10f =+>10f =>()250f -=-<()f x ,⎛-∞ ⎝⎭
x ≥()0f x f ≥>⎝⎭()f x ⎫∞⎪⎪⎝⎭
()f x 3
()h x x x =-R ()()()()3
3h x x x x x h x -=---=-+=-()h x (0,0)()h x ()h x ()f x (0,1)()y f x =()2
312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+
∴()f x 在[]1,2上单调递增.
∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.
又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1x
g x e x =--,()()100x
g x e g ''=->=,
所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()2
2
222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--
()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立，
∴1a ≤.
故答案为e ；(],1-∞.
14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =
与2
12
y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是___________. 【答案】(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭##1|02k k k ⎧
⎫≤=⎨⎬⎩
⎭或
【解析】 【分析】
将原问题转化为32
ln 12x k x x =+只有一个解,令
()()32ln 1
02x g x x x x =+>,利用导数求出()g x 的单调性及最值即可得答案. 【详解】 由题意可得:2ln 1
2x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x
=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x
=
+, ()0x >原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()434
13ln 113ln x x x
g x x x x '---=
-= 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,
所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正, 所以()()max 1
12
g x g ==
, 又因为y k =与()y g x =只有一个交点, 所以(]1,02k ⎧⎫
∈-∞⎨⎬⎩⎭
.
故答案为: (]1,02⎧⎫
-∞⋃⎨⎬⎩⎭
.
15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________ 【答案】
【解析】 【详解】
由定义运算“*”可知 即，该函数图像如下：
由，假设
当关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根时， m 的取值范围是，且满足方程，所以
令则， 所以
令
22
,,a ab a b
a b b ab a b ⎧-≠=⎨->
⎩
⎫
⎪⎪⎝⎭
22
(21)(21)(1)0
()?(1)(21)(1)0x x x x f x x x x x ⎧----=⎨---->⎩
2220
()0x x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩
11
24
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1230x x x <<<10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
23,x x 2-+=x x m 23=x x m 22-=x x m 1=x 123==
x x x m 10,4⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
y m
所以， 又在递增的函数， 所以，所以，所以在递减， 则当时，；当时，
所以.
16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数2
2()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．
【答案】22ln 22e ,4e 2⎡⎫
-⎪⎢⎣
⎭【解析】
【分析】
由()0f x ≥且0x >，得出2
ln 2e x x m x -+≥-
，构造函数()ln =-x
g x x
，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-
x g x x 和22e y x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-x
g x x
和22e y x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22e y x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭时，即可求出求出
m 的值，从而得出m 的取值范围.
【详解】
由题可知，22()ln 2e f x x x mx =-+，0x >， 由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，
即22ln 2e 0x x mx -+≥，即222e ln x mx x -+≥-，
因为0x >，所以2
ln 2e x
x m x
-+≥-
的解集中恰有一个整数， 令()ln =-
x g x x ，则()2
ln 1
-'=x g x x ， 当1e x <<时，()0g x '<；当e x >时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 画出()ln x
y x
g x ==-
和22e y x =-的大致图象，如图所示： 要使得2
ln 2e x
x m x
-+≥-
，可知0m >， 114'
⎛= ⎝y ()=h m 10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
()()01>=h m h 0y '<=y 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭0m =0y =14m ==
y 123⎫
∈⎪⎪⎝⎭
x x x
设0x 为()ln =-
x
g x x
和22e y x m =-+的交点的横坐标， 而2
ln 2e x
x m x
-+≥-
的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<， 当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 2
22
g =-
， 即1,0A ，ln 22,2B ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，
当直线22e y x m =-+过点1,0A 时，得22e m =，
当直线22e y x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝
⎭时，得2
ln 24e 2m =-
， 所以m 的取值范围为22ln 22e ,4e 2⎡⎫
-⎪⎢⎣
⎭.
故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫
-⎪⎢⎣
⎭
四、解答题
17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．
【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．
（2）当时，,令，只需证明即可．
【详解】
()21
x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥210x y --=a 1≥()1
2
f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）12gx 1x e x x +=++-gx 0≥
（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以 ．因此．
18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】
试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，
进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则
.由于，因此在有一个零点.
从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ()()2212
x
ax a x f x e
-++'-=
()02f '=()y f x =()0,1-210x y --=1a ≥()()211x x
f x e x x e e +-+≥+-+()211x
g x x x e +=+-+()121x g x x e +=++'()1
20x g x e +''=+>1x <-()()10g x g '-'<=()g x 1x >-()()10g x g '-'>=()g x ()g x ()1=0g ≥-()0f x e +≥()()2e 2e x x
f x a a x =+--()f x ()f x a (0,1)()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1
(ln )1ln f a a a
-=-
+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈()f x (,ln )a -∞-0n 03
ln(1)n a
>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3
ln(1)ln a a
->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)()f x (),-∞+∞()()()()2221121x x x x
f x ae a e ae e =+---'=+0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=ln x a =-(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ()1
ln 1ln f a a a
-=-
+
①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.由于，
因此在有一个零点. 综上，的取值范围为.
19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，
，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】
（1） 的定义域为（0，+），. 若a ≥0，则当x ∈（0，+）时，，故f （x ）在（0，+）单调递增.
若a ＜0，则当时，时；当x ∈时，. 故f （x ）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在取得最大值，最大值为. 1a =()ln 0f a -=()f x ()1,a ∈+∞1
1ln 0a a
-+>()ln 0f a ->()f x ()0,1a ∈1
1ln 0a a
-
+<()ln 0f a -<()()422
2e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭
()()
00000000e e 2e 20n n n n
f n a a n n n =+-->->->3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭()f x ()ln ,a -+∞a ()0,12
()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3
()24f x a
≤-
-(21)(1)
'()(0)ax x f x x x
++=
>0a ≥'()0f x >()f x (0,)+∞0a <()f x 1(0,)2a -
1
(,)2a
-+∞3()24f x a ≤-
-max 3()24f x a ≤--max 1
()()2f x f a
=-11ln()1022a a -+
+≤max ()(1)0g x g ==()f x ∞()()‘1211
)22(1x ax f x ax a x x
++=
+++=∞’
)(0f x ＞∞10,2x a ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭()0f x '＞1()2a ∞-+，
’)(0f x <’
)(0f x ＞1()2a
∞-+，1
2x a
=-
111()ln()1224f a a a -=---
所以等价于，即. 设g （x ）=ln x -x +1，则. 当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，
，即. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.
【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构
造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （Ⅲ）由题设，设，则，令，
解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，. 所以当时，.
3
()24f x a
≤-
-113ln()12244a a a ---
≤--11ln()1022a a -++≤’
1(1)g x x
=
-()0g x '>∞()0g x '<∞11ln()1022a a -
++≤3()24f x a
≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞1
1ln x x x
-<
<1c >(0,1)x ∈1(1)x
c x c +->01x <<()f x 1x >()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<()f x x 1
x
()f x (0,)+∞1
()1f x x
=
-'()0f x '=1x =01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x 1x =(1)0f =1x ≠ln 1x x <-(1,)x ∈+∞ln 1x x <-11ln
1x x <-11ln x x x
-<<1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln x
g x c c c =--'()0g x =0
1
ln
ln ln c c x c
-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 1
1ln c c c
-<
<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)x
c x c +->
21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．
【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.
【解析】
【详解】（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所
以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调
递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，
，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．
22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数
的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
【答案】（Ⅰ）当时， ；当 时， ； 当时， .（Ⅱ） 的范围为. 【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到
2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-()f x (,0)-∞(0,)+∞[1,1]-()(1)2mx f x m e x -'=+0m ≥(,0)x ∈-∞10mx e -≤()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -≥()0f x '>0m <(,0)x ∈-∞10mx e ->()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -<()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞m ()f x [1,0]-[0,1]()f x 0x =12,[1,1]x x ∈-12()()1f x f x e -≤-(1)(0)1,
{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-()1t g t e t e =--+()1t g t e =-'0t <()0g t '<0t >()0g t '>()g t (,0)-∞(0,)+∞(1)0g =1(1)20g e e --=+-<[1,1]t ∈-()0g t ≤[1,1]m ∈-()0g m ≤()0g m -≤1m >()g t ()0g m >1m e m e ->-1m <-()0g m ->1m e m e -+>-m [1,1]-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](1)0f =()f x (0,1)a 12a ≤
()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()22ln(2)g x a a a b ≥--2
e a >()2g x e a b ≥--a ()2,1e -()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--a ()g x ()g x [0,1]
()g x [0,1]0x ()f x (0,1)
.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：
，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）
①当时，，所以.
②当时，由得.
若，则；若，则. 所以当时，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，所以. （Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.
故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点. 所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增，
因此，必有
.
由得：，有
(0)0,(1)0f f ==()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤
2e a ≥()g x (0,1)122
e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10
f e a b =---=1b e a =--a ()2,()2x x
g x e ax b g x e a -='=--0a ≤()20x g x e a -'=>()(0)1g x g b ≥=-0a >()20x g x e a -'=>2,ln(2)x e a x a >>12a >ln(2)0a >2
e a >ln(2)1a >102a <≤
()g x [0,1]()(0)1g x g b ≥=-122
e a <≤()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--2e a >
()g x [0,1]()(1)2g x g e a b ≥=--0x ()f x (0,1)0(0)()0f f x ==()f x 0(0,)x ()g x ()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤
()g x [0,1]()g x (0,1)2e a ≥
()g x [0,1]()g x (0,1)122
e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10
f e a b =---=12a b e +=-<
.
解得.
当时，在区间内有最小值.
若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.
又，
故此时在和内各只有一个零点和.
由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，，
故在内有零点.
综上可知，的取值范围是. (0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->21e a -<<21e a -<<()g x [0,1](ln(2))g a (ln(2))0g a ≥()0([0,1])g x x ≥∈()f x [0,1](0)(1)0f f ==(ln(2))0g a <(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->()g x (0,ln(2))a (ln(2),1)a 1x 2x ()f x 1[0,]x 1(,x 2)x 2[,1]x 1()(0)0f x f >=2()(1)0f x f <=()f x 1(,x 2)x a (2,1)e -。